2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第6章　幂函数、指数函数和对数函数（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第6章　幂函数、指数函数和对数函数
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=+lg(x+1)的定义域为(　　)
A.(-1,2]　　　　B.(-1,2)　　　　
C.(1,2]　　　　D.[1,2]
2.已知幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)(　　)
A.为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增
B.为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减
C.为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递增
D.为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减
3.已知函数f(x)=则f(1-x)的图象是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
4.已知函数f(x)=满足对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有 >0成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,2)　　　　B.(2,3)　　　　
C.(2,3]　　　　D.(2,+∞)
5.已知点在幂函数f(x)=xα的图象上,设a=f(log25),b=f(ln 2),c=f (tan 60°),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>a>c　　　　
C.a>c>b　　　　D.b>c>a
6.福岛核污染水中的放射性元素“锶90”的半衰期为30年,即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半.若“锶90”的剩余量不高于原有的8%,则至少经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
A.110年　　　　B.115年　　　　
C.112年　　　　D.120年
7.设定义在R上的函数f(x)满足:当x12x的解集为(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(1,+∞)
C.(-1,1)　　　　D.(-∞,1)∪(1,+∞)
8.已知函数f(x)=x+ln(+2x)+2.若对任意的x∈R,不等式f(|2x-a|)≥4-f(|3x-2a|-a2)恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B.∪
C.　　　　D.∪
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若正数a,b满足log3aA.3a<3b　　　　B.>1
C.ln(b-a)>0　　　　D.loga310.若函数f(x)对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有 ≤f ,则称f(x)具有性质M.下列函数中,具有性质M的有(　　)
A. f(x)=　　　　B. f(x)=ex
C. f(x)=ln x　　　　D. f(x)=-
11.定义:N{f(x) g(x)}表示f(x)A.当a>0时,N{f(x) g(x)}=1
B.当a=0时,不等式f(x)C.当a=0时,N{f(x) g(x)}=4
D.当a<0时,若N{f(x) g(x)}=1,则实数a的取值范围是(-∞,-1]
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数y=f(x)存在反函数,记为y=f -1(x),若函数y=f(2x)的图象过点(1,1),则y=f -1(x)的图象过点　　　　.
13.已知函数f(x)=若方程f(x)=m有6个不同的实数根x1,x2,x3,x4,x5,x6,则实数m的取值范围为　　　　;x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围为　　　　.
14.已知函数f(x)=,g(x)=,设函数h(x)=xlog(x)+m2-m.若对任意的x1,x2∈[2,+∞),都有f(x1)四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=lg(1-2x)+lg(1+2x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断并证明f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
16.(15分)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)当x∈[0,1]时,不等式f(x)+x-log3(m·3x-1)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
17.(15分)为了保护环境,污水进入河流前都要进行净化处理.某市工业园区某工厂的污水先排入净化池,然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出,在一定范围内,每放入1个单位的净化剂,在污水中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:小时)变化的函数关系式近似为y=若多次加入净化剂,则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当净化剂在污水中释放的浓度不低于4毫克/立方米时,它才能起到净化污水的作用.
(1)当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度是多少
(2)若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达几小时 (结果精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.3,lg 17≈1.23)
(3)若第一次投放1个单位的净化剂,3小时后再投放2个单位的净化剂,设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为g(t)毫克/立方米,其中018.(17分)已知函数f(x)=4x+m·2x-2,x∈[-2,1],m为实数.
(1)当m=1时,求f(x)的值域;
(2)设g(x)=,若对任意的x1∈[-2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求m的取值范围.
19.(17分)若存在实数对(a,b),使等式f(x)·f(2a-x)=b对定义域中每一个实数x都成立,则称函数f(x)为(a,b)型函数.
(1)若函数f(x)=2x是(a,1)型函数,求a的值;
(2)若函数g(x)=是(a,b)型函数,求a和b的值;
(3)已知在[-2,4]上,h(x)恒大于0,且为(1,4)型函数,当x∈(1,4]时,h(x)=-+m·log2x+2.若h(x)≥1在[-2,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.A　要使函数f(x)有意义,需满足解得-12.B　设幂函数的解析式为f(x)=xα,
因为幂函数f(x)的图象经过点,所以2α=,解得α=-2,
故f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),所以f(x)为偶函数,
又因为-2<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.故选B.
3.D　由f(x)=得f(1-x)=
当x=0时, f(1-0)=2,则f(1-x)的图象过点(0,2),故排除A,B;
当x≥0时, f(1-x)=21-x>0,故排除C.故选D.
4.C　∵对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有 >0,∴函数f(x)在R上单调递增,
∴解得2∴实数a的取值范围为(2,3].故选C.
5.D　∵点在幂函数f(x)=xα的图象上,
∴3α=,∴α=-2,
∴f(x)=x-2,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∵log25>log24=2,0=ln 1∴0∴f(ln 2)>f (tan 60°)>f(log25),即b>c>a.故选D.
6.A　设经过x年(x是正整数),“锶90”的剩余量不高于原有的8%,原有“锶90”含量为1,
则1×≤1×8%,解得≥log0.50.08==≈=,即x≥110,
若“锶90”的剩余量不高于原有的8%,则至少经过110年.
故选A.
7.A　由f(x2)可知当x1由f(x)>2x,得>1=,
所以g(x)>g(1),所以x<1,故不等式f(x)>2x的解集为(-∞,1).
故选A.
8.A　令g(x)=f(x)-2=x+ln(+2x),
对任意的x∈R,>=2|x|≥-2x,
故对任意的x∈R,+2x>0,
故函数g(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为g(-x)+g(x)=-x+ln(-2x)+x+ln(+2x)=ln(4x2+1-4x2)=ln 1=0,所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,
令u=+2x,易知函数u=+2x在R上单调递增,
又函数y=ln u为定义域上的增函数,
所以函数g(x)=x+ln(+2x)在R上为增函数,
由f(|2x-a|)≥4-f(|3x-2a|-a2),可得g(|2x-a|)+2≥4-[g(|3x-2a|-a2)+2]=2-g(|3x-2a|-a2),
所以g(|2x-a|)≥-g(|3x-2a|-a2)=g(a2-|3x-2a|),
所以|2x-a|≥a2-|3x-2a|,即|3x-2a|+|2x-a|≥a2,
令h(x)=|3x-2a|+|2x-a|.
当a=0时,|5x|≥0,显然成立;
当a>0时,h(x)=
所以函数h(x)在,上单调递减,在上单调递增,
又因为函数h(x)在R上的图象连续,
所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以h(x)min=h=,所以a2≤,解得0≤a≤,此时0当a<0时,h(x)=
所以函数h(x)在上单调递减,在,上单调递增,
又因为函数h(x)在R上的图象连续,
所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以h(x)min=h=-,所以a2≤-,解得-≤a≤0,
此时-≤a<0.
综上所述,实数a的取值范围是.故选A.
9.AB　因为函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以由log3aa>0.
对于A,函数y=3x为R上的增函数,则3a<3b,故A正确;
对于B,函数y=为R上的减函数,且a-b<0,则>=1,故B正确;
对于C,易得b-a>0,但b-a与1的大小关系不确定,故ln(b-a)与0的大小关系不确定,故C错误;
对于D,取a=3,b=9,则log33=1>=log93,故D错误.故选AB.
10.ACD　对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有 ≤f ,
故函数图象可能是上凸的,此时 也可能是一条直线,此时 =f ,
依次画出各选项中的函数图象,分别如图②③④⑤所示,
　　
　　
根据图象知,A,C,D满足条件.
故选ACD.
11.BD　根据题意,得N{f(x) g(x)}表示不等式|log2x|当a>0时,作出y=f(x)和y=g(x)的图象,如图1所示,
由图可知, f(x)当a=0时,g(x)=2,由f(x)=|log2x|<2,可得-2当a<0时,作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图2所示,
若N{f(x) g(x)}=1,即|log2x|只需满足即解得a≤-1,
所以当N{f(x) g(x)}=1时,实数a的取值范围是(-∞,-1],故D正确.故选BD.
12.答案　(1,2)
解析　易得f(2)=1,所以y=f(x)的图象过点(2,1),所以y=f-1(x)的图象过点(1,2).
13.答案　(0,2);
解析　设x1由图可知,m∈(0,2).
易得=-2,=6,且1因为y=x++8在(1,4)上单调递增,所以x4++8∈.
故x1+x2+x3+x4+x5+x6∈.
14.答案　(-∞,1)∪(2,+∞)
解析　f(x)==,h(x)=xlo+m2-m=x|x-m|+m2-m,
若对任意的x1,x2∈[2,+∞),都有f(x1)则f(x)max当x≥2时,令t(x)=x+,易得t(x)=x+在区间[2,+∞)上单调递增,即t(x)≥t(2)=4,
所以f(x)==在区间[2,+∞)上的值域为(0,2],即f(x)在区间[2,+∞)上的最大值为2.
h(x)=x|x-m|+m2-m=
当m=0时,h(x)在[2,+∞)上单调递增,所以h(x)在区间[2,+∞)上的最小值为h(2)=4,所以2<4,恒成立;
当m<0时,函数h(x)的图象如图1,
则函数h(x)在[2,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(2)=m2-3m+4,所以m2-3m+4>2,解得m<1或m>2,所以m<0;
当m>0时,函数h(x)的图象如图2,
当0当m>2时,函数h(x)在[2,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,
所以h(x)的最小值为h(m)=m2-m,
所以m2-m>2,解得m>2或m<-1,所以m>2.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,1)∪(2,+∞).
15.解析　(1)由题意,得解得-所以函数f(x)的定义域为.(3分)
(2)函数f(x)=lg(1-2x)+lg(1+2x)为偶函数,(4分)
证明如下:由(1)知,函数f(x)的定义域为,关于原点对称,
又f(-x)=lg(1+2x)+lg(1-2x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(7分)
(3)f(x)=lg(1-2x)+lg(1+2x)=lg(1-4x2),(8分)
令u=1-4x2,因为u=1-4x2在上单调递增,在上单调递减,y=lg u在(0,+∞)上单调递增,(10分)
所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.(13分)
16.解析　(1)因为函数f(x)的定义域为R,且为偶函数,所以f(-1)=f(1),即log3-k=log310+k,解得k=-1,(3分)
此时f(x)=log3(9x+1)-x=log3,
经检验,f(-x)=log3=log3=f(x)成立,
所以k=-1.(6分)
(2)由(1)知, f(x)=log3(9x+1)-x,当x∈[0,1]时,不等式f(x)+x-log3(m·3x-1)≥0恒成立可转化为x∈[0,1]时,不等式log3(9x+1)-log3(m·3x-1)≥0,即log3(9x+1)≥log3(m·3x-1)恒成立,
因为y=log3x在定义域上单调递增,所以9x+1≥m·3x-1>0,
即3x+≥m>, (9分)
令t=3x,x∈[0,1],则t∈[1,3],所以≥m>,(12分)
因为t+≥2(当且仅当t=时等号成立),∈,
所以117.解析　(1)当x=4时,y==6,所以当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米.(3分)
(2)当0≤x≤3时,令4(2x+1)≥4,得2x≥0,恒成立.(5分)
当x>3时,令4×≥4,得2x-3+1≤18,则x-3≤log217=≈=4.1,所以3综上,当0≤x≤7.1时,净化剂能起到净化污水的作用.
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达7.1小时.(10分)
(3)g(t)=+2(2t+1)=+2(2t+1),0因为2t+1>0,所以+2(2t+1)≥2=12,当且仅当=2(2t+1),即t=1时取等号,所以g(t)的最小值为12.(15分)
18.解析　(1)当m=1时, f(x)=4x+2x-2,x∈[-2,1],
令t=2x,x∈[-2,1],则≤t≤2,易得y=t2+t-2在区间上单调递增,(3分)
当t=时,ymin=-,当t=2时,ymax=4,
所以f(x)的值域为.(5分)
(2)要使对任意的x1∈[-2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)在[-2,1]上的最小值大于或等于g(x)在[0,1]上的最小值.(7分)
因为0≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,即≤≤1,即1≤≤2,
所以g(x)在区间[0,1]上的最小值为1.(9分)
对于函数f(x)=4x+m·2x-2(-2≤x≤1),令t=2x,则≤t≤2,
易得y=t2+mt-2的图象开口向上,对称轴为直线t=-.(10分)
当-≤,即m≥-时,函数y=t2+mt-2在上单调递增,
则f(x)min=ymin=+m-2=m-,
所以m-≥1,解得m≥;(12分)
当<-<2,即-4则f(x)min=ymin=--2=-m2-2<0<1,不符合题意;(14分)
当-≥2,即m≤-4时,函数y=t2+mt-2在上单调递减,
则f(x)min=ymin=22+2m-2=2m+2,
所以2m+2≥1,解得m≥-,与m≤-4矛盾,不符合题意.(16分)
综上所述,m的取值范围为.(17分)
19.解析　(1)由f(x)=2x是(a,1)型函数,得f(x)·f(2a-x)=2x·22a-x=1,即22a=1,即2a=0,所以a=0.(3分)
(2)由g(x)=是(a,b)型函数,得g(x)·g(2a-x)=·=b,
则+=ln b,
因此x2ln b-2axln b+2a=0对定义域{x|x≠0}内任意x恒成立,(5分)
于是解得a=0,b=1.(7分)
(3)由h(x)是(1,4)型函数,得h(x)·h(2-x)=4.
①当x=1时,h(1)·h(1)=4,而h(x)>0,则h(1)=2,满足h(x)≥1;(9分)
②当x∈(1,4]时,h(x)=-(log2x)2+m·log2x+2≥1恒成立,
令log2x=t,则t∈(0,2],-t2+mt+2≥1恒成立,于是m≥t-恒成立,而函数y=t-在(0,2]上单调递增,则t-≤,当且仅当t=2时取等号,因此m≥;(12分)
③当x∈[-2,1)时,2-x∈(1,4],
则h(x)==,
由h(x)≥1,得0<-+m·log2(2-x)+2≤4,
令log2(2-x)=u,则当u∈(0,2]时,0<-u2+mu+2≤4,
由②知-u2+mu+2≥1,则只需u∈(0,2]时,-u2+mu+2≤4恒成立,
即u∈(0,2]时,m≤+u恒成立,(15分)
又u+≥2=2,当且仅当u=时取等号,因此m≤2.
所以实数m的取值范围是.(17分)
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