2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第6章　幂函数、指数函数和对数函数复习提升（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025苏教版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略对数函数中真数大于0而致错
1.(2022广东深圳实验学校月考)已知实数a>0,且a≠1,满足53a+2>54a+1,则不等式loga(3x+2)2.(2024江苏无锡天一中学阶段测试)已知函数f(x)=log2(x2-2ax+3).
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2) x∈R, f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.
易错点2　忽略对底数的讨论致错
3.(2024山东泰安第一中学期中)函数f(x)=loga(ax2-4x+9)在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
4.(2023江苏泰州期中)已知函数f(x)满足f(logax)=,其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)若00在(-∞,2)上恒成立,求实数a的取值范围.
易错点3　换元时忽略中间变量的取值范围而致错
5.(2022湖南岳阳期末)已知函数y=ln(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞)　　　　B.(0,4]
C.[4,+∞)　　　　D.(-4,4]
6.(2023江苏南京临江高级中学月考)已知函数f(x)=a·4x-3×2x-1(a∈R).
(1)当a=时,求函数f(x)在x∈[0,2]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=(1-a)·2x+3有解,求实数a的取值范围.
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的应用
1.(2024江苏睢宁李集中学期中)若x1,x2分别是方程ex+x-2 023=0,ln x+x-2 023=0的根,则=(　　)
A.　　　　B.2 023　　　　C.　　　　D.4 046
2.(2024江苏扬州期中)已知函数f(x)=若a,b,c,d互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+b+c+d的取值范围是　　(　　)
A.(-2,3)　　　　B.　　　　C.(-1,2)　　　　D.
二、分类讨论思想在函数中的应用
3.(2024江苏东台中学期中)若函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.　　　　
C.(1,2]　　　　D.[2,+∞)
4.(2023江苏苏州实验中学期中)已知函数f(x)=loga(5-x)-loga(a>0,且a≠1),且f(4)=0.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求不等式f(2x-3)三、转化与化归思想在函数中的应用
5.(2023江苏南京沙洲中学期中)已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(0,1)　　　　C.(1,0)　　　　D.
6.(2022湖南张家界期末)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f(1)=1+e, x1,x2∈(0,+∞),当x2>x1时,都有x2 f(x1)-x1f(x2)>x2-x1,则不等式f(ln x)>x+ln x的解集为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(e,+∞)　　　　
C.(1,e)　　　　D.(0,e)
四、函数与方程思想在函数中的应用
7.函数的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(0,1]
C.　　　　D.
8.(2023浙江杭州期中)已知函数f(x)=4x+b·2x+c.
(1)当b=-2,c=2,x∈[1,2]时,求函数f(x)的值域;
(2)若c=2,存在x∈[0,1],使f(x)+f(-x)=0,求实数b的取值范围;
(3)若存在x∈[0,1],使f(x)=0,求b2+c2的最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.答案　
解析　易知函数y=5x是定义域为R的增函数,由题意可得3a+2>4a+1,
所以a<1,又a>0,所以0所以函数y=logax为定义域上的减函数,
则解得故不等式的解集为.
2.解析　(1)当a=-2时, f(x)=log2(x2+4x+3),其定义域为(-∞,-3)∪(-1,+∞).
令t=x2+4x+3,x∈(-∞,-3)∪(-1,+∞),则y=log2t,∵t=x2+4x+3的图象的对称轴为直线x=-2,
∴t=x2+4x+3的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-3),又y=log2t在定义域内为增函数,
∴根据复合函数“同增异减”的单调性法则破题关键,得f(x)=log2(x2+4x+3)的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-3).
(2)∵ x∈R, f(x)≥1恒成立,
∴log2(x2-2ax+3)≥1=log22恒成立,
∴x2-2ax+3≥2,即x2-2ax+1≥0恒成立,
∴Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1.
易错警示　在解决对数问题时,一定要保证真数大于0,忽略这一点会使得所求的参数范围扩大,从而导致错误.
3.答案　∪[2,+∞)
解析　由题意知,a>0且a≠1,
令g(x)=ax2-4x+9,则其图象的对称轴为直线x==.
①当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,3]上应单调递增,且g(x)>0在[1,3]上恒成立,
则解得a≥2;
②当00在[1,3]上恒成立,
则解得综述,a≥2或4.解析　(1)令t=logax(a>0,且a≠1),则x=at,所以f(t)=·,所以f(x)=(a>0,且a≠1).
(2)当a>1时,任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)==-+=(-),
因为a>1,x10,1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)当0则f(x1)-f(x2)==·=(-),
因为0,>0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减.
综上,当a>1时, f(x)在R上单调递增;当0(3)当00在(-∞,2)上恒成立,所以·+4≥0,即a2+4a-1≥0,解得a≤-2-或a≥-2+,因为0易错警示　在研究指数函数、对数函数有关问题时,若底数a的值不确定,则应分a>1,05.D　令t=x2-ax+3a,则t=x2-ax+3a在[2,+∞)上单调递增,且t>0,∴解得-4∴实数a的取值范围为(-4,4],故选D.
6.解析　(1)当a=时, f(x)=×4x-3×2x-1=×(2x)2-3×2x-1.令t=2x,t∈[1,4],则y=t2-3t-1.
易知y=t2-3t-1的图象的对称轴为直线t=3,且开口向上,∴当t=3时,ymin=-,当t=1时,ymax=-,
∴f(x)在x∈[0,2]上的值域是.
(2)方程f(x)=(1-a)·2x+3有解,即a·4x-3×2x-1=(1-a)·2x+3有解,即a·(4x+2x)=4×2x+4有解,即a===有解.
令g(x)==,易知g(x)∈(0,+∞),∴a∈(0,+∞).
易错警示　求复合函数的定义域、值域、单调区间时,为了叙述简便,常需要利用换元法,此时需要注意新元的范围,否则容易出现错解.
思想方法练
1.A　y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称,而直线y=-x+2 023也关于直线y=x对称,利用对称性及数形结合求出的值.
作出y=ex,y=ln x的图象及直线y=x,y=-x+2 023,如图所示:
由题意可得x1是函数y=ex的图象与直线y=-x+2 023的交点A的横坐标,x2是函数y=ln x的图象与直线y=-x+2 023的交点B的横坐标,
因为y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称,而直线y=-x+2 023也关于直线y=x对称,
所以线段AB的中点就是直线y=-x+2 023与y=x的交点,
由得即线段AB的中点坐标为,所以=.故选A.
2.D　由分段函数的性质和特征作出分段函数的图象,通过数形结合分析出变量的取值范围.
作出函数f(x)的图象及直线y=m,如图所示,不妨设a由图可得a+b=-2,
因为loc=-lod,所以loc+lod=0,
即lo(cd)=0,即cd=1,所以d=,
所以a+b+c+d=-2+c+,
因为直线y=m与函数f(x)的图象有4个交点,
所以m∈(0,1),
又loc∈(0,1),所以c∈,
根据对勾函数的性质可知t=c+在上单调递减,所以t∈,所以a+b+c+d∈.故选D.
思想方法　利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①能准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,正确掌握参数的取值范围.
3.C　设函数t=x2-ax+1,
则函数f(x)=(a>0且a≠1)由二次函数t=x2-ax+1与指数函数y=at(a>0且a≠1)复合而成.
对底数分a>1和0当0而二次函数t=x2-ax+1的图象开口向上,在区间(1,+∞)上不可能单调递减,
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上不可能单调递增,不满足题意;
当a>1时,函数y=at在定义域上单调递增,
要使函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
则二次函数t=x2-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增,
又其图象的对称轴为直线x=,
所以≤1,解得a≤2,所以a∈(1,2].故选C.
4.解析　(1)由题意得f(4)=loga(5-4)-loga×4+m=0,解得m=-1,所以f(x)=loga(5-x)-loga,令解得2(2)底数a的值不确定,分a>1和0由(1)知, f(x)的定义域为(2,5).
当0所以f(x)=loga(5-x)-loga在(2,5)上单调递增.
因为f(3)=loga2-loga=loga4,所以f(2x-3)当a>1时,函数y=loga(5-x)在(2,5)上单调递减,函数y=loga在(2,5)上单调递增,
所以f(x)=loga(5-x)-loga在(2,5)上单调递减.
因为f(3)=loga2-loga=loga4,所以f(2x-3)综上,当01时,不等式f(2x-3)思想方法　在指数函数和对数函数的有关问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要注意对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现.
5.B　不等式f(x)>0,即log2(x+1)>|x|.
对于不易直接求解的不等式,将其转化为两函数图象之间的关系.
分别作出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象,如图所示.
由图可知,log2(x+1)>|x|的解集是(0,1),所以不等式f(x)>0的解集是(0,1).故选B.
6.C　当x2>x1>0时,x2 f(x1)-x1 f(x2)>x2-x1,
即 x2[f(x1)-]>x1[f(x2)-],
即 >.
设F(x)=,x∈(0,+∞),
构造函数,通过已知条件转化得到函数的单调性.
则对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x2>x1时,都有F(x1)>F(x2),
∴F(x)在(0,+∞)上单调递减.
若f(ln x)>x+ln x,则ln x>0,则F(ln x)=>1,
∵f(1)=1+e,∴F(1)==1,
∴原不等式等价于F(ln x)>1=F(1),
等价转化所求不等式,再根据函数的单调性将其转化为自变量间的大小关系.
∵F(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴0思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数奇偶性对原点左右两侧的函数值进行转化;利用换元法将复杂的函数解析式化为简单的解析式;构造函数,将复杂的问题转化为简单的问题等.
7.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则即f(x)=有两个不相等的实数根,
根据函数的性质构建方程.
logc(2cx+t)=,即2cx+t=.
令=u,u>0,则2u2-u+t=0.
依题意知方程2u2-u+t=0有两个不相等的正实数根,
换元后得到关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用三个“二次”的关系求解.
∴解得08.解析　(1)当b=-2,c=2时, f(x)=4x-2×2x+2,x∈[1,2].
利用换元法,将f(x)的解析式转化为二次函数的解析式.
令t=2x,则t∈[2,4],y=t2-2t+2=(t-1)2+1.
易知函数y=(t-1)2+1在[2,4]上单调递增,所以y∈[2,10],故函数f(x)的值域为[2,10].
(2)由c=2及f(x)+f(-x)=0,得4x+b·2x+2+4-x+b·2-x+2=0,即4x+4-x+b(2x+2-x)+4=0,即(2x+2-x)2+b(2x+2-x)+2=0,所以-b=(2x+2-x)+.
令m=2x+2-x,x∈[0,1],则m∈,-b=m+.
易知函数y=m+在上单调递增,所以-b∈,即b∈.
(3)令t=2x,x∈[0,1],则t∈[1,2], f(x)=0,即t2+b·t+c=0,所以b=-,
将b2+c2转化为只含c的式子,结合常见函数的性质求解.
所以b2+c2=+c2=c2+2c+t2=·+t2-≥t2-=1+t2+-2.
令n=1+t2∈[2,5],则b2+c2≥n+-2,易知y=n+-2在[2,5]上单调递增,所以=2+-2=,所以b2+c2≥,故b2+c2的最小值为.
思想方法　在幂函数、指数函数和对数函数的有关问题中,利用条件构造方程或新函数,通过方程的知识或常见函数的性质解题是一种最基本的方法.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)