2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第7章　三角函数（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第7章　三角函数
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(tan 2 025°,sin 2 025°),则点P位于　　(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
2.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>a>c　　　　C.b>c>a　　　　D.c>a>b
3.已知定义在R上的函数f(x)=则f 的值是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
4.将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.用尺规作图画出正五角星,作法如下:以任意一点为圆心,1为半径画圆O,在圆O内作互相垂直的直径AB和CD.取线段OB的中点E,以E为圆心,EC长为半径作弧,交OA于F.以C为圆心,CF长为半径作弧交圆O于N,G两点,再以N为圆心,CF长为半径作弧交圆O于另一点M,以G为圆心,CF长为半径作弧交圆O于另一点H,连接CM,CH,GN,GM,NH,得到如图所示的正五角星,则图中扇形OAN的面积为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6. 已知函数f(x)=acos ωx(a≠0,ω>0),若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根,则实数ω的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
7. 已知函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,则[f(x)]2+=(　　)
A.5　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
8.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)在区间上单调,且f=f=-f,当x=时, f(x)取到最大值2,若将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>1的解集为(　　)
A.,k∈Z　　　　B.,k∈Z
C.,k∈Z　　　　D.,k∈Z
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知θ∈,sin θ+cos θ=,则下列结论正确的有(　　)
A.θ∈　　　　B.cos θ=
C.tan θ=-　　　　D.cos θ-sin θ=
10.已知函数f(x)=sin+cos,下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)=sin　　　　
B.函数f(x)的最大值为
C.函数f(x)的周期是π　　　　
D. f(x)在上单调递增
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将其图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于点中心对称
B.函数f(x)在上单调递增
C.当x∈时,函数f(x)的最大值为
D.函数g(x)=f(x)-在上恰有3个不同的零点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),m≠0,则=　　　　　.
13.如图,摩天轮的半径为50 m,圆心O距地面的高度为60 m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15 min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱,则游客进舱5 min时他距离地面的高度为　　　　m.
14.已知函数f(x)=2sin(ω>0),若 x∈R,都有f(x)≤恒成立,且f(x)在上单调,则ω的取值集合为　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值.
16.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及f(x)图象的对称中心;
(2)若f =,求cos的值;
(3)先将f(x)的图象的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到h(x)的图象,求函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间.
17.(15分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m,轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P到水面的距离z(单位:m,在水面下,z为负数)表示为时间t(单位:min)的函数;
(2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距离水面的高度相等,求时间t.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程+2asin-2a+2=0在上有解,求实数a的取值范围.
19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质.
(1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围;
(2)已知a>0, f(x)是定义在R上的奇函数,且满足:
①在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1;
②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0.
求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.
答案全解全析
1.D　tan 2 025°=tan(11×180°+45°)=tan 45°>0,sin 2 025°=sin(5×360°+225°)=sin 225°<0,∴点P位于第四象限.故选D.
2.B　a=tan=-tan=-tan=-,b=cos=cos6π-=cos=, c=sin=-sin=-sin=-,
因为>->-,所以b>a>c.故选B.
3.C　f =f =f =f =f =f =cos=cos=.故选C.
4.A　由题意得g(x)=f(x-φ)=2sin=2cos=2cos是偶函数,
所以φ+=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,
又0≤φ≤,所以k=1,φ=.故选A.
5.A　如图,连接OG,OM,OH,则∠CON==72°,
又∠AOC=90°,所以∠AON=90°-72°=18°,
所以扇形OAN的面积S==.故选A.
6.B　由题意得,g(x)=acos=acos,
∵x∈,∴ωx+∈,
∵方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根,
∴ω+∈,解得≤ω<4,
即实数ω的取值范围是,故选B.
7.D　因为函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,
所以2f(-x)-sin(-x)=2f(x)-sin x,即f(x)-f(-x)=sin x,①
f(-x)-cos(-x)=-f(x)+cos x,即f(x)+f(-x)=2cos x,②
联立①②可得f(x)=(sin x+2cos x),
所以f ==(cos x-2sin x),
因此[f(x)]2+=(sin x+2cos x)2+(cos x-2sin x)2=(sin2x+4sin xcos x+4cos2x)+(cos2x-4sin xcos x+4sin2x)=.
故选D.
8.A　∵f(x)在区间上单调,∴≥-=,即T≥,
∴≥,即0<ω≤3.
∵f =f ,∴直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.
∵f =-f ,∴是函数f(x)图象的一个对称中心.
∵T≥,∴x=和是函数f(x)图象相邻的对称轴和对称中心,∴×=-,又ω>0,∴ω=2.
∵函数f(x)的最大值为2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
∵当x=时, f(x)取到最大值2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
根据题意可知g(x)=2sin,
∵g(x)>1,∴2sin>1,即sin>,
∴+2kπ∴不等式g(x)>1的解集是,k∈Z.故选A.
9.ACD　sin θ+cos θ=,等号两边分别平方,得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,因为sin2θ+cos2θ=1,所以2sin θcos θ=-<0,
因为θ∈,所以θ∈,sin θ<0,cos θ>0,
因为(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,cos θ-sin θ>0,
所以cos θ-sin θ=,
结合sin θ+cos θ=,解得sin θ=-,cos θ=,
所以tan θ==-.故选ACD.
10.BD　∵cos=cos=cos-+x=sin,
∴f(x)=sin,故A不正确;函数f(x)的最大值是,故B正确;函数的周期是2π,故C不正确;当x∈-,时,x+∈, ,∴函数f(x)在区间-,上单调递增,故D正确.故选BD.
11.ABD　由题意得ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),将其图象向右平移个单位长度,得到函数f=sin2+φ=sin2x-+φ的图象.因为f为偶函数,所以-+φ=kπ+,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.
对于A,f =sin=0,故A正确.
对于B,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,-≤x≤,因为 ,所以函数f(x)在上单调递增,故B正确.
对于C,当x∈时,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以函数f(x)的最大值为1,故C错误.
对于D,令g(x)=f(x)-=sin-=0,得2x-=2kπ+,k∈Z或2x-=2kπ+,k∈Z,所以x=kπ+,k∈Z或x=kπ+,k∈Z,所以函数g(x)=f(x)-在上的零点为x=,x=,x=,共3个,故D正确.
故选ABD.
12.答案　-3
解析　由角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),可得tan α=2,
则====-3.
13.答案　85
解析　设在t min时,游客距离地面的高度h=Asin(ωt+φ)+B(A>0),其中-π<φ<π,
则解得则h=60+50sin(ωt+φ),
由摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15 min转动一圈,可得=15,所以ω=,即h=60+50sin,
当t=0时,60+50sin φ=10,即sin φ=-1,
因为-π<φ<π,所以φ=-,
所以h=60+50sin=60-50cos,
当t=5时,h=60-50cos=60+25=85.
所以游客进舱5 min时他距离地面的高度为85 m.
14.答案　{1,4}
解析　因为 x∈R,都有f(x)≤恒成立,
所以=2=2,即=1,
即ω+=+kπ(k∈Z),
所以ω=1+3k(k∈Z),
又f(x)在上单调,
所以≥-=,所以≥,
又ω>0,所以0<ω≤,又ω=1+3k(k∈Z),所以ω=1或ω=4.
所以ω的取值集合为{1,4}.
15.解析　(1)f(α)=
==-tan α.(5分)
(2)结合(1)知tan α=-2,
所以===3,(9分)
4sin2α-3sin αcos α====.(13分)
16.解析　(1)由题图可知,A=2,T=-=,因为T==π,
ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(2分)
又函数f(x)的图象过点,所以2=2sin,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(5分)
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(7分)
(2)由(1)及题意,得f =2sin=,即sin=.
因为-=,
所以cos=cos=-sin=-.(10分)
(3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(12分)
因为x∈,所以2x∈,
令π≤2x≤,解得≤x≤,
所以函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间为.(15分)
17.解析　(1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设P(x,y),则点P到水面的距离z=y+2,=sin α,其中α是以Ox为始边,OP为终边的角,
由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox=,(2分)
由该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,得∠P0OP=×t=πt,则α=πt-,
则y=rsin α=4sin,则z=4sin+2,t≥0.(4分)
(2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ=,
设Q(xQ,yQ),则=sin,由(1)知,α=πt-,(7分)
所以yQ=4sin=4sin πt,又P点的纵坐标y=4sin,所以sin πt=sin,(10分)
则πt=πt-+2kπ或πt=π-+2kπ,k∈Z,解得t=k+,k∈N,
由盛水筒P和Q均在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(13分)
则2kπ-<πt<2kπ+,k∈Z,则t=2k+,k∈Z,
由t>0得t=2k+,k∈N.(15分)
18.解析　(1)由题图可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=4×=π,则ω===2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),(3分)
因为f =2sin=2,所以sin=1,即φ+=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,
又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.(6分)
(2)由+2asin-2a+2=0,可得sin2+2a·sin-2a+2=0,
即sin2-2acos-2a+2=0,
即1-cos2-2acos-2a+2=0,
即cos2+2acos+2a-3=0,其中x∈,(10分)
因为x∈,所以<2x+<π,
令t=cos,则t∈,t2+2at+2a-3=0,
则关于t的方程t2+2at+2a-3=0在上有解,
由t2+2at+2a-3=0可得2a=,(13分)
令s=t+1,s∈,即t=s-1,则2a==-s+2,
令h(s)=-s+2,s∈,
因为函数y=,y=2-s在上均单调递减,
所以函数h(s)=-s+2在上单调递减,所以h(s)>h=,
所以2a>,解得a>,
故实数a的取值范围是.(17分)
19.解析　(1)由题意可知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],则m的取值范围为[-2,2].(2分)
(2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1, f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在[-2a,0]上,当且仅当x=-时, f(x)取得最小值-1,(4分)
由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称,
又f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x),
故2a为函数f(x)的周期,
故f(x)∈[-1,1],
易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1].(8分)
当f(x)=1时,x=+2na,n∈Z,
当sin πx=1时,x=+2k,k∈Z,
若+2na=+2k,则a=,k,n∈Z,
此时y1=sin πx+f(x)=2为最大值;(11分)
当f(x)=-1时,x=-+2pa,p∈Z,
当cos πx=1时,x=2t,t∈Z,
若-+2pa=2t,则a=,t,p∈Z,
此时y2=cos πx-f(x)=2为最大值.(14分)
由于a=≠,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4,
即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,
所以y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.(17分)
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