2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第7章　三角函数复习提升（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略轴线角致错
1.(2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中月考)设角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限内”是“cos α<0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知角α的终边过点P(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点2　忽略隐含条件致错
3.已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是(　　)
A.a∈　　　　B.a=1
C.a=1或a=　　　　D.a=
4.(2024广东广州第二中学期末)已知-(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
易错点3　忽略对参数的讨论致错
5.(2023上海宝山期末)已知角α的终边上一点P(-4a,3a),a≠0,则3sin α+cos α=　　　　.
6.已知函数y=2asin+b的定义域为,最大值为1,最小值为-5,则a,b的值分别为　　　　　　　　.
易错点4　忽略三角函数的定义域、值域致错
7. (2024湖北期中联考)若函数f(x)=cos2x+2sin x+在上的值域为,则θ的取值范围为　　　　.
8.(2023江苏扬州中学月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0.若A是△ABC的一个内角,且满足f易错点5　忽略自变量的系数致错
9.(2024江苏盐城阜宁中学阶段检测)若将函数y=sin的图象平移后得到函数y=cos 2x的图象,则进行的平移是(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
10.(2024河北保定期中)函数y=3sin 的单调递减区间为　　　　　　　　.
思想方法练
一、数形结合思想在三角函数中的应用
1.在(0,2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是(　　)
A.　　　　B.∪
C.　　　　D.
2.(2023江苏苏州吴江高级中学月考)方程lg|x|=sin的实数根的个数为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
3.(2022山东聊城期末)下列关于函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的说法,正确的是　　　　.(填序号)
①f(x)是以2π为周期的函数;②当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;③f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ,k∈Z;④当2kπ+π二、分类讨论思想在三角函数中的应用
4.已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3,则ω的取值范围是(　　)
A.∪[6,+∞)　　　　
B.∪
C.(-∞,-2]∪[6,+∞)　　　　
D.(-∞,-2]∪
5. (2024江苏常州期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数h(x)的图象.
(1)求函数f(x)的解析式,并直接写出函数g(x),h(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)+ah在(0,nπ)(n∈N*)内恰有2 023个零点,求实数a与正整数n的值.
三、函数与方程思想在三角函数中的应用
6. (2024江苏泰兴黄桥中学期中)已知扇形的周长是8 cm,当扇形的面积S最大时,扇形的圆心角α的大小为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2
7.(2024江苏泰州中学期中)已知sin α,cos α是关于x的方程17x2+7x+m=0的两根,α∈(0,π).
(1)求2sin αcos α的值;
(2)求tan α的值.
四、转化与化归思想在三角函数中的应用
8. (2024吉林长春吉大附中实验学校期末)在平面直角坐标系中,点A(sin 2 024°,cos 2 024°)位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
9.(2023江苏盐城期末)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的π倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(x)=a-1在上有两个解,求实数a的取值范围.
五、数学建模思想在三角函数中的应用
10.(2023山东烟台期末)如图,点A,B是圆心在原点,半径分别为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始,按逆时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.
(1)求t=时,A,B两点间的距离;
(2)求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈时,这个函数的值域.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　若角α的终边在第二、三象限内,则cos α<0,充分性成立;若cos α<0,则角α的终边在第二、三象限内或在x轴负半轴上,必要性不成立.故“角α的终边在第二、三象限内”是“cos α<0”的充分不必要条件.故选A.
2.答案　(-2,3]
解析　∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边在第二象限内或在y轴的非负半轴上,
又∵角α的终边过点P(3a-9,a+2),
∴∴-2∴实数a的取值范围是(-2,3].
3.D　∵sin2θ+cos2θ=1,
∴+=1,解得a=1或a=.
当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去;
当a=时,sin θ>0,cos θ<0,θ是第二象限角,符合题意.
∴a=.故选D.
易错警示　隐含条件为sin θ>0,cos θ<0,利用平方关系解出a的值后要注意检验.
4.解析　(1)∵sin x+cos x=,∴(sin x+cos x)2=,
∴2sin xcos x=-,
∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
解得sin x-cos x=±,
∵-0,
∴sin x-cos x<0,
∴sin x-cos x=-.
(2)由(1)知,sin x-cos x=-,∴cos x-sin x=,
又sin x+cos x=,
∴=
==.
易错警示　根据-5.答案　±1
解析　当a>0时,sin α==,cos α==-,所以3sin α+cos α=1;
当a<0时,sin α==-,cos α==,所以3sin α+cos α=-1.
综上,3sin α+cos α=±1.
易错警示　利用三角函数的概念进行化简或证明时,要注意三角函数的符号.当题中涉及参数时,要注意进行分类讨论.
6.答案　12-6,-23+12或-12+6,19-12
解析　∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤sin≤1.
由题知a≠0.
若a>0,则解得
若a<0,则解得
易错警示　形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0,ω≠0,A,B,ω,φ为常数)的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行讨论.
7.答案　
解析　f(x)=cos2x+2sin x+=1-sin2x+2sin x+,x∈,
令t=sin x,x∈,则原函数可转化为y=-t2+2t++1,结合函数t=sin x和y=-t2+2t++1的图象(图略)知t∈.
当x=-时,t=sin x=-,此时y=;
令y=2+,则-t2+2t++1=2+,解得t=1(二重根).
结合t=sin x的图象可知,≤θ≤,
故θ的取值范围为.
易错警示　解与三角函数有关的值域问题时,要注意正、余弦函数的定义域和有界性.
8.答案　∪
解析　∵偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,
∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
∴f =f ∴>2,
∴0<|sin 2A+1|<,
∴-1∵A是△ABC的一个内角,
∴0∴0<2A<2π,
∴<2A<,且2A≠,
∴A∈∪.
易错警示　研究三角函数的性质时,首先要考虑自变量的范围,再结合函数的定义域进行等价变形,进而利用相关性质解决问题得到结论.
9.A　对于A,将y=sin的图象向左平移个单位长度可得到y=sin=sin=cos 2x的图象,故A正确;
对于B,将y=sin的图象向右平移个单位长度可得到y=sin=sin 2x的图象,故B错误;
对于C,将y=sin的图象向右平移个单位长度可得到y=sin=sin的图象,故C错误;
对于D,将y=sin的图象向左平移个单位长度可得到y=sin=sin的图象,故D错误.
故选A.
易错警示　三角函数图象变换中的左右平移是对x而言的,如果x前面的系数不是1,那么应先提取系数,再进行平移.注意不要忽略x的系数,同时要注意分清平移方向.
10.答案　(k∈Z)
解析　因为y=3sin=-3sin,
所以y=3sin 的单调递增区间就是y=3sin的单调递减区间.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数y=3sin的单调递减区间为(k∈Z).
易错警示　求三角函数的单调区间时,要注意x的系数的符号.当x的系数为负数时,一般先将系数转化为正数再求函数的单调区间.
思想方法练
1.A　由sin x>|cos x|≥0,得sin x>0,
又x∈(0,2π),∴x∈(0,π).
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=|cos x|在(0,π)上的图象,通过数形结合求出x的取值范围.
在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=|cos x|在(0,π)上的图象,如图.
由图可知,使sin x>|cos x|成立的x的取值范围为.故选A.
2.C　方程lg|x|=sin的实数根的个数就是函数y=lg|x|与y=sin的图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg|x|和函数y=sin的图象,通过分析图象求解.
由≤1得-1≤lg|x|≤1,即≤|x|≤10.
当x>0时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg|x|和y=sin的大致图象,如图所示:
由图可知,当x>0时,函数y=lg|x|和y=sin的图象有3个交点.同理,当x<0时,函数y=lg|x|和y=sin的图象也有3个交点.
故函数y=lg|x|和y=sin的图象共有6个交点,即方程lg|x|=sin有6个实数根.故选C.
思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常通过数形结合实现函数图象与性质的结合,如三角函数线的应用、利用图象解三角不等式、解决函数的零点与方程的根的问题.
3.答案　①②④
解析　f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|
=
=
f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+cos x+|sin x-cos x|=f(x),故①正确.
作出y=f(x)的图象,如图,
由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质.
由图可知,当且仅当x=2kπ+,k∈Z时, f(x)min=-,故②正确.
由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③不正确.
由图可得,当2kπ+π又f(π)=f =0,所以-≤f(x)<0,故④正确.
4.D　显然ω≠0.
分ω>0和ω<0两种情况进行讨论.
当ω>0时,ωx∈,所以-≤-,解得ω≥;
当ω<0时,ωx∈,所以≤-,解得ω≤-2.
所以ω的取值范围是(-∞,-2]∪.故选D.
5.解析　(1)由题图知, f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2,
将代入f(x)=Asin(2x+φ),得2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,
∵φ∈,∴φ=.
由题图知, f(0)=1,∴Asin=1,∴A=2,
∴f(x)=2sin,
根据题意,得g(x)=2sin=2sin2x+=2cos 2x,h(x)=2cos x.
(2)由(1)及题意,得F(x)=2cos 2x+a·2cosx+=2(1-2sin2x)-2asin x,
令F(x)=0,则2(1-2sin2x)-2asin x=0,
∴2sin2x+asin x-1=0,
令sin x=t,则2t2+at-1=0,易知其判别式Δ=a2+8>0,故方程2t2+at-1=0有两个不等实根,分别设为t1,t2,由根与系数的关系知t1t2=-<0,故t1,t2异号,不妨设t1<0作出y=sin x在x∈(0,nπ)上的大致图象如图所示:
由题意可知,直线y=t1,y=t2与函数y=sin x的图象的交点总个数为2 023,显然t1=-1,或t2=1中必有一个成立,需要分两种情况讨论.
①当t1=-1时,a=1,此时t2=,
当n为偶数和n为奇数时交点情况不同,故进行分类讨论.
当n为偶数时,方程sin t=有n个解,方程sin t=-1有个解,
此时令n+=2 023,n∈N*,无解,舍去;
当n为奇数时,方程sin t=有(n+1)个解,方程sin t=-1有个解,此时令n+1+==2 023,n∈N*,无解,舍去.
②当t2=1时,a=-1,此时t1=-.
当n为偶数和n为奇数时交点情况不同,故进行分类讨论.
当n为偶数时,方程sin t=1有个解,方程sin t=-有n个解,此时令n+=2 023,n∈N*,无解,舍去;
当n为奇数时,方程sin t=1有个解,方程sin t=-有(n-1)个解,此时令+n-1=2 023,n∈N*,解得n=1 349.
综上所述,a=-1,n=1 349.
思想方法　当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可进行分类讨论.三角函数的问题经常受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论.
6.D　设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,
∵扇形的周长为8 cm,
∴2r+l=8,即l=8-2r,由l>0,得0构造面积S关于半径r的函数,利用二次函数的性质解决问题.
∴S=lr=(8-2r)·r=-r2+4r=-(r-2)2+4,
根据二次函数的性质,得当r=2 cm时,扇形的面积最大,为4 cm2,
此时,α===2.故选D.
7.解析　(1)因为sin α,cos α是关于x的方程17x2+7x+m=0的两根,
利用方程知识得到sin α与cos α的关系,进而解决问题.
所以sin α+cos α=-,
又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,
所以=1+2sin αcos α,
所以2sin αcos α=-.
(2)由(1)可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=,且sin α与cos α异号,
又因为α∈(0,π),所以α∈,所以sin α>0,cos α<0,故sin α-cos α=,
结合sin α+cos α=-,列方程组求解.
联立解得
所以tan α=-.
思想方法　在本章中,研究三角函数的有关问题时,将条件化为等式或者函数式,通过方程或函数的知识求解,是一种常见的方法.
8.C　利用诱导公式将2 024°角转化为0°~360°范围内的角.
因为sin 2 024°=sin(360°×6-136°)=-sin 136°=-sin(180°-44°)=-sin 44°<0,cos 2 024°=cos(360°×6-136°)=cos 136°=cos(180°-44°)=-cos 44°<0,
所以在平面直角坐标系中,点A(sin 2 024°,cos 2 024°)位于第三象限.
故选C.
9.解析　(1)由题图得最小正周期T=2×=2,∴ω==π,∴f(x)=cos(πx+φ).
∵f =cos=-1,
∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=cos.
令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,得2k-≤x≤2k+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)易得g(x)=sin.
若方程g(x)=a-1在上有两个解,则函数y=sin的图象与直线y=a-1在上有两个不同的交点.
利用转化思想,将方程的解的个数问题转化为函数图象与直线的交点个数问题.
令t=x+,x∈,
则t∈,y=sin t.
作出函数y=sin t在上的图象,如图所示:
由图可得,≤a-1<1或-1思想方法　转化与化归思想在三角函数中常见的应用:将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数进行求值;将y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0,A,ω,φ为常数)的图象转化为y=Asin t的图象来研究;进行恒等变形或者条件的等价转化等.
10.解析　(1)当t=时,∠xOA=+=,∠xOB=,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D(图略),
则∠AOD=.
∵OA=1,∴OD=,AD=,
∵OB=2,∴BD=2+=,
∴AB===,
即A,B两点间的距离为.
(2)依题意知y1=sin,y2=-2sin 2t,
所以y=y1+y2=sin-2sin 2t=cos 2t-sin 2t=cos,
结合已知条件,构造三角函数模型,利用三角函数知识解决相关问题.
即函数关系式为y=cos(t>0).
当t∈时,2t+∈,
∴cos∈,
∴y∈.
思想方法　现实生活中与周期性相关的问题,常建立三角函数模型进行解决.
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