2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第8章　函数应用（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
第8章　函数应用
全卷满分150分　　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x+2x的零点所在区间是(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.(-1,0)　　　　C.(0,1)　　　　D.(1,2)
2.小胡同学用二分法求函数y=f(x)在区间(1,2)上的零点近似值,由计算可得f(1)<0, f(2)>0, f(1.5)<0,则小胡同学下次应计算的函数值为　　(　　)
A.f(0.5)　　　　B.f(1.125)　　　　C.f(1.25)　　　　D.f(1.75)
3.在不考虑空气阻力的条件下,从发射开始,火箭的最大飞行速度v(单位:千米/秒)满足公式v=wln,其中M为火箭推进剂质量(单位:吨),m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量(单位:吨),w为火箭发动机喷流相对火箭的速度(单位:千米/秒).当M=3m时,v=5.544千米/秒.在保持w不变的情况下,若m=25吨,假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒,则M至少约为(结果精确到1,参考数据:e2≈7.389,ln 2≈0.693)(　　)
A.135吨　　　　B.160吨　　　　C.185吨　　　　D.210吨
4.已知x1是函数f(x)=xln x-2 024的一个零点,x2是函数g(x)=xex-2 024的一个零点,则x1·x2的值为(　　)
A.1 012　　　　B.2 024　　　　C.4 048　　　　D.8 096
5.若二次函数y=x2-2x+m在区间(1,+∞)上有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.[1,+∞)
C.(-∞,1)　　　　D.R
6.若用二分法求函数f(x)=2x-(x>1)的零点近似值,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于(　　)
A.,　　　　B.2,3　　　　C.,2　　　　D.,
7.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(a+8)·f(x)-a=0有6个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.(-4,0)　　　　D.
8.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉.函数f(x)=[x]称为高斯函数,其中x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-1.1]=-2,[2.5]=2,则方程[2x+1]+[x]=4x的所有解之和为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(　　)
A.y=+1　　　　B.y=
C.y=x2+4x+8　　　　D.y=|x|
10.已知x1,x2为函数f(x)=2 024-x-|log3(x-3)|的两个零点,则下列结论中正确的有(　　)
A.(x1-4)(x2-4)<0　　　　B.0<(x1-3)(x2-3)<1
C.(x1-3)(x2-3)>1　　　　D.若x111.已知函数f(x)=函数y=f(x)-m有四个不同的零点,且从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列结论正确的是(　　)
A.x1x2=1　　　　B.0≤x1x2<1　　　　C.x3x4=1　　　　D.-1三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至少要喷洒　　　　　次.(参考数据:lg 2≈0.301 0)
13.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的取值范围是　　　　.
14.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是　　　　;若函数g(x)=f(f(x))-a,且函数g(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m+11=0,当m分别在什么范围内取值时,方程的两个实数根:
(1)都大于1
(2)都小于1
(3)一个大于1,一个小于1
16.(15分)汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为s(单位:m),驾驶员反应时间内汽车所行的距离为s1(单位:m),刹车距离为s2(单位:m),则s=s1+s2,其中s1与刹车时的车速v(单位:km/h)满足s1=v,s2与刹车时的车速v的部分关系见下表:
v/(km/h) 15 30 60 105
s2/m 1.25 5 20 61.25
(1)在平面直角坐标系内画出(v,s2)的散点图,从①s2=a·2v;②s2=av2;③s2=alog2(v+1)中选择最恰当的一个函数模型拟合s2与v之间的关系,并求出其解析式;
(2)在限速100 km/h的高速公路上,驾驶员遇障碍物紧急刹车,已知驾驶员的停车距离为51 m,请根据(1)中所求的解析式,判断驾驶员是否超速行驶.
17.(15分)已知函数f(x)=2x--2.
(1)证明:函数f(x)有且只有两个不同的零点;
(2)已知n∈Z,设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2(x1①x1∈;②x1∈;③x2∈;④x2∈.
18.(17分)已知函数f(x)=ln x+x+m和g(x)=x2-tx-1.
(1)若函数f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数m的取值范围;
(2)设x1∈{x|F(x)=0},x2∈{x|G(x)=0},若存在x1,x2,使得|x1-x2|≤1,则称F(x)和G(x)“零点贴近”.当m=-1时,函数f(x)与g(x)“零点贴近”,求实数t的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=+m.
(1)若函数y=f(x)有4个零点x1,x2,x3,x4(x1(2)是否存在非零实数m,使得函数f(x)在区间[a,b](0答案全解全析
1.B　因为函数y=x,y=2x均为R上的增函数,
所以函数f(x)=x+2x为R上的增函数,
因为f(-1)=-1+2-1=-<0, f(0)=1>0,
所以函数f(x)=x+2x的零点所在区间是(-1,0).
故选B.
2.D　因为f(1)<0, f(2)>0, f(1.5)<0,所以函数y=f(x)在区间(1.5,2)上有零点,
根据二分法,下次应计算的函数值为区间中点函数值,即f(1.75).故选D.
3.B　由题意知,当M=3m时,v=5.544千米/秒,所以5.544=wln=2wln 2,解得w=≈=4(千米/秒),故v=4ln.
若m=25吨,v=8千米/秒,则8=4ln,解得M=25(e2-1)≈160(吨).故选B.
4.B　令f(x)=0,即xln x-2 024=0,即ln x=,
令g(x)=0,即xex-2 024=0,即ex=,
设函数y=ln x与y=图象的交点为A,函数y=ex与y=图象的交点为B,则A,B,
又y=ln x与y=ex的图象关于直线y=x对称,且y=的图象也关于直线y=x对称,
所以点A,B关于直线y=x对称,所以x1=,得x1·x2=2 024.故选B.
5.C　由题意得12-2×1+m<0,解得m<1,所以实数m的取值范围是(-∞,1).故选C.
6.A　f(x)=2x-=2x-=2x--2(x>1),根据指数函数与反比例函数的性质,可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上至多有一个零点,
又函数f(x)的零点所在区间依次为[a,b],,,
所以即解得故选A.
7.A　作出函数y=f(x)的图象如图所示:
令t=f(x),则原方程可转化为t2-(a+8)t-a=0,
因为关于x的方程[f(x)]2-(a+8)f(x)-a=0有6个不同的实数根,
所以关于t的方程t2-(a+8)t-a=0在(1,3]上有两个不相等的实数根,
设g(t)=t2-(a+8)t-a,则函数g(t)=t2-(a+8)t-a在(1,3]上有2个不同的零点,
所以解得-48.C　 x∈R, k∈Z,使k≤2x+1若k为奇数,则∈Z,∴[x]=,
∴[2x+1]+[x]=k+=4x,则2k-2≤k+<2k,
解得-1当k=1时,0≤x<,[x]=0,[2x+1]=1,∴1+0=4x x=∈;
当k=3时,1≤x<,[x]=1,[2x+1]=3,∴3+1=4x x=1∈.
若k为偶数,则∈Z,∴[x]=-1,
∴[2x+1]+[x]=k+-1=4x,则2k-2≤k+-1<2k,
解得-2当k=0时,-≤x<0,∴[x]=-1,[2x+1]=0,∴-1+0=4x x=-∈;
当k=2时,≤x<1,∴[x]=0,[2x+1]=2,∴0+2=4x x=.
因此所有解之和为+1-+=.故选C.
9.CD　易知A,B中函数有零点,且可用二分法求零点的近似值.对于C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
10.ABD　根据题意知,y=2 024-x与y=|log3(x-3)|的图象在(3,+∞)上有两个交点,且横坐标分别为x1,x2,
y=2 024-x在(3,+∞)上单调递减,且值域为(0,2 024-3);
y=|log3(x-3)|=且当x=4时,y=-log3(x-3)=0,
所以y=-log3(x-3)在(3,4]上单调递减,值域为[0,+∞);
y=log3(x-3)在(4,+∞)上单调递增,值域为(0,+∞).
综上,y=2 024-x与y=|log3(x-3)|的图象的交点在直线x=4的两侧,
即原函数的两个零点分别在区间(3,4),(4,+∞)上,
故(x1-4)(x2-4)<0恒成立,故A正确;
不妨设3令g(x)=2 024x,由指数函数的性质,得g(x)在R上单调递增,
若证<,则证x1-3<,即(x1-3)(x2-3)<1,显然D正确.故选ABD.
11.BCD　由题意得,当x∈(-2,0]时, f(x)=|ln(x+2)|,
当x∈(0,2]时, f(x)=f(x-2),
所以当x-2∈(-2,0]时, f(x-2)=|ln(x-2+2)|=|ln x|,
所以f(x)=
作出y=f(x)的图象,如图所示:
根据题意得,函数f(x)的图象与直线y=m有四个交点,
由图象知,m∈(0,ln 2],则x1∈,且 f(x1)=-ln(x1+2);
x2∈(-1,0],且f(x2)=ln(x2+2).
由f(x1)=f(x2),得-ln(x1+2)=ln(x2+2),即ln(x1+2)+ln(x2+2)=0,
所以ln[(x1+2)(x2+2)]=0,所以(x1+2)(x2+2)=1,所以x1x2+2(x1+x2)+3=0,当x2=0时,x1x2=0;
当x2≠0时,x1+x2<-2,
所以x1x2-4+3>0,解得0<<1或>3(舍去),
所以x1x2∈[0,1),故A错误,B正确;
由上述分析知x3∈,且f(x3)=-ln x3,x4∈(1,2],且f(x4)=ln x4,
因为f(x3)=f(x4),所以-ln x3=ln x4,所以ln x3+ln x4=0,即ln(x3x4)=0,所以x3x4=1,故C正确.
因为x2∈(-1,0],x4∈(1,2],x2+2=x4,所以x2x4=x2(x2+2)=-1∈(-1,0],故D正确.故选BCD.
12.答案　5
解析　设喷洒x(x∈N*)次,则(1-80%)x<0.1%,即0.2x<10-3,
∴xlg 0.2<-3,∴x>,
又lg 2≈0.301 0,∴≈≈4.3,
又x∈N*,∴x≥5,即至少要喷洒5次.
13.答案　
解析　作出函数y=f(x)的图象如图所示:
由图象可知,当0不妨设x1由二次函数图象的对称性可知x3+x4=8,∴x1+x2+x3+x4=x1++8,
易知x1∈时,y=x1++8单调递减,∴1014.答案　-2和-;[-1,+∞)
解析　由解得x=-2.由解得x=-.
所以函数f(x)的零点是-2和-.
设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).
在同一平面直角坐标系内作出y=f(t)的图象及直线y=a.
若a≥-1,则y=f(t)的图象与直线y=a有两个交点,设两个交点的横坐标分别为t1,t2(t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.
易得y=f(x)的图象和y=f(t)的图象相同,结合y=f(x)的图象可得,当t1<-1时,t1=f(x)有且只有一个解,当t2≥-1时,t2=f(x)有两个不同的解.
若a<-1,则y=f(t)的图象与直线y=a只有一个交点,设交点的横坐标为t3,则t3<-1,当t3<-1时,t3=f(x)有且只有一个解,不符合题意.
综上,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点时,实数a的取值范围是[-1,+∞).
15.解析　(1)若方程的两个实数根都大于1,则(2分)
即解得5≤m<14.(4分)
(2)若方程的两个实数根都小于1,则(6分)
即解得m≤-2.(8分)
(3)若方程的两个实数根一个大于1,一个小于1,
则当x=1时,1-2(m-1)+m+11<0,解得m>14.(13分)
16.解析　(1)作出散点图如图所示,
最恰当的一个函数模型为②s2=av2.(3分)
将(30,5)代入s2=av2,得5=a·302,解得a=,所以s2=v2.
经检验,题表中其余三点的坐标均满足s2=v2.(7分)
(2)由(1)及题意知,s=s1+s2=v+v2.(10分)
解法一:当v=100时,s=×100+×1002=.
因为>51,所以驾驶员没有超速行驶.(15分)
解法二:当s=51时,v+v2=51,即v2+12v-9 180=0,(10分)
所以(v+102)(v-90)=0,又v≥0,所以v=90.
因为90<100,所以驾驶员没有超速行驶.(15分)
17.解析　(1)证明:由题意可知,函数f(x)=2x--2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)=2x--2在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增且连续,
因为f(-1)=-<0, f =>0,所以f(-1)f <0,(3分)
故f(x)在内有唯一零点,
又f(1)=-1<0, f(2)=>0,所以f(1)f(2)<0,
故f(x)在(1,2)内有唯一零点.
综上,函数f(x)有且只有两个不同的零点.(7分)
(2)①③为真命题,②④为假命题.(8分)
理由如下:∵函数f(x)的两个零点分别为x1,x2(x1∴x1∈,x1 ,(10分)
又f(1)=-1<0, f =--2=->0,
所以x2∈,故x2∈,x2 ,
故①③为真命题,②④为假命题.(15分)
18.解析　(1)令f(x)=0,则ln x+x+m=0,即m=-(ln x+x).
令h(x)=-(ln x+x),易知h(x)在(0,+∞)上单调递减,(3分)
又h(2)=-(ln 2+2),h(e)=-(ln e+e)=-1-e,
所以h(x)在(2,e)上的值域为(-1-e,-ln 2-2),
所以实数m的取值范围为(-1-e,-ln 2-2).(7分)
(2)当m=-1时, f(x)=ln x+x-1,易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
令f(x)=0,则ln x+x-1=0,所以x=1,即x1=1.(10分)
由|x1-x2|≤1得,|1-x2|≤1,解得0≤x2≤2,即x2∈[0,2].
要使函数f(x)与g(x)“零点贴近”,则函数g(x)在[0,2]上有零点,(13分)
令g(x)=0,则x2-tx-1=0,又Δ=t2+4>0,所以方程x2-tx-1=0有两个不相等的实数根,即函数g(x)=x2-tx-1有两个零点,
而g(0)=-1<0,所以g(2)≥0,即22-2t-1≥0,解得t≤.
故实数t的取值范围是.(17分)
19.解析　(1)证明:因为函数f(x)=+m有4个零点x1,x2,x3,x4(x1于是方程x-+2+m=0,-+m=0各有两个不同的解,
即方程x2+(2+m)x-3=0,x2+(2-m)x-3=0各有两个不同的实数根,
于是x1x2x3x4=9.(7分)
(2)f(x)=+m=
易知y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
①设函数f(x)在[a,b]上不单调,则有0因为m≠0,所以a=2,与a≤1矛盾;(10分)
②当1≤a即
所以a,b是一元二次方程x2+(m+2)x-3-2m=0的两个不相等的实数根,
记g(x)=x2+(m+2)x-3-2m,
则所以m<-6-2;(13分)
③当0①-②,得(ab+3+2m)(b-a)=0,即ab+3=-2m,又0①+②,得a+b=,
又ab=-(2m+3),∴+==∈(2,+∞),
∴m<-4,与m∈矛盾,此时满足条件的实数m不存在.
综上所述,满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-6-2).(17分)
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