2025苏教版高中数学必修第一册同步练习题--第8章　函数应用拔高练（含解析）

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2025苏教版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　函数的零点及其应用
1.(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(　　)
A.a<0　　　　B.a>0　　　　
C.b<0　　　　D.b>0
2.(2021天津,9)设a∈R,函数f(x)=若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点,则a的取值范围是(　　)
A.∪　　　　B.∪
C.∪　　　　D.∪
3.(2021北京,15)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
4.(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　.
考点2　函数模型的应用
5.(2020新高考Ⅰ,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　C.2.5天　　　　D.3.5天
6.(上海,19)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
三年模拟练
应用实践
1.(2024江苏丹阳高级中学期中)若函数f(x)=有4个零点,则正数ω的取值范围是(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
2.(2023江苏镇江期末)已知函数f(x)=其中a,b∈R,给出下列四个结论:
甲:6是该函数的零点;
乙:4是该函数的零点;
丙:该函数的零点之积为0;
丁:方程f(x)=有两个不相等的实数根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误的结论是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
3. (2024江苏徐州期末)已知函数f(x)=x+-2,且关于x的方程f(|ex-1|)+-3k2=0有三个不同的实数解,则实数k的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
4.(多选题)(2024江苏盐城期末)已知函数f(x)=x∈R,g(x)=f(x)-b,则下列说法正确的是(　　)
A.存在m∈R,使得函数y=g(x)是R上的增函数
B.若存在b,使得函数y=g(x)存在4个零点,则m∈(0,2)
C.当m=-1时,若函数y=g(x)有1个零点,则b∈[-3,1)
D.对于任意的m∈R,存在实数b使得函数y=g(x)有2个零点
5.(2023江苏苏州期中)已知函数f(x)=则函数g(x)=2-f(f(x))的所有零点之积为　　　　.
6. (2024江苏南京期末)中国政府在第七十五届联合国大会上提出:“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后,国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元,预计今年若不做任何改变,则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召,节能减排,该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备,并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:m2)成正比,比例系数约为0.6.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:m2)之间的函数关系是C(x)=(x≥0,k为常数).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为y(单位:万元).
(1)求常数k,并写出y关于x的函数表达式;
(2)当太阳能电池板的面积x为多少平方米时,y取得最小值 且y最少是多少
7.(2024江苏镇江期末)已知函数f(x)=-(m+5)log2x+m+8的定义域为[4,16].
(1)如果不等式f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)如果函数y=f(x)存在两个不同的零点x1,x2(x1①求实数m的取值范围;
②求的最大值.
8. (2024湖北武汉期末)已知函数f(x)=-x+1,g(x)=|x-1|+|x-k|(k>1).
(1)设h(x)=若φ(x)=h(x)+h(-x)-13恰有两个零点x1,x2,且x1x2=-16.判断函数φ(x)的奇偶性,并求实数k的值;(2)若 x>0, t∈R, f(x)+xg(x)+2xt-t2<0成立,求实数k的取值范围.
迁移创新
9.(2023江苏徐州期末)对于函数f(x),若在其定义域内存在实数x0,t,使得f(x0+t)=f(x0)+f(t)成立,则称f(x)是“t跃点”函数,并称x0是函数f(x)的1个“t跃点”.
(1)求证:函数f(x)=2x+2x2在[0,1]上是“1跃点”函数;
(2)若函数g(x)=x3+ax2-3在(-2,+∞)上存在2个“1跃点”,求实数a的取值范围;
(3)是否同时存在实数m和正整数n,使得函数h(x)=cos 2x-m在[0,nπ]上有2 022个“跃点” 若存在,求出m,n满足的条件;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C　解法一:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则方程f(x)=0存在三个根x1=a,x2=b,x3=2a+b.当三个根都小于0时,如图①所示,对于任意x≥0, f(x)>0恒成立,符合题意.
　　图①　　　图②
当存在实数根大于0时,要使得对于任意x≥0, f(x)≥0恒成立,则三个根一定是两个相等的正根和一个负根,如图②所示.当a=b>0时,2a+b>0,不符合题意,舍去;当a=2a+b>0时,a=-b>0,b<0,符合题意;当b=2a+b时,a=0,不符合题意,舍去.
综上所述,当满足条件时,b<0.故选C.
解法二:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,则ab·(2a+b)≤0.若b>0,则当a>0时,ab(2a+b)>0,与ab(2a+b)≤0矛盾,舍去;当a<0时,由ab(2a+b)≤0,得2a+b≥0,故a+b>0, f(a+b)=(a+b-a)·(a+b-b)(a+b-2a-b)=ab(-a)=-a2b<0,与已知矛盾,舍去.故b<0.故选C.
2.A　当x≥a时, f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5,
其图象的对称轴方程为x=a+1>a,∴f(x)min=f(a+1)=4-2a.
①当4-2a>0,即a<2时, f(x)在[a,+∞)内无零点,
∴当x又T==1,∴作出f(x)的部分图象,如图,
∴∴②当4-2a=0,即a=2时, f(x)在[a,+∞)内有1个零点,
∴当x∴∴③当4-2a<0,即a>2时,
(i)当f(a)<0,即a>时, f(x)在[a,+∞)内有1个零点,
∴当x∴∴(ii)当f(a)≥0,即a≤时,f(x)在[a,+∞)内有2个零点,
∴当x∴∴综上可得,a∈∪.
3.答案　①②④
解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有一个交点,如图d,故②正确,③不正确.
综上,正确结论的序号为①②④.
图a 图b
图c 图d
4.答案　(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析　解法一:函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点等价于关于x的方程ax2-2x-|x2-ax+1|=0有两个不相等的实根,设h(x)=x2-ax+1,令x2-ax+1=0,则Δ=a2-4.
则f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|
=
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,h(x)=x2-ax+1≥0对任意的x∈R恒成立.
所以f(x)=(x+1)[(a-1)x-1],
a=1时,令f(x)=0,得x=-1,与f(x)=0有两个不相等的实根矛盾;
a=0时,令f(x)=0,得x1=x2=-1,与f(x)=0有两个不相等的实根矛盾;
当a≠0且a≠1时,令f(x)=0,得x1=-1,x2=,
此时f(x)=0有两个不相等的实根.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,分两种情况:
(i)若a>2,则:
h(x)≥0时,由f(x)=0,得x1=-1,x2=,
此时h(-1)=a+2>0,h=-+1=<0,所以x1=-1,x2=(舍);
h(x)<0时,由f(x)=0,得x3=1,x4=,
此时h(1)=-a+2<0,h=-+1=>0,所以x3=1,x4=(舍).
所以a>2时, f(x)=0有两个实根,分别为1,-1.
(ii)若a<-2,则:
h(x)≥0时,由f(x)=0,得x1=-1,x2=,
此时h(-1)=a+2<0,h=-+1=>0,所以x1=-1(舍),x2=;
h(x)<0时,由f(x)=0,得x3=1,x4=,
此时h(1)=-a+2>0,h=-+1=<0,所以x3=1(舍),x4=.
所以a<-2时, f(x)=0有两个实根,分别为,.
综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
解法二(数形结合):函数f(x)有且仅有两个零点 关于x的方程ax2-2x=|x2-ax+1|有两个不相等的实根 ax-2==有两个不相等的实根(x=0不是根),
故在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax-2,y=的大致图象易知直线y=ax-2恒过y=(x<0)图象的最高点,若两函数图象有两个交点,则符合题意.
故a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
5.B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例数增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈≈1.8.
故选B.
6.解析　(1)由题意知,当3040,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,
故x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30故g(x)=
当0当32.5说明该地上班族S有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当有32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.
三年模拟练
1.B　当x>0时,令f(x)=0,即log2x+2x=0,即log2x=-2x,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x与y=-2x的图象如图①所示,
由图可知,当x>0时,函数f(x)只有1个零点,
又函数f(x)=有4个零点,
所以当x∈[-π,0]时,函数f(x)=sin有3个零点,作出y=sin x的图象如图②所示,
因为x∈[-π,0],
所以ωx+∈,
所以-3π<-ωπ+≤-2π,
解得≤ω<,即正数ω的取值范围为.
故选B.
2.B　当x∈[0,2)时, f(x)=2x-a,则f(x)在[0,2)上单调递增,当x∈[2,+∞)时, f(x)=b-x,则f(x)在[2,+∞)上单调递减,故6和4只有一个是函数的零点,即甲、乙中有一个结论错误,丙、丁均正确.
由函数的零点之积为0,得必有一个零点为0,所以f(0)=20-a=0,解得a=1.
①若甲正确,则f(6)=0,即b-6=0,解得b=6,所以f(x)=
由f(x)=得或
解得x=log2或x=,
即方程f(x)=有两个不相等的实数根.
②若乙正确,则f(4)=0,即b-4=0,解得b=4,
所以f(x)=
由f(x)=得或
解得x=log2或x=(舍去),
即方程f(x)=只有一个实数根.
综上可知,乙的结论错误.
故选B.
3.B　由f(|ex-1|)+-3k2=0,及f(x)=x+-2,得|ex-1|++-3k2-2=0,且|ex-1|≠0,则x≠0,
故-(3k2+2)|ex-1|+2k+1=0(x≠0),
令t=|ex-1|(x≠0),则t>0,
作出函数t=|ex-1|(x≠0)的图象如图所示,
原方程即为t2-(3k2+2)t+2k+1=0(t>0),
因为关于x的方程f(|ex-1|)+-3k2=0有三个不同的实数解,
所以关于t的方程t2-(3k2+2)t+2k+1=0的两根分别在(0,1)和[1,+∞)上,
令g(t)=t2-(3k2+2)t+2k+1,
当g(1)=-3k2+2k=0时,k=0或k=,
若k=0,则t2-2t+1=0,解得t=1(二重根),不符合题意,
若k=,则t2-t+=0,解得t=1或t=,不符合题意,
所以g(1)=-3k2+2k≠0,
则
解得-,
所以实数k的取值范围为∪.
故选B.
4.BD　易知当m≤0时, f(x)在(-∞,m]上单调递减,当m>0时, f(x)在(-∞,0)上单调递减,
因为g(x)=f(x)-b与f(x)的单调性相同,
所以不存在m∈R,使得函数y=g(x)是R上的增函数,故A错误;
易得y=x2-2(m+1)x+4m的最小值为-(m-1)2,恒小于或等于0.
作出02,m<0,m=0时函数y=f(x)的图象分别如图所示:
　
　
由图可知,要使f(x)的图象与直线y=b有4个交点,则0当m=-1时,观察图⑥,可知当b=-(m-1)2=-4时, f(x)的图象与直线y=b也只有1个交点,
即此时函数y=g(x)也只有1个零点,故C错误;由图可知,当b>|m|且b>m(2-m)时,函数y=f(x)的图象与直线y=b必有2个交点,故D正确.
故选BD.
5.答案　-2
解析　令g(x)=2-f(f(x))=0,即f(f(x))=2.
当x≤0时, f(x)=2x>0,则f(f(x))=|log22x|=|x|=-x=2,解得x=-2;
当x>0且x≠1时, f(x)=|log2x|>0,则f(f(x))=|log2|log2x||=2,
即log2|log2x|=±2,
所以|log2x|=4或|log2x|=,
即log2x=±4或log2x=±,解得x=或x=16或x=或x=;
当x=1时, f(1)=|log21|=0, f(f(1))=20=1,不符合题意.
综上,函数g(x)=2-f(f(x))的所有零点之积为-2××16××=-2.
6.
思路点拨　(1)根据C(0)=50,即可求得k的值,结合题意即可求得y关于x的函数表达式.
(2)将y关于x的函数表达式整理变形为y=+(x+6)-,利用基本不等式即可求得答案.
解析　(1)由题意知C(0)==50,解得k=3 000,
则y=×20+0.6x=+0.6x(x≥0).
(2)因为x≥0,所以y=+0.6x=+(x+6)-≥2-=116.4,
当且仅当=(x+6),即x=94时,等号成立,
故当太阳能电池板的面积x为94平方米时,y取得最小值,且y最少是116.4万元.
7.解析　(1)因为函数f(x)的定义域为[4,16],所以log2x∈[2,4],
令t=log2x,则t∈[2,4], f(x)=-(m+5)·log2x+m+8可转化为g(t)=t2-(m+5)t+m+8,
则不等式f(x)>0恒成立,等价于g(t)=t2-(m+5)t+m+8>0在[2,4]上恒成立,
由于t-1>0,故g(t)=t2-(t-1)m-5t+8>0在[2,4]上恒成立,即>m在[2,4]上恒成立,
因为=t-1+-3≥2-3=1,
当且仅当t-1=,即t=3时取等号,所以m<1.
(2)①由于t=log2x,t∈[2,4]为增函数,故函数y=f(x)存在两个不同的零点x1,x2(x1则即
所以1②t1+t2=m+5,t1t2=m+8,t1则log2=log2x2-log2x1=t2-t1=
==
=,
因为m∈,所以(m+3)2-16∈,
即log2=∈,
故的最大值为,
则===1-,
当=时,1-取得最大值,为1-=,故的最大值为.
8.解析　(1)φ(x)=h(x)+h(-x)-13为偶函数,理由如下:
因为函数h(x)=所以函数h(x)的定义域为{x|x≠0},则函数φ(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又φ(-x)=h(-x)+h(x)-13=φ(x),
所以函数φ(x)为偶函数.
因为函数φ(x)恰有两个零点x1,x2,且x1x2=-16,所以x=4为函数φ(x)的一个零点,
即φ(4)=h(4)+h(-4)-13=1+5+-13=0,
即11k-24+4=0,解得k=4或k=(舍去),
经检验,当k=4时,函数φ(x)的两个零点之积为-16,所以k=4.
(2)由题知, t∈R,t2-2xt-f(x)-xg(x)>0恒成立,
即Δ=4x2+4[f(x)+xg(x)]<0,
即 x>0,x2+f(x)+xg(x)<0,
即 x>0,x+-+|x-1|+|x-k|<0,
设p(x)=x+-+|x-1|+|x-k|,只需p(x)min<0,
当01,所以1--<0,所以函数p(x)在(0,1]上单调递减,此时,p(x)min=p(1)=-+<0,
又k>1,所以1下面只需研究k≥4是否符合即可,
当1因为k>1,所以1+->1,由对勾函数的单调性可知,函数p(x)在(1,k]上单调递增,
所以p(x)>p(1)=-+=--,
当k≥4时,p(1)≥1--=0,不满足题意;
当x>k时,p(x)=x+-+(x-1)+=x+--,
因为k≥4,所以k>,
所以函数p(x)在(k,+∞)上单调递增,
则p(x)>p(k)>p(1),
当k≥4时,p(1)=-+≥0,不满足题意.
综上所述,实数k的取值范围是19.思路分析　(1)将要证明的问题转化为方程f(x+1)=f(x)+f(1)在[0,1]上有解,构造函数,转化为函数零点问题,结合函数零点存在定理证明.
(2)将问题转化为方程g(x+1)=g(x)+g(1)在(-2,+∞)上有两个根,构造函数,转化为零点分布问题求解.
(3)将问题转化为方程h=h(x)+h在[0,nπ]上有2 022个实数根,再转化为两个函数图象的交点个数问题,进而得解.
解析　(1)证明:因为f(x+1)=2x+1+2(x+1)2, f(x)+f(1)=2x+2x2+4,
又f(x+1)=f(x)+f(1),所以2x+1+2(x+1)2=2x+2x2+4,整理,得2x+4x-2=0.
令v(x)=2x+4x-2,因为v(0)=-1<0,v(1)=4>0,所以v(x)在区间[0,1]上有零点,
即存在x0∈[0,1],使得+4x0-2=0,即存在x0∈[0,1],使得f(x0+1)=f(x0)+f(1),
所以函数f(x)=2x+2x2在[0,1]上是“1跃点”函数.
(2)函数g(x)=x3+ax2-3在(-2,+∞)上存在2个“1跃点”等价于方程(x+1)3+a(x+1)2-3=x3+ax2-3+-2在(-2,+∞)上有两个实数根,即3x2+(a+3)x+3=0在(-2,+∞)上有两个实数根.
令u(x)=3x2+(a+3)x+3,
则解得a<-9或3所以实数a的取值范围是(-∞,-9)∪.
(3)由h=h(x)+h,得cos(2x+π)-m=cos 2x-m+cos π-m,即cos 2x=.
因为函数h(x)=cos 2x-m在[0,nπ]上有2 022个“跃点”,
所以方程cos 2x=在[0,nπ]上有2 022个解,
即函数y=cos 2x与y=的图象有2 022个交点,
所以或或
解得或或
素养评析　本题第(1)问考查数学抽象的素养,能够根据“t跃点”函数的新定义去分析满足的条件,从而进行证明;第(2)问考查逻辑推理的素养,能够根据“t跃点”函数满足的条件,逆推出参数满足的条件,即可得到参数的取值范围;第(3)问考查直观想象的素养,要求能够在关联的复杂的情境下,寻找满足条件的实数m和n的值.
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