山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题（含答案）

2023-2024学年第二学期第三次教学质量检测
数学试题
单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为(　　)
A.4 B.6 C.12 D.24
3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A.2 B.2 C.6 D.12
4.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
5.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　)
A.5 B.6 C.4 D.5.5
7.数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是(　　)
A.14 B.17 C.19 D.23
8.从某项综合能力测试中抽取了100人的成绩，统计如下表所示，则这100人成绩的标准差为(　　)
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A. B. C.3 D.
多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是(　　)
A.成绩在[70，80)内的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1 000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数为75分
10.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，若直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β
11.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则(　　)
A.三棱锥S－ABC的体积为
B.三棱锥S－ABC的体积为
C.三棱锥O－ABC的体积为
D.三棱锥O－ABC的体积为
填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.计算：＝________.
13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生.
14.已知数据x1，x2，…，xn的平均数为＝5，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________.
解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知向量a，b反向，b＝(－1，－2)，a·b＝－20.
(1)求向量a的坐标.
(2)若c＝(2，1)，求(b·c)a.
16(15分).设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长.
17.(15分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．
18.(17分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；
19.(17分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
(1)求点C与平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.
数学试题答案
1.解析　∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.答案　D
2.解析　V＝Sh＝××2×3×4＝4.答案　A
3.解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，∴|a－4b|＝2.答案　B
4.解析　直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.
答案　D
5.解析　如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别是CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝AC，EG＝BD.∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角).
又∵AC＝BD，∴FG＝EG.又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
答案　B
6.解析　由题意得(4＋x)＝5，得x＝6，从而这组数据的众数为6.答案　B
7.解析　因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第六项数据23.答案　D
8.解析　∵＝＝3，
∴s2＝(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝＝，∴s＝.
9.解析　由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)内的频率为10×(0.01＋0.015)＝0.25，因此不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；因为成绩在[40，70)内的频率为10×(0.01＋0.015＋0.02)＝0.45，在[70，80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误.故选ABC.答案　ABC
10.解析　因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正确；
因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正确；
因为A∈α，AB∥l，l α，所以B∈α，所以AB β，l β，所以AB∥β，故C正确；
因为AC⊥l，当点C在α内时，AC⊥β成立，当点C不在α内时，AC⊥β不成立，故D不正确.
答案　ABC
11.解析　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍.在三棱锥O－ABC中，其棱长都为1，如图，S△ABC＝，高OD＝＝，则VO－ABC＝××＝，VS－ABC＝2VO－ABC＝.
答案　AC
12.解析　＝＝＝＝＋i.
答案　＋i
13.解析　高二年级学生人数占总数的，样本量为50，则应从高二年级抽取50×＝15(名)学生.答案　15
14.解析　所求平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.答案　11
15.解　(1)因为向量a，b反向，
又b＝(－1，－2).
所以设a＝λb＝λ(－1，－2)＝(－λ，－2λ)，λ＜0.
由a·b＝－20得－1×(－λ)＋(－2)×(－2λ)＝－20，
所以λ＝－4，所以a＝(4，8).
(2)因为b·c＝(－1，－2)·(2，1)＝－1×2＋(－2)×1＝－4，
所以(b·c)a＝－4(4，8)＝(－16，－32)
16.解　(1)法一　由题设知，
2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B，
因为sin B≠0，
所以cos A＝.
由于0法二　由题设可知，
2b·＝a·＋c·，
于是b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
由于0(2)法一　因为2＝＝(2＋2＋2·)
＝＝，
所以||＝，从而AD＝.
法二　因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，B＝.所以BD＝，AB＝1，
所以AD＝＝.
17.（1）设分数内的频率为，根据频率分布直方图，则有
，解得.
所以频率分布直方图为
（2）因为在分数内的频率值最大，所以众数为；
以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线将频率分布直方图分为面积相等的两部分，因为，所以中位数在内，
因为分数内的频率为0.3，而，
所以中位数在区间中从左数处，所以中位数为；
平均数为，
故本次考试成绩的众数为75；中位数为；平均数为71.
18(1)证明　如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF 平面A1B1BA，BA1 平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明　因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，
又AE 平面ABC，从而BB1⊥AE.
又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCB1，
所以AE⊥平面BCB1.
19.解　(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面A1ABB1，得CD⊥平面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.
(2)如图，取D1为A1B1的中点，
连接DD1，
则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，
又A1D，DD1 平面A1ABB1，
故CD⊥A1D，CD⊥DD1，
所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角.
因CD⊥平面A1ABB1，AB1 平面A1ABB1，
所以AB1⊥CD，
又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，A1C，CD 平面A1CD，
所以AB1⊥平面A1CD，故AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.
因此＝，即AA＝AD·A1B1＝8，
得A1A＝2.从而A1D＝eq \r(AA＋AD2)＝2.
所以，在Rt△A1DD1中，
cos ∠A1DD1＝＝＝.