第2章 轴对称图形综合素质评价卷（含答案）苏科版数学八年级上册期末复习

第2章　综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1．【2023·深圳母题·教材P72复习题T1】下列图形中，为轴对称图形的是(　　)
2．[2024常州二十四中月考]若等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是(　　)
A.50° B.65° C.80° D.100°
3．[2023贵州]5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　　)
(第3题)
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC上一点，将△ABC沿AM折叠，点B恰好能与AC的中点D重合.若AB＝6，则点M到AB的距离是(　　)
(第4题)
A.3 B.4 C.5 D.6
5．【母题 教材P72复习题T3(2)】如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形.现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有(　　)
(第5题)
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
6． 母题 教材P57习题T1【母题 教材P57习题T1】如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，并且相交于点F，且∠DFE＝70°，则∠DAE的度数是(　　)
(第6题)
A.30° B.40° C.60° D.70°
7．[2024南京玄武区月考]如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N.若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为(　　)
(第7题)
A.115° B.116° C.117° D.118°
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上.若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为(　　)
(第8题)
A.45° B.α－45° C.α D.90°－α
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．[2024泰州姜堰区月考]等腰三角形的周长为14 cm，一边长为4 cm，则底边长为　　　　cm.
10．在镜子中看到的一串数字是“”，则这串数字是　　　　.
11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是　　　　.
12．[2024青岛期中]如图，在△ABC中，BC＝7 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AC的长为13 cm，则△BCE的周长为　　　　cm.
(第12题)
13．【新考法 对称法】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'.若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为　　　　.
(第13题)
14．[2024晋中期中]小聪同学在寒假完成项目作业《用纸片“做数学”》时，通过实践探索和推理验证发现，当一张三角形纸片的内角满足一定条件时，这个三角形纸片能沿一条直线裁剪成两个等腰三角形.例如三角形纸片的一个内角是另一个内角的3倍时(如图)，沿图中虚线裁剪得到的两个三角形都是等腰三角形.除此情形，三角形纸片的内角条件满足　　　　时，也能沿一条直线裁剪得到两个等腰三角形.(写出一种情况即可)
(第14题)
15．[2023兴化月考]如图，已知O为△ABC三边垂直平分线的交点，∠BAC＝70°，则∠BOC＝　　　　.
(第15题)
16．如图，CD是等边三角形ABC的中线，DE⊥AC，垂足为E.若DE的长为3 cm，则点D到BC的距离为　　　　cm.
(第16题)
17．如图，已知S△ABC＝24 m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝　　　　m2.
(第17题)
18．【新视角 规律探究题】如图所示的是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是　　　　.
(第18题)
三、解答题(共66分)
19．(10分)两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到A，B两个城镇的距离相等，到l1，l2两条公路的距离也相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
20．(10分)[2024无锡惠山区月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若AE＝4，BD＝3，求△ABC的面积.
21．(10分)[2023安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
(2)将线段AB先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB.
22．(12分)[2024南通如东县期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC＝75°，求∠B的度数.
23．(12分)[2024镇江期中]已知：如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形.
24．(12分)[2024靖江月考]已知，如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与∠ABC的平分线交于点D.
(1)如图①，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若∠DAC＝60°，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，DA和CB的延长线交于点E，H是CD上一点且DH＝AE，连接AH交BD于点G，若CE＝8，求DG的长.(三角形两边的中点连线长等于第三边的一半)
参考答案
一、选择题
1． D　2． C　3． B　4． B　5． D　6． B
7． B　点拨：∵∠ABC＝52°，∴∠BMN＋∠BNM＝128°.∵点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN.∵∠BMN＝∠MAP＋∠MPA，∠BNM＝∠CPN＋∠PCN，∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM，∴∠MPA＋∠CPN＝（∠BMN＋∠BNM）＝×128°＝64°，∴∠APC＝180°－（∠MPA＋∠CPN）＝180°－64°＝116°.
8． D
二、填空题
9．4或6　10．8965321　11．90°或50°
12．20　13．9　14．有一个内角是直角（答案不唯一）
15．140°　16．3
17．12　点拨：如图，延长BD交AC于点E.∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°.
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD＋S△BDC＝S△ADE＋S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2）.
18．18°≤α＜22.5°　点拨：∵OE＝EF，∴∠EFO＝∠EOF＝α，∴∠GEF＝∠EOF＋∠EFO＝2α.同理可得∠GFH＝3α，∠HGB＝4α.∵最多能添加这样的钢管4根，∴4α＜90°，5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°.
三、解答题
19．解：点C的位置如图所示.
20．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.由作图知：AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（SAS）.
（2）解：∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝3，∴BC＝6.
又∵AD＝AE＝4，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12.
21．解：（1）线段A1B1如图所示.
（2）线段A2B2如图所示.
（3）直线MN即为所求.
22．（1）证明：如图，连接AE.
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE.
又∵BE＝AC，
∴AE＝AC.
又∵D是CE的中点，∴AD⊥BC.
（2）解：设∠B＝x°.∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝x°，∴∠AEC＝2x°.
∵AE＝AC，∴∠C＝∠AEC＝2x°.
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴x°＋2x°＋75°＝180°，
解得x＝35，∴∠B＝35°.
23．（1）证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE.
（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠ADC＋60°＋∠BED＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°，
∴∠DOE＝180°－（∠ADE＋∠BED）＝60°.
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE.
∵M，N分别是线段AD，BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN.
在△ACM和△BCN中，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝60°，
∴∠BCN＋∠MCB＝60°，即∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形.
24．解：（1）∠BAD＋∠BCD＝180°.理由如下：
如图①，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA交BA的延长线于点H.
∵AC的垂直平分线与∠ABC的平分线交于点D，
∴AD＝CD，∠ABD＝∠DBC，
∴DH＝DG.
在Rt△ADH和Rt△CDG中，
∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），
∴∠HAD＝∠DCG.
∵∠BAD＋∠HAD＝180°，∴∠BAD＋∠DCG＝180°，
即∠BAD＋∠BCD＝180°.
（2）BD＝AB＋BC.理由如下：
如图②，在BD上截取BF＝AB，连接AF.
由（1）知∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠DAC＝60°，AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝AC，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝∠DBC＝60°.
又∵BF＝AB，∴△ABF为等边三角形，
∴AB＝AF，∠BAF＝60°，∴∠BAF＝∠DAC，
∴∠BAF－∠CAF＝∠DAC－∠CAF，
即∠BAC＝∠DAF.
在△ABC和△AFD中，
∴△ABC≌△AFD（SAS），∴DF＝BC，
∴BD＝BF＋DF＝AB＋BC.
（3）由（2）知∠DAC＝∠DBC＝60°.
如图③，延长HD至点M，使DM＝DH，连接AM.
由（2）易得∠ACB＝∠ADB.
∵DM＝DH，DH＝AE，
∴DM＝AE.
∵∠DAC＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠EAC＝120°.
又∵AC＝AD，
∴△EAC≌△MDA（SAS），
∴AM＝CE，∠MAD＝∠ECA，
∴∠MAD＝∠ADB，∴DG∥AM.
又∵DH＝DM，∴易得AG＝GH，
∴DG＝AM＝CE＝4.