第3章 勾股定理综合素质评价卷（含答案）苏科版数学八年级上册期末复习

第3章　综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1．【母题 教材P85练习T3】下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A.1，1，2 B.9，12，15 C.4，5，6 D.1.5，2.5，2
2．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2＋AC2等于(　　)
A.5 B.25 C.50 D.100
3．[2024苏州期末]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A.∠B＝∠C＋∠A B. a2＝(b＋c)(b－c)
C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D. a∶b∶c＝3∶4∶5
4．[2024无锡梁溪区模拟]如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，则AB边上的高为(　　)
(第4题)
A.2.4 cm B.3 cm
C.4.8 cm D.无法确定
5．[2024苏州工业园区月考]如图所示的一段楼梯，高BC是3 m，斜边AB长是5 m，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为(　　)
(第5题)
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
6．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为(　　)
(第6题)
A.16 B.32 C.8π D.64
7．【母题 教材P81图3-4】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(　　)
(第7题)
A.9 B.6 C.4 D.3
8．【新视角 规律探究题】在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在以下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝18时，b＋c的值为(　　)
A.242 B.200 C.128 D.162
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．[2023泰州海陵区月考]已知Rt△ABC的三边长分别是a，b，c，斜边长c＝3，则a2＋b2＋c2的值为　　　　.
10．[2023南京玄武区月考]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是　　　　.
(第10题)
11．[2024南京玄武区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　　　　.
(第11题)
12．【母题 教材P82习题T2】如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下滑了　　　　米.
(第12题)
13．[2024宿迁宿城区期中]如图，有一个圆柱体，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是　　　　cm.(π的值取3)
(第13题)
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，E为AC的中点，连接BE，DE.若DE＝，BC＝12，则△ABE的周长为　　　　.
(第14题)
15．[2023南京秦淮区期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＝4，AC＝3，则BD的长是　　　　.
(第15题)
16．[2024南京玄武区期末]如图，∠ACB＝90°，AB＝4 cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为　　　　.
(第16题)
17．[2024镇江丹徒区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为　　　　.
(第17题)
18．【新考法 翻折不变法】如图，在长方形ABCD中，AD＝5，AB＝8，E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为　　　　.
(第18题)
三、解答题(共66分)
19．(10分)[2024南京鼓楼区期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求BC的长.
20．(10分)【母题 教材P85习题T2】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.求证：AC⊥CD.
21．(10分)【新考法 方程建模法】如图，在笔直的高速路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8 km，B村庄到公路的距离BD＝14 km，测得C，D两点之间的距离为20 km，现要在C，D之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等，求CE的长.
22．(12分)[2024南京溧水区期中]在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：
a 22－1 32－1 42－1 52－1 　　　　 …
b 4 6 8 10 　　　　 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 　　　　 …
(1)观察表格，根据规律在表中填空；
(2)用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c，则a＝　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　；
(3)猜想：以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形？证明你的结论.
23．(12分)【新考法 构造直角三角形法】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长.
24．(12分)【新视角 新定义题】定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac＋a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图①所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，求∠A的度数；
(2)如图②所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A.求证：△ABC为“类勾股三角形”.
参考答案
一、选择题
1．B　2． B　3． C　4． C　5． C　6． D　7． D
8．D　点拨：根据题表中的数据可得a2＋b2＝c2，并且c＝b＋2，则a2＋b2＝（b＋2）2.
当a＝18时，182＋b2＝（b＋2）2，解得b＝80，
则c＝80＋2＝82，所以b＋c＝162.
二、填空题
9．18　10．20　11．2.5　12．0.5　13．15　14．18　15．
16．16 cm2　点拨：由已知可得，阴影部分的面积为＋＋＝.
∵∠ACB＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2.∵AB＝4 cm，
∴阴影部分的面积为＝＝16 cm2.
17．　点拨：如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵AB＝AC，BC＝6，
∴BH＝CH＝BC＝3.由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD取得最小值，此时AB·CD＝BC·AH，∴5CD＝6×4，
∴CD的最小值为.
18．或10　点拨：分两种情况：
①如图①，当点F在长方形ABCD内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN＝4.
∵AF＝AD＝5，∴由勾股定理，得FN＝3，
∴FM＝2.
设DE＝y，则EM＝4－y，FE＝y.
在Rt△EMF中，由勾股定理，得y2＝（4－y）2＋22，
解得y＝，即DE的长为.
②如图②，当点F在长方形ABCD外部时，
同①的方法可得FN＝3，∴FM＝8.
设DE＝z，则EM＝z－4，FE＝z.
在Rt△EMF中，由勾股定理，得z2＝（z－4）2＋82，
解得z＝10，即DE的长为10.
综上所述，当点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10.
三、解答题
19．解：∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，
∴AB·DE＝60，即AB×12＝60，解得AB＝10.
又∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝＝6.
20．证明：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋22＝9，AD2＝32＝9，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD.
21．解：设CE＝x km，则DE＝（20－x）km.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2＝AC2＋CE2；
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2＝BD2＋DE2.
由题意可得AE＝BE，∴AE2＝BE2.∵AC＝8 km，BD＝14 km，∴82＋x2＝142＋（20－x）2，解得x＝13.3，
∴CE＝13.3 km.
22．解：（1）62－1；12；62＋1
（2）n2－1；2n；n2＋1
（3）以a，b，c为边的三角形是直角三角形.
证明：∵a2＋b2＝（n2－1）2＋（2n）2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1，c2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形.
23．解：（1）DE⊥DP.
理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA.
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，∴∠B＝∠EDB.
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠PDA＋∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°－90°＝90°，
∴DE⊥DP.
（2）如图，连接PE.
设DE＝x，则BE＝DE＝x，∴CE＝8－x.
∵AC＝6，PA＝2，
∴PC＝4，PD＝PA＝2.
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2，
即42＋（8－x）2＝22＋x2，
解得x＝4.75，即DE＝4.75.
24．（1）解：∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c.
∵△ABC是“类勾股三角形”，
∴ac＋a2＝b2，∴c2＋a2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
又∵a＝c，∴∠A＝45°.
（2）证明：如图，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A，过点C作CG⊥AB于点G，
则∠CDB＝∠ACD＋∠A＝2∠A.
又∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a.
∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB－AD＝c－a.
∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝（c－a），
∴AG＝AD＋DG＝a＋（c－a）＝（a＋c）.
在Rt△ACG中，由勾股定理，得CG2＝AC2－AG2＝b2－，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得CG2＝BC2－BG2＝a2－，
∴b2－＝a2－，
∴b2＝ac＋a2，∴△ABC是“类勾股三角形”.