【沪科版八上同步练习】 15.3等腰三角形（含答案）

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【沪科版八上同步练习】
15.3等腰三角形
一、单选题
1．已知等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．70° B．40°
C．70°或40° D．以上答案都不对
2．如图，AB//CD，EF＝DF，若∠A＝50°，则∠E 等于（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝72°，那么∠DAC的大小是（　　）
A．30° B．36° C．18° D．40°
4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为（　　）
A．13和17 B．13 C．17 D．10
5．一个等腰三角形周长为 ，其中一边长为 ，那么这个三角形的腰长是（　　）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
6．一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为　 　．
7．如图，将沿直线向右平移，得到，若，，C为的中点，连接，则的度数为　 　．
8．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是　 　．
9．如图，三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝14cm，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与AC，BC交于点D和点E；则折痕DE的长为　 　.
10．等腰三角形的一个角是50°，它的底角的大小为　 　．
11．如图，在等腰直角三角形中，，点M，N分别为，上的动点，且，.当的值最小时，的长为　 　.
三、计算题
12．如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
四、解答题
13．已知：如图，AB=AC=CD，AD=BD，试求∠BAC的度数.
14．如图，在四边形ABCD中， ，点E在DB的延长线上，连接CE，∠A＝∠E，∠CBD＝∠DCB，求证：AD＝EC.
15．一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 　 　，周长为　 　.
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为　 　，周长为　 　.
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
五、综合题
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是AC边的中点，延长BD至点E，使得DE＝BD，连结CE.
（1）求证：△ABD≌△CED.
（2）当BC＝5，CD＝3时，求△BCE的周长.
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中线，CG平分∠ACB交BE于点G，F为AB边上一点，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于点H，判断点G是否在线段AB的垂直平分线上？并说明理由．
（3）过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，请证明：CF=2DE．
18．如图，在△ABC中， ， ， ，点O在△ABC内，连接OB，OC，且∠BAC的平分线交CO的延长线于点D， ， .
（1）求∠ABO的度数；
（2）求证： .
六、实践探究题
19．如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在直线BC上，且DE=EC.试求AE与DB长度的大小关系.
（1）特殊情况，探索结论：
当E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB长度的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　DB(填“>”“<”或“=”).
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE DB(填“>”“<”或“=”).
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F……(请你补充完成解答过程).
（3）拓展结论，设计新题：
若△ABC的边长为10，AE=2，求CD的长
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
6．【答案】50
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
7．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平移的性质
8．【答案】50°或80°
【知识点】等腰三角形的性质
9．【答案】 cm
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
10．【答案】50°或 65°
【知识点】等腰三角形的性质
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
12．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=5.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
14．【答案】证明： ，
如图，连接
∠CBD＝∠DCB，
在 与 中，
，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】（1）；
（2）；2a
（3）猜想：重叠部分的面积为 ．
理由如下：连接CM，
∵M是AB中点，△ACB是等腰直角三角形，
∴CM=AM=AB，∠AMC=∠ACB=90°，∠MCE=∠A=45°，
又∵∠NMK=∠DMC+∠CME=∠AMC=∠AMD+∠CMD=90°，
∴∠CME=∠AMD
∴△ADM≌△CEM(ASA)，
∴，
∴.
【知识点】等腰直角三角形
16．【答案】（1）证明：∵AB＝BC，点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDE＝90°.
又∵DE＝BD，
∴△ABD≌△CED（SAS）
（2）解：∵BD＝ ＝ ＝4，
∴BE＝2BD＝8.
又∵CE＝AB＝BC＝5，
∴BC+CE+BE＝5+5+8＝18，即△BCE的周长为18.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
17．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°，∵CG平分∠ACB，∴∠BCG=45°=∠A，
∴∠BCG=∠CAB=45°，
在△ACF和△BCG中， ，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=CG，CF=BG
（2）解：点G在线段AB的垂直平分线上，如图1所示：理由如下：∵AC=BC，CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，H为AB中点，
∴点G在线段AB的垂直平分线上
（3）证明：连接AG．如图2所示：
由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，
∵AD⊥AB，∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，
∴∠GAD=∠D，
∴GA=GD=GB=CF．
∵AD⊥AB，CH⊥AB
∴CH∥AD，
∴∠D=∠EGC，
∵E为AC中点，∴AE=EC，在△AED和△CEG中， ，
∴△AED≌△CEG（SAS），
∴DE=EG，∴DG=2DE，∴CF=2DE
【知识点】平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
18．【答案】（1）解：∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB= (180°-80°)=50°，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBC=50°-10°=40°
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵∠OBC=10°，
∴∠DBO=∠DBC-∠OBC=20°，
∵∠ABO=40°，
∴∠ABD=∠ABO-∠DBO=20°，
∴∠DBO=∠ABD，
∵∠BAD= ∠BAC=40°，
∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°，
∴∠BAD=∠DOB，
在△BAD和△BOD中，
，
∴△BAD≌△BOD（AAS），
∴OB=AB，
∴OB=AC.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
19．【答案】（1）=
（2）解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE=DB
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F ，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠FCE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠DBE=∠EFC=120°，
∵AB=AC，
∴BE=CF，
∵DE=EC ，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠FEC，
∴△DBF≌△EFC（AAS）
∴BD=EF，
∴AE=BD.
（3）解：由（2）知：AE=BD=2，
∵等边 △ABC的边长为10 ，
∴BC=10，
∴CD=BD+BC=2+10=12.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
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