2024中考复习数学三轮冲刺 三角形五心的概念、证明方法及性质（无答案）

三角形五心的概念、证明方法及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理 ( https: / / baike. / doc / 6735411-6949790.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )、外心定理 ( https: / / baike. / doc / 263970-279428.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )、垂心定理 ( https: / / baike. / doc / 6321077-6534680.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )、内心定理 ( https: / / baike. / doc / 263986-279441.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )，以及旁心定理 ( https: / / baike. / doc / 6246627-6460034.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )的总称。
三角形的中心: 只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
一、重心定理
三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系 ( https: / / baike. / doc / 5388669-5625244.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3)。
5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
证明方法：已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。求证:AE=CE
证明:延长OE到点G，使OG=OB
∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ( https: / / baike. / doc / 6399036-6612694.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank ) ∴AD∥CG
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE
( https: / / so1. / t01d574cf0a4418c603.png )
二、外心定理
三角形的三条边的垂直平分线 ( https: / / baike. / doc / 5511423-5747176.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )交于一点，该点即为该三角形的外心。
外心的性质：
1三角形外接圆的圆心，就是三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角 ( https: / / baike. / doc / 5700963-5913677.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank ))或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
证明方法：已知:△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
求证:O点在BC的垂直平分线上
证明:连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O点在BC的垂直平分线上.
三、垂心定理
三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心 ( https: / / baike. / doc / 6698835-6912749.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )O、重心G和垂心H三点共线 ( https: / / baike. / doc / 91218-96359.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )，且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线 ( https: / / baike. / doc / 5879435-6092308.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )(Euler line))
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边 ( https: / / baike. / doc / 3620031-3805686.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。即 HA·HD=HB·HE=HC·HF
证明方法：已知:△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F求证:CF⊥AB
证明:连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，
∴A、B、D、E四点共圆 ( https: / / baike. / doc / 5418762-5656928.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank ) ∴∠ADE=∠ABE (同弧上的圆周角相等)
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90°
∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB
( https: / / so1. / t012f9975fedbe1aa39.png )
四、内心定理
三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形内切圆的圆心，就是三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是:向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)。
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。
5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆 ( https: / / baike. / doc / 5333307-5568742.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr.
6、(内角平分线分三边长度关系)
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
证明方法： 己知:在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC
求证:OC平分∠ACB
证明:过O点作OD,OF,OE分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,F,E
∵AO平分∠BAC,∴OD=OE;∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ;∴OD=OF
∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB
五、旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心，就是三角形的旁心。旁心一定在三角形外。
2、每个三角形都有三个旁心、三个旁切圆。
3、旁心到三边的距离相等。
证明方法：设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线 ( https: / / baike. / doc / 91218-96359.html" \t "https: / / baike. / doc / _blank )。
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