(共18张PPT)
第七章 平行线的证明
平行线的性质
01
新课学习
02
当堂检测
目录
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平行线的性质的证明及应用
1. 平行线的性质：(1)两直线平行，同位角 ；(2)两直线平行，内
错角 ；(3)两直线平行，同旁内角 ；(4)平行于同一条直线的
两条直线 ．
相等
相等
互补
平行
2. 平行线性质(2)证明．
【北师八上 P176定理】已知：如图，l1∥l2，l3与l1，l2相交．求证：∠1
＝∠2.
证明：如图，∵l1∥l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等).
∵∠3＝∠2(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
3. 平行线性质(3)证明．
已知：如图，l1∥l2，l3与l1，l2相交．求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：如图，∵l1∥l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等).
又∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，
∴∠1＋∠2＝180°(等量代换)．
例1 如图，AB∥CD，直线AB，CD被直线AE所截．
(1)若∠1＝110°，则∠2＝ °；
(2)若∠1＝110°，则∠3＝ °；
(3)若∠1＝110°，则∠4＝ °.
110
110
70
4. 如图，a∥b，∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °，∠4
＝ °.
50
130
50
例2 【北师八上 P176例题】如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线
a，b，c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．
5. 如图，已知AB∥CD，AB∥EF，∠2＋∠3＝180°.求证：∠1＝∠4.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥CD，AB∥EF(已知)，
∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴∠3＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠2＋∠3＝180°(已知)，
∴∠2＝∠4(同角的补角相等)．
∴∠1＝∠4(等量代换)．
平行线的性质与判定的综合应用
例3 如图，点D是AB上一点，点E是AC上一点，∠ADE＝60°，∠B
＝60°，∠C＝40°.
(1)求证：DE∥BC；
(1)证明：∵∠ADE＝60°，∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠B.
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行).
(2)求∠DEC的度数．
(2)解：由(1)知DE∥BC.
∴∠DEC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠C＝40°，∴∠DEC＝140°.
6. 【北师八上 P177习题 T4改编】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：
∠A＝∠F.
证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠DMN(对顶角相等)，
∴∠2＝∠DMN(等量代换)．
∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠DBC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠DBC＋∠D＝180°(等量代换)．
∴DF∥AC(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠A＝∠F(两直线平行，内错角相等)．
1． (2023·广东)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则
拐角∠BCD＝( D )
A ． 43° B ． 53°
C ． 107° D ． 137°
D
2． (2023·重庆 A 卷)如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则
∠2的度数为( A )
A ． 35° B ． 45° C ． 50° D ． 55°
A
3． 一题多解如图，直线l与直线a，b相交，若a∥b，∠1＝70°，则
∠2的度数是多少？
法1：解：∵∠1与∠3互为补角，
∴∠3＝180°－∠1＝110°.
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)．
∴∠2的度数是110°.
法2：解：∵∠1与∠4互为补角，
∴∠4＝180°－∠1＝110°.
∵a∥b，∴∠2＝∠4＝110°(两直线平行，同位角相等)．
∴∠2的度数是110°.
法3：解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠5＝∠1＝70°.
∵a∥b，∴∠2＋∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠2＝180°－∠5＝110°.
∴∠2的度数是110°.
4． (2023·台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝
20°，则∠2的度数为 ．
140°
5． 跨学科【北师八上 P186复习题 T13改编】如图所示，MN，EF表示
两面互相平行的镜子，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，
此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时∠3＝∠4.
试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：AB∥CD. 理由如下：
∵MN∥EF，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD(等量代换)．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．(共20张PPT)
第七章 平行线的证明
第3课 定理与证明
01
新课学习
02
当堂检测
目录
目录
公理、定理及证明
1. 公认的真命题称为 ，演绎推理的过程称为 ，经过证明
的真命题称为 ．
公理
证明
定理
例1 下列命题中，属于公理的是 ，属于定理的是 ，既
不是公理也不是定理的是 ．
①两点确定一条直线；②同角的余角相等；③同位角相等，两直线平
行；④三角形的任意两边之和大于第三边；⑤三个角都相等的两个三角
形全等；⑥直角三角形的两锐角互余．
①③
②④⑥
⑤
2. 命题、定理、公理的关系如下：
①公理是真命题；②定理是由基本事实和公理推出来的真命题；③真
命题是公理；④真命题一定是定理．其中正确的有( B )
A . 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
B
例2 证明定理“同角的补角相等”．
已知：∠1和∠2分别是∠3的补角．
求证： ．
证明：∵∠1，∠2是∠3的补角(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(补角的定义).
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∠1＝∠2
3. 证明定理“同角的余角相等”．
已知：∠1和∠2分别是∠3的余角．
求证： ．
证明：∵∠1，∠2是∠3的余角(已知)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°(余角的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∠1＝∠2
例3 完成下列命题的证明．
命题：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC平分∠AOB，CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q.
求证： ．
CP＝CQ
证明：∵OC平分∠AOB(已知)，
∴∠COP＝∠COQ(角平分线的定义)．
∵CP⊥OA，CQ⊥OB(已知)，
∴∠CPO＝∠CQO＝90°(垂直的定义)．
∵OC＝OC(公共边)，
∴△CPO≌△CQO( AAS )．
∴CP＝CQ(全等三角形的对应边相等)．
4. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明．
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简称：“等角对等边”)．
已知：如图，在△ABC中， ．
求证： ．
∠B＝∠C
AB＝AC
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直的定义).
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD( AAS )．∴AB＝AC.
1． 下列命题不是公理的是( C )
A ． 两点确定一条直线
B ． 两点之间线段最短
C ． 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D ． 三边分别相等的两个三角形全等
C
2． 在证明过程中可以作为推理根据的是( B )
A ． 命题、定义、公理
B ． 定理、定义、公理
C ． 命题
D ． 真命题
B
3． 如图，点A，B是河流l旁的居民点，连接AB与l交于点C，在点C
处修一水站，此时该水站距离A，B两居民点的距离之和最短．这样修建
水站的数学依据是 ，这个依据属于 (填“公
理”或“定理”)，其正确性 (填“需要”或“不需要”)证明．
两点之间线段最短
公理
不需要
4． 给出下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以
同一个数，结果仍是等式；③x＝2是一元一次方程x－2＝0的根；④对顶
角相等．其中可以作为定理的有( A )
A ． 1个 B ． 2个
C ． 3个 D ． 4个
A
5． 关于“垂线段最短”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③
是真命题；④是定理．其中正确的说法是( B )
A ． ①③
B ． ①③④
C ． ③④
D ． ①②④
B
6． 请你完成命题“邻补角的角平分线互相垂直”的证明．
已知：如图，AB，CD相交于点O，OE，OF分别平分∠AOC，
∠AOD.
求证： ．
OE⊥OF
证明：∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD(已知)，
∴∠AOE＝ ∠AOC，∠AOF＝ ∠AOD(角平分线的定义)．
∵∠AOC＋∠AOD＝180°(平角的定义)，
∴∠EOF＝∠AOE＋∠AOF＝ ∠AOC＋ ∠AOD＝ (∠AOC＋∠AOD)＝ ×180°＝90°(等量代换)．
∴OE⊥OF(垂直的定义)．
7． 【拓展题】判断命题“全等三角形对应边上的中线相等”是真命
题还是假命题．若是真命题，请给予证明(要求写出已知，求证和画出图
形)；若是假命题，则请举出反例．
解：真命题．
已知：如图，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1
分别是对应边BC，B1C1的中线．
求证：AD＝A1D1.
证明：∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1.
∵AD，A1D1分别是BC，B1C1的中线，
∴BD＝ BC，B1D1＝ B1C1.∴BD＝B1D1.
∴△ABD≌△A1B1D1( SAS )．∴AD＝A1D1.(共37张PPT)
第七章 平行线的证明
章末复习
01
知识体系构建
02
考点归纳整合
目录
03
易错易混专练
目录
相等
相等
互补
相等
相等
互补
平行
180°
不相邻
大于
定义与命题
典例1 下列命题：①对顶角相等．②等角的余角相等．③若|a|＝
|b|，则a＝b.④同位角相等．其中真命题的个数为( B )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【提示】①为真命题；②为真命题；③若|a|＝|b|，则a＝b或a＋b＝
0，为假命题；④同位角不一相等，为假命题．故选 B .
B
跟踪训练
1． 下列属于定义的是( D )
A ． 太阳从东方升起
B ． 同角的补角相等
C ． 若a＝b，则a＋c＝b＋c
D ． 三角形的外角是三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成
的角
D
2． 把命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”写成“如果……那
么……”的形式：
．该命题是 命题，理由是
．
如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是钝角
三角形
假
当三角形的两个角的度数是
70°，80°时，第三个角的度数是30°，此三角形是锐角三角形(答案不
唯一)
平行线的性质与判定
典例2 如图，下列推理不正确的是( B )
A ． ∵∠AEB＝∠C，∴AE∥CD
B ． ∵∠AEB＝∠ADE，∴AD∥BC
C ． ∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADC＝180°
D ． ∵AD∥BE，∴∠ADE＝∠DEC
B
【提示】选项 A 利用的同位角相等，两直线平行；选项 B 给出的两个
角相等，无法推平行关系；选项 C 利用的两直线平行，同旁内角互补；
选项 D 利用的两直线平行，内错角相等．故选 B .
跟踪训练
3． 开放性题目如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，
使BC∥AD，则可添加的条件为
．(添加一个符合题意的条件即可)
∠A＋∠ABC＝180°(答案不唯
一)
4． 跨学科(2023·凉山州)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因
此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中
平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则
∠3＋∠4＝( C )
A ． 165° B ． 155°
C ． 105° D ． 90°
C
5． 【北师八上 P180习题 T3改编】如图，在△ABC中，点D在BA的延
长线上，DE∥BC. 如果∠CAD＝110°，∠C＝30°，那么∠BDE的度数
是( D )
A ． 120° B ． 110°
C ． 105° D ． 100°
D
6． 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，
其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC
的度数为 时，AM∥BE.
70°
7． (武汉中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
(1)解：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝180°－80°＝100°.
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.
(2)证明：由(1)可知，∠BAD＝100°.
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝ ∠BAD＝50°.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°.
∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD. ∴AE∥DC.
三角形内角和定理及其推论
典例3 (2023·聊城)如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE. 若
∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为( B )
B
A ． 65° B ． 75° C ． 85° D ． 95°
【提示】∵AD∥BE，∠EBC＝80°，
∴∠ADC＝∠EBC＝80°.
∵∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°－∠ADC－∠CAD＝75°.
故选 B .
跟踪训练
8． 如图，在△ABC中，点D在AC上，延长BC至点E，连接DE，则
下列结论不成立的是( A )
A . ∠DCE>∠ADB
B ． ∠ADB>∠DBC
C ． ∠ADB>∠ACB
D ． ∠ADB>∠DEC
A
9． 如图，点F是△ABC的边BC的延长线上一点．DF⊥AB，∠A＝
30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数．
解：在△DFB中，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB＝90°.
∵∠F＝40°，∠FDB＋∠F＋∠B＝180°，
∴∠B＝50°.
∴∠ACF＝∠A＋∠B＝30°＋50°＝80°.
对三角形内角和定理推论理解不透彻
1． 如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是( C )
A ． ∠ACB＞∠ACD
B ． ∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C ． ∠ACB＞∠2＋∠3
D ． 以上都正确
C
【易错点拨】 本题容易忽略三角形内角和定理推论中“不相邻”这个
条件，只记得一个外角大于任何一个内角，从而错选 A .
混淆平行线的性质和判定定理
2． 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠C. 求证：AB∥DE.
证明：∵∠3＝∠4(已知)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
∴∠ADC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠5＝∠C(已知)，
∴∠ADC＋∠5＝180°(等量代换)．
∴AF∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠2＝∠AGD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1＝∠AGD(等量代换)．
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)．
【易错点拨】 本题易错之处是分不清结论成立需具备哪些条件，易将
平行线的性质定理与判定定理混淆．在书写推理过程时，每一步都必须
有根据，防止混淆平行线的性质定理和判定定理．
忽略分类讨论
3． (广州中考)一副三角板按如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针
旋转α(0°<α<90°)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α
的度数为 ．
15°或60°
【易错点拨】 对于题干中条件不明确的问题，一定要考虑全面，避免
漏解．此题应分DE⊥BC，AD⊥BC两种情况进行讨论．
4. 在△ABC中，∠B＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，求
∠C的度数．
解：分两种情况：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示．
∵BD是AC边上的高，∴∠ADB＝90°.
∴∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝180°－90°－30°＝60°.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°.
∴∠ABC＋∠C＝120°.
∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°.
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示．
在 Rt △ABD中，∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°.
∴∠BAD＝∠ABC＋∠C＝60°.
∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝30°.
综上所述，∠C的度数为60°或30°.
【易错点拨】 易忽视三角形的高可以在三角形内部，也可以在三角形
外部．已知三角形的条件而没有相应的图形时，应注意分类讨论，防止
漏解．
本章教材母题精选
1. 【北师八上 P166随堂练习 T2节选】指出下列各命题的条件和结论，
并通过反例说明其中的假命题.
(1)在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；
解：(1)条件：某年5月4日是星期一．结论：该年5月11日也是星期
一．这个命题是真命题．
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形；
解：(2)条件：三角形的三个内角都相等．结论：它是等边三角
形．这个命题是真命题．
(3)如果 ＝ ，那么x＝4；
(4)两个锐角之和一定是钝角．
(3)条件： ＝ .结论：x＝4.这个命题是假命题．
反例：x＝ .
(4)条件：两个角是锐角．结论：它们的和是钝角．这个命题是假
命题．
反例：若一个角是20°，另一个角是45°，则它们的和是65°，还
是锐角．
2． 【人教八上 P16习题 T3】△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝
∠B＋10°.求△ABC的各内角的度数．
解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，
∴∠C＝∠A＋10°＋10°＝∠A＋20°.
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∴∠A＋(∠A＋10°)＋(∠A＋20°)＝180°.∴∠A＝50°.
∴∠B＝50°＋10°＝60°，∠C＝50°＋20°＝70°.
证明：∵∠BAC是△CAE的一个外角，
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E.
∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD＝∠B＋∠E.
∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD.
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋
2∠E.
3． 【人教八上 P17习题 T11】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平
分线，且CE交BA的延长线于点E. 求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.
4． 【北师八上 P177习题 T1】太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及
其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线
OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出，图中如果∠BOP＝
45°，∠QOC＝88°， 那么∠ABO和∠DCO各是多少度？
解：∵AB∥PQ，
∴∠ABO＝∠BOP＝45°.
∵CD∥PQ，
∴∠DCO＋∠QOC＝180°.
∵∠QOC＝88°，∴∠DCO＝180°－∠QOC＝92°.
5． 【北师八上 P177习题 T4】如图，一条直线分别与直线BE、直线
CE、直线BF、直线CF相交于点A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C.
(1)找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的；
(1)解：CE∥FB, AB∥CD. 理由如下：
∵∠1＝∠2, ∴CE∥FB.
∴∠C＝∠BFD.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠BFD. ∴AB∥CD.
(2)证明：∠A＝∠D.
(2)证明：由(1)，得AB∥CD. ∴∠A＝∠D.
6． 【北师八上 P198总复习 T35】“三等分一个任意角”是数学史上一
个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在
探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是DA
延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F. 你
能证明∠ECB＝ ∠ACB吗？
解：能．证明如下：
在△AGF中，∠AGC＝∠F＋∠GAF.
又∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝2∠F.
∵∠ACG＝∠AGC，∴∠ACG＝2∠F.
∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠F.
∴∠ACB＝∠ACG＋∠ECB＝3∠F.
∴∠ACB＝3∠ECB，即∠ECB＝ ∠ACB.(共18张PPT)
第七章 平行线的证明
三角形的外角
01
新课学习
02
当堂检测
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三角形的外角的定义
1. 定义：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做
三角形的外角．
如图，∠ACD为△ABC的∠ACB的外角．
2. 下列图中的∠1是△ABC的外角的是( B )
B
三角形的外角的性质
3. 如图，∠A＝32°，∠B＝40°，则∠ACB＝ °，∠ACD
＝ °.
发现：∠ACD与∠A，∠B的关系为∠ACD＝ ．
三角形的外角性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
108
72
∠A＋∠B
内角
例1 求下列图中的x.
x＝ ° x＝ ° x＝ °
75
120
40
4. 求下列图中的x.
x＝ ° x＝ ° x＝ °.
120
70
60
例2 如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E，求∠C的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠CFA＝∠A＝50°.
∵∠CFA＝∠C＋∠E，∠C＝∠E，
∴∠C＝ ∠CFA＝25°.
5. 如图，BC∥DF，∠B＝50°，∠A＝25°，求∠D的度数．
解：∵BC∥DF，
∴∠D＝∠AEC.
∵∠A＝25°，∠B＝50°，
∴∠AEC＝∠A＋∠B＝75°.
∴∠D＝75°.
例3 【北师八上 P181例2】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外
角∠EAC. 求证：AD∥BC.
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和)，∠B＝∠C(已知)，
∴∠EAC＝2∠B(等量代换)．
∵AD平分外角∠EAC(已知)，∴∠EAC＝2∠EAD(角平分线的定义)．
∴∠B＝∠EAD(等量代换)．
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
例4 如图，点D是△ABC的边AC的延长线上的一点，点E是BC上一
点，连接DE. 求证：∠BED＞∠A.
证明：∵∠ECD是△ABC的一个外角(外角的定义)，
∴∠ECD＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠BED是△ECD的一个外角(外角的定义)，
∴∠BED＞∠ECD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内
角)．
∴∠BED＞∠A.
1． 下列各图中，∠1大于∠2的是( D )
D
2． 【北师八上 P183随堂练习 T1变式】如图，∠A＝40°，∠CBD是
△ABC的一个外角，若∠CBD＝120°，则∠C的度数为( B )
A ． 90° B ． 80° C ． 60° D ． 40°
B
3． 【北师八上 P183习题 T2变式】如图，在△ABC中，AD平分
∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠BAC的度数是
( D )
A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80°
D
4． 一题多解如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.
若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为 °.
70
5． 跨学科(2023·山西)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射
后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1
＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为( C )
A ． 45°
B ． 50°
C ． 55°
D ． 60°
C
6． 如图．
(1)求证：∠ADC＞∠B；
证明：(1)如图，延长AD交BC于点E.
∵∠DEC＝∠A＋∠B，
∴∠ADC＝∠DEC＋∠C＝∠A＋∠B＋∠C.
∴∠ADC＞∠B.
(2)求证：∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C.
(2)由(1)知∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C.(共17张PPT)
第七章 平行线的证明
第4课 平行线的判定
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平行线的判定定理的证明
1. (平行线的基本事实)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相
等，那么这两条直线平行．简述为： ，两直线平行．
同位角相等
2. 【北师八上 P172定理】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相
等，那么这两条直线平行．简述为： ，两直线平行．
如图，已知∠1＝∠2.求证：a∥b.
内错角相等
证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠3(等量代换)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
3. 【北师八上 P172定理】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互
补，那么这两条直线平行．简述为： ，两直线平行．
如图，已知∠1＋∠2＝180°.求证：a∥b.
同旁内角互补
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，
∴∠1＝∠3(同角的补角相等)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
平行线的判定定理的应用
例1 一题多解【北师八上 P174习题 T3改编】如图所示，直线a，b被直
线c所截，且∠1＋∠2＝180°.求证：a∥b.
法1：证明：∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴∠3＋∠2＝180°(等量代换)．
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
法2：证明：∵∠1＋∠4＝180°(平角的定义)，
∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴∠2＝∠4(同角的补角相等)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
法3：证明：∠1＋∠5＝180°(平角的定义)，
∠1＋∠2＝180(已知)，
∴∠2＝∠5(同角的补角相等)．
∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．
4. 一题多问【北师八上 P173习题 T1变式】如图，已知∠1＝∠ABC＝
∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC＋∠BCD＝180°.填空：
(1)∵∠1＝∠ABC，∴AD∥ ( )；
(2)∵∠3＝∠5，∴AB∥ ( )；
(3)∵∠2＝∠4，∴ ∥ ( )；
BC
同位角相等，两直线平行
CD
内错角相等，两直线平行
AD
BC
内错角相等，两直线平行
(4)∵∠1＝∠ADC，∴ ∥ (
)；
(5)∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴ ∥ (
)．
AB
CD
内错角相等，两直线平
行
AB
CD
同旁内角互补，两
直线平行
例2 如图，点C在BE上，∠B＝50°，∠1＝80°，CD平分∠ACE. 求
证：AB∥CD.
证明：∵∠1＋∠ACE＝180°，∠1＝80°，
∴∠ACE＝ °.
∵CD平分∠ACE(已知)，
∴∠3＝ ∠ ＝50°( )．
∵∠B＝50°，∴∠ ＝∠ (等量代换)．
∴AB∥CD( )．
100
ACE
角平分线的定义
3
B
同位角相等，两直线平行
5. 如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1＝∠2，求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC(已知)，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB(等量代换)．
∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
1． 如图，∠1＝∠2，下列结论正确的是( D )
A ． ∠C＝∠1 B ． AD∥BC
C ． ∠3＝∠4 D ． AB∥CD
D
2． 如图，点E是AB上一点，点F是CD上一点，点G是BC的延长线
上一点，∠AEF＝∠ABC，下列说法正确的是( C )
A ． AD∥BC B ． AB∥CD
C ． EF∥BC D ． AD∥EF
C
3． 如图，若满足条件 ，则有
AB∥CD． (不再添加辅助线，只需填一个答案即可)
∠A＝∠3(答案不唯一)
4． 在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于点A，∠1与∠C互余，DE和BC
平行吗？请说明理由．
解：平行．理由如下：
∵AB⊥AC(已知)，
∴∠BAC＝90°( )．
又∠1＋∠BAC＋∠CAE＝180°(平角的定义)，
∴∠1＋ ＝90°(等式的性质)．
∵∠1与∠C互余，即∠1＋∠C＝90°(已知)，
∴ ＝ (等量代换)．
∴DE∥BC( )．
垂直的定义
∠CAE
∠CAE
∠C
内错角相等，两直线平行
5． 【拓展题】如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2
＝90°.求证：AB∥CD.
证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠2，
∠BDC＝2∠1.
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠ABD＋∠BDC＝2∠2＋2∠1＝2(∠2＋∠1)＝2×90°＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．(共20张PPT)
第七章 平行线的证明
三角形内角和定理
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三角形内角和定理的证明及应用
1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 ．
180°
2. 证明三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.如图，已知
△ABC. 求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作直线DE∥BC.
∴∠B＝∠2，∠C＝ ．
∵∠1＋∠2＋∠3＝ °，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ °.
∠1
180
180
3. 求下列图中的x.
(1) x＝ °；
(2) x＝ °；
(3) x＝ °.
30
45
60
例1 方程思想已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A－∠B
＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B的度数．
解：设∠A＝x°，∠B＝y°.
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝54°.
∴解得
∴∠A＝71°，∠B＝55°.
4. 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2.求∠A，∠B和∠C的
度数．
解：设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝2x.
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∴4x＋3x＋2x＝180°.解得x＝20°.
∴∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°.
例2 【北师八上 P179例1改编】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B
＝50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．
解：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)．
∵∠A＝70°，∠B＝50°(已知)，
∴∠ACB＝180°－70°－50°＝60°(等式的性质)．
∵CD平分∠ACB(已知)，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°(角平分线的定义)．
解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A(已知)，
∴在△ABC中，∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°(三角形内角和定理)．
∴∠A＝36°(等式的性质)．
∴∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°(等式的性质)．
∵BD是AC边上的高(已知)，
∴∠BDC＝90°(垂直的定义)．
∴在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－72°＝18°(等式的性质)．
5. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求
∠DBC的度数．
例3 【北师八上 P185复习题 T9改编】如图，在△ABC中，∠B＝
70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC. 求∠DAE的度数．
解：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－70°－40°＝70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝35°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
在△ADC中，∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°.
∵∠C＝40°，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－90°－40°＝50°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝15°.
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，CD，BE分别是
△ABC的高和角平分线，求∠BCD，∠CEB的度数．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝180°－90°－40°＝50°.
∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.
∴在△BDC中，∠BCD＝180°－90°－50°＝40°.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝ ∠ABC＝25°.
∴在△BCE中，∠CEB＝180°－90°－25°＝65°.
1． 如图．
(1)若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ °；
(2)若∠A＝∠C＝70°，则∠B＝ °；
(3)若∠A＝50°，则∠B＋∠C＝ °.
70
40
130
2． 若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是
( D )
A ． 锐角三角形 B ． 等边三角形
C ． 钝角三角形 D ． 直角三角形
D
3． 如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3
＝ ．
35°
4． 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，若∠A＝68°，∠BCD＝
31°，则∠B＝ ．
50°
5． (1)将一副三角板按如图的方式叠放，则∠α＝ °；
(2)将一副三角板按如图的方式叠放，则∠α＝ °.
75
75
6． 如图，在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，点P为线段
AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E.
(1)解：∵∠B＝35°，∠ACB＝75°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°－35°－75°＝70°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝35°.
∴在△ADC中，∠ADC＝180°－75°－35°＝70°.
∵EP⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴在△DPE中，∠E＝180°－90°－70°＝20°.
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数；
(2)求证：∠E＝ (∠ACB－∠B)．
(2)证明：在△ABC中，∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB)．
在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD.
∴∠ADC＝180°－∠ADB＝∠B＋∠BAD＝90°－ (∠ACB－
∠B)．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝180°－90°－∠ADC＝90°－＝ (∠ACB－∠B)．(共22张PPT)
第七章 平行线的证明
定义与命题
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定义与命题的概念
1. (1)定义：对名称和术语的含义加以 ，作出明确的 ；(2)
命题：判断一件事情的句子．
描述
规定
例1 下列语句中属于定义的是( C )
A . 平角都相等
B . 作已知角的平分线
C . 线段是直线上的两点和两点间的部分
D . 等角的余角相等
C
2. 下列不属于定义的是( D )
A . 两边相等的三角形是等腰三角形
B . 无限不循环小数叫做无理数
C . 含有未知数的等式叫做方程
D . 正方形的四条边相等
D
例2 下列语句中，是命题的打“√”，不是的打“×”．
(1)我的数学老师很聪明．( √ )
(2)作AB的垂线． ( × )
(3)玫瑰花是动物． ( √ )
(4)你的作业做完了吗？( × )
(5)垂线段最短． ( √ )
√
×
√
×
√
3. 下列语句中，是命题的打“√”，不是的打“×”．
(1)对顶角不相等．( √ )
(2)蔚蓝的天空．( × )
(3)三角形的内角和等于180°.( √ )
(4)两直线平行．( × )
(5)两数相加．( × )
√
×
√
×
×
命题的结构：条件＋结论
例3 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出条件和
结论．
(1)同位角相等，两直线平行；
解：(1)如果同位角相等，那么这两条直线平行．
条件：同位角相等．结论：这两条直线平行．
(2)对顶角相等．
解：(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
条件：两个角是对顶角．结论：这两个角相等．
4. 写出下列命题的条件和结论．
(1)90°的角是直角．
条件是 ，
结论是 ；
(2)内错角相等．
条件是 ，
结论是 ．
一个角的度数是90°
这个角是直角
两个角是内错角
这两个角相等
真命题、假命题、反例
5. 正确的命题称为 ，不正确的命题称为 ．
真命题
假命题
例4 【人教七下 P24习题 T12变式】判断下列命题是真命题，还是假命
题．如果是假命题，举一个反例．
(1)若a2>b2，则a>b；
解：(1)假命题．反例：(－2)2>12，但－2<1.
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形．
解：(2)真命题．
6. 判断下列命题是真命题，还是假命题．如果是假命题，举一个反
例．
(1)带根号的数都是无理数；
解：(1)假命题．反例： ＝2，是有理数．
(2)如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形
全等．
解：(2)真命题．
1． 下列语句中，属于定义的是( C )
A ． x与y的和等于0吗？
B ． 作已知角的平分线
C ． 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离
D ． 方程中含有未知数
C
2． 【北师八上 P167习题 T2变式】给出下列语句：
①如果两个角都是50°，那么这两个角是对顶角；
②直角三角形一定不是轴对称图形；
③画线段AB＝5 cm ；
④延长线段AB至点C，使AB＝BC；
⑤明天下雨吗？
其中命题的个数为( B )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
B
3． 下列命题错误的是( C )
A ． 若直线a⊥b，则a与b的夹角为直角
B ． 等角的补角相等
C ． 无理数包括正无理数，0，负无理数
D ． 两点之间，线段最短
C
4． 【北师八上 P166随堂练习 T2变式】已知命题：“三角形三条高线
的交点不在三角形的外部．”小冉想举出一个反例说明它是假命题，则
下列选项中一定符合要求的是( D )
A ． 等腰三角形 B ． 直角三角形
C ． 锐角三角形 D ． 钝角三角形
D
5． 【北师八上 P167习题 T3变式】命题“直角都相等”的条件是
，结论是 ．
角
是直角
这些角都相等
6． 将命题“同角的补角相等”，改写成“如果……那么……”的形
式是 ．
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
7． 请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．
(1)在同一年内，如果7月2日是星期三，那么7月9日也是星期三；
解：(1)真命题．
(2)两个无理数的和仍是无理数；
解：(2)假命题．反例：－ + ＝0，和是有理数．
(3)一个锐角与一个钝角的和是180°；
解：(3)假命题．反例：30°的角是锐角，100°的角是钝角，30°＋
100°＝130°，和不是180°.
(4)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
解：(4)真命题．
(5)倒数等于它本身的数是1.
解：(5)假命题．反例：－1的倒数等于它本身．
8． 【拓展题】在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形
(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB＝DE；②
BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2.请你从这四个条件中选出三个作为
条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
条件： ；结论： ．(均填序号)
①②③
④(答案不唯一)
证明：因为BF＝EC，
所以BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF( SAS )．所以∠1＝∠2.(共19张PPT)
第七章 平行线的证明
第1课 为什么要证明
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证明的必要性
例1 图1、图2中的线段a与b，哪一条更长？先观察，再测量：
(1)a b；(2)a b．(填“＞”“＜”或“＝”)
＝
＝
1. 观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？ ．
一样大
2. 在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数．于
是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数．小明的猜想正
确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由如下：
例如：当n＝7时，n2－6n＝7＞0，不是负数．
3. 当n＝1，2，3，4时，代数式n2－n＋5的值都是质数，那么当n为正
整数时，代数式n2－n＋5的值一定都是质数吗？请简要说明你的理由．
解：不一定．理由如下：
例如：当n＝5时，n2－n＋5＝25，它是一个合数．
推理证明的必要性：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，
也可能 ．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实
验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ．
不正确
证明
检验数学结论常用的方法
4. 检验数学结论常用的方法有实验验证法、举反例法、推理论证
法等．
例2 若要说明“若|a|＝|b|，则a＝b”是错误的，下列所举的例子正确
的是( C )
A . a＝2，b＝1 B ． a＝2，b＝2
C . a＝2，b＝－2 D ． a＝－2，b＝－2
C
5. 【北师八上 P163随堂练习 T2改编】能说明“n2＋3n＋1的值一定是质
数”是不正确的例子的是( D )
A . n＝3 B ． n＝4 C ． n＝5 D ． n＝6
D
例3 设n为整数，试说明：(2n＋1)2＋23能被4整除．
解：(2n＋1)2＋23＝4n2＋4n＋24＝4(n2＋n＋6)．
因为n为整数，
所以(2n＋1)2＋23能被4整除．
6. 【北师八上 P164习题 T2改编】观察下列各式的规律：
32－12＝4×2；42－22＝4×3；52－32＝4×4.
(1)猜想：(n＋2)2－n2＝ ；
(2)你能应用数学方法验证上述结论吗？
解：左边＝(n＋2)2－n2＝(n＋2＋n)(n＋2－n)＝2(2n＋2)＝4(n＋1)
＝右边．
所以上述结论成立．
4(n＋1)
1． 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述，正确的是( D )
A ． 只需观察得出
B ． 只需依靠经验获得
C ． 通过亲自试验得出
D ． 必须进行有根有据的证明
D
2． 跨学科如图所示，筷子插在装水的玻璃杯中，筷子看起来弯了，
关于这个现象有以下观点，其中正确的是( D )
①眼见为实；
②这是光的折射造成的一种假象；
③作为一个反例，说明“眼见为实”这个判断不一定正确；
D
④判断结论是否正确仅依靠观察、经验是不够的．
A ． ① B ． ②③
C ． ②④ D ． ②③④
3． 【北师八上 P163随堂练习 T2变式】下列说法正确的是( D )
A ． 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B ． 推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C ． 对于任意自然数n，n2＋n＋37一定是质数
D ． 有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于
2个
D
4． 如果a2＝b2，那么a＝b，请举出一个例子，说明该说法是错误
的： ．
(－2)2＝22，但－2≠2(答案不唯一)
5． 由幂的乘方的性质，得(ab)2＝a2b2，类比这个等式，能得到(a＋
b)2＝a2＋b2也成立吗？
解：不能．
因为(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2，
所以不能得到(a＋b)2＝a2＋b2成立．
6． 小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲
说：“至少15元．”乙说：“至多13元．”丙说：“至多10元．”小明
说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为( C )
A ． 12元 B ． 13元
C ． 14元 D ． 无法确定
C
7． 某公园计划砌一形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为图2
的形状，且外圆直径不变，喷水池边缘的高度、宽度不变，你认为砌喷
水池的边缘( C )
A . 图1需要的材料多
B ． 图2需要的材料多
C ． 图1、图2需要的材料一样多
D ． 无法确定
C
8． 如图所示的方格纸中，每一格小正方形的边长均为1，小莉画出
一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下．
解：对．验证如下：
由勾股定理，得AC2＝32＋12＝10，
BC2＝32＋12＝10，AB2＝22＋42＝20.
因为10＋10＝20，所以AC2＋BC2＝AB2.
所以△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°.
因为AC2＝BC2，所以AC＝BC.
所以△ABC是等腰直角三角形．
所以小莉画得对．
