(共26张PPT)
第二章 实数
2.7 二次根式
01
知识链接
02
当堂检测
目录
目录
计算： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二次根式的定义及其成立的条件
1. 一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．
2． 有意义 a 0； 表示a的 根 0.
≥
算术平方
≥
例1 下列式子不是二次根式的是( D )
A . B ． C ． D ．
D
3. 下列式子：① ；② ；③ ；④ .其中二次根
式有 个．
2
例2 填空：
(1)若 有意义，则x的取值范围为 ；
(2)若 有意义，则x的取值范围为 x≤ ．
x≥－1
x≤
4.若 + ＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( C )
A . x≥ B ． x≤ C ． x＝ D ． x≠
C
二次根式的化简
5. 填空：
探究 ＝ ， × ＝ ＝ ____________， ＝
结论 ＝ (a≥0，b≥0) ＝ (a≥0，b＞0)
6
6
例3 化简：
(1) ＝ ＝ 2 ；
(2) ＝ ＝ 4 ；
(3) ＝ ＝ ；
(4) ＝ ＝ ＝ ．
2
4
6. 化简：
(1) ＝ ＝ 5 ；
(2) ＝ ＝ ＝ 10 ；
(3) ＝ ＝ ＝ ．
5
10
最简二次根式
7. 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这
样的二次根式，叫做最简二次根式．
例4 下列二次根式中，最简二次根式的是( D )
A . B ． C ． D ．
D
8. 下列二次根式中，最简二次根式是( C )
A . B ． C ． D ．
C
例5 化简：
(1) ； (2) ；
(1)解： ＝ ＝ × ＝5 .
(2)解： ＝ ＝ × ＝6 .
(3) ; (4) .
(3)法1：解： ＝ ＝ ＝ ＝ .
法2：解： ＝ ＝ ＝ ＝ .
(4)解： ＝ ＝ .
9. 化简：
(1) ; (2) ；
(1)解： ＝ ＝ × ＝2 .
(2)解： ＝ ＝ × ＝3 .
(3) ; (4) .
(3)解： ＝ ＝ ＝ ＝ .
(4)解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
1． 下列式子中，不属于二次根式的是( C )
A ． B ． C ． D ．
C
2． 下列根式是最简二次根式的是( C )
A ． B ． C ． D ．
C
3． (2023·永州)已知x为正整数，写出一个使 在实数的范围内
没有意义的x值是 ．
1(答案不唯一)
4． (1) ＝ 5 ；(2) ＝ ．
5
5． 能使等式 ＝ 成立的x的取值范围是( C )
A ． x≠1 B ． x≥0
C ． 1＜x≤2 D ． 1≤x≤2
C
6． 【人教八下 P19复习题 T8改编】已知n是正整数， 是整
数，则n的最小值为 ．
21
二次根式非负性的应用
7． (1)已知a，b满足(a－1)2＋ ＝0，则a＝ ，b＝ ；
(2)若x，y为有理数，且|x＋2|＋ ＝0，则x＝ ，y＝ ．
归纳：在实数范围内，表示非负的代数式(有意义)有：|a|，( ) ，
.
1
－2
－2
3
8． (1)已知y＝ + －4，则 ＝
．
(2)当x为何值时，y＝－ ＋1有最大值？最大值是多少？
解：当 最小时，y最大，此时－3x＋4＝0.
解得x＝ .所以当x＝ 时，y有最大值1.
3
(共21张PPT)
第二章 实数
2.2 平方根 ——算术平方根
算术平方根
若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/ dm2 1 9 16 0.36 a2
正方形的边长/ dm
1
3
4
0.6
|a|
已知一个正数的平方，如何求这个正数？
如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做
a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”．
0的算术平方根是0，即 ＝0.
例1 【北师八上 P26例1改编】求下列各数的算术平方根：
(1)100； (2)4；
(1)解：因为102＝100，
所以100的算术平方根是10，即 ＝10.
(2)解：因为22＝4，
所以4的算术平方根是2，即 ＝2.
(3) ； (4)11.
(3)解：因为 ＝ ，所以 的算术平方根是 ，即 ＝ .
(4)解：11的算术平方根是 .
1. 求下列各数的算术平方根：
(1)(－5)2； (2)13；
(1)解：因为52＝(－5)2，
所以(－5)2的算术平方根是5，即 ＝5.
(2)解：13的算术平方根是 .
(3)0.81； (4)10-4.
(3)解：因为0.92＝0.81，
所以0.81的算术平方根是0.9，即 ＝0.9.
(4)解：因为(10-2)2＝10-4，
所以10-4的算术平方根是10-2.
例2 求下列各式的值：
(1) ；
解： ＝ ＝8.
(2) ；
解： ＝ ＝0.7.
(3) .
解： ＝ ＝ ＝ .
2. 计算下列各式：
(1) ;
解： ＝ ＝ .
(2)－ ；
解：－ ＝－ ＝－13.
(3)－ .
解：－ ＝－ ＝－0.2.
算术平方根的实际应用
例3 【苏科八上 P96例4改编】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是
登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距
离为d，则d≈ ，其中R是地球半径(通常取6 400 km )．小明站在海
边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m ，他观测远处一艘船刚露出
海平面，则此时d的值约为 km .
16
3. 【北师八上 P27随堂练习 T3改编】如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向
地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.2米，地面固定点C到帐
篷支撑竿底部B的距离是4.8米，则帐篷支撑竿的高为 米．
2
1．25的算术平方根是( B )
A ． 25 B ． 5 C ． －5 D ． ±5
B
2． |－9|的算术平方根是( C )
A ． 9 B ． －9 C ． 3 D ． ±3
C
3． 下列各式中，正确的是( B )
A ． ＝－3 B ． － ＝－3
C ． ＝±3 D ． ＝±3
B
4． 若一个数的绝对值的算术平方根等于它本身，则这个数为
( B )
A ． ±1 B ． 0或1
C ． －1或0 D ． 0或±1
B
5． 下列各式中，有意义的有( C )
① ；②－ ；③ ；④ .
A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
C
6． (1)(2023·鄂州)计算： ＝ ；
(2) ＝ ；
(3)【易错题】 的算术平方根是 ．
4
10
3
7． 【北师八上 P27随堂练习 T2改编】在△ABC中，∠C＝90°，若
AC＝1，AB＝2，则BC的长为 ．
8． 当a＝7，b＝24时， 的值为 ．
25
9． 有一面积为9 m2的正方形实验田，将其面积扩大为原来的4倍，
则其边长扩大为原来的多少倍？
解：原来的正方形实验田的边长为 ＝3 ( m )．
后来的正方形面积为9×4＝36( m2)．
后来的正方形边长为 ＝6( m )，6÷3＝2.
答：其边长扩大为原来的2倍．
10． 【拓展题】(1)若 ＝3，则a＝ ；若 ＝0，则a
＝ ；若式子 取最小值，则a＝ － ．
(2)【人教七下 P43探究改编】已知 ＝2.284， ＝
7.223，则 ＝ ，若 ＝72.23，则x的值为 ．
10
－1
－
0.228 4
5 217 (共25张PPT)
第二章 实数
二次根式的乘除法与加减法
01
新课学习
02
当堂检测
目录
目录
二次根式的乘除法
把式子 ＝ · (a≥0，b≥0)， ＝ (a≥0，b＞0)等号
的左边与右边互换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则．
(1)乘法法则： · ＝ (a≥0，b≥0)；(2)除法法则：
＝ (a≥0，b>0)．
注意：整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则
在二次根式运算中仍然适用．
例1 (乘除法法则)计算：
(1) × ； (2) ； (3) .
(1)解：原式＝ ＝ .
(2)解：原式＝ ＝ ＝2 .
(3)解：原式＝ ＝ ＝2.
1. 计算：
(1) × ； (2) ； (3) .
(1)解：原式＝ ＝ ＝3.
(2)解：原式＝ ＝ ＝2 .
(3)解：原式＝ ＝ ＝3.
例2 (结合运算律、运算顺序)计算：
(1)3 ×2 ； (2) × －4；
(1)解：原式＝3×2× ＝6 .
(2)解：原式＝ －4＝6－4＝2.
(3)( - )× .
(3)解：原式＝ - ＝6 －2.
2. 计算：
(1)3 ×4 ； (2)( + )× ；
(1)解：原式＝3×4× ＝12 .
(2)解：原式＝ + ＝6＋1＝7.
(3) .
(3)解：原式＝ - ＝4－2＝2.
例3 (结合乘法公式)计算：
(1)( ＋3)( －3)； (2)( －2)2.
(1)解：原式＝( )2－32＝10－9＝1.
(2)解：原式＝( )2－2×2× ＋22
＝3－4 ＋4＝7－4 .
3. 计算：
(1)( ＋1)2； (2)( ＋1)( －1)．
(1)解：原式＝( )2＋2×1× ＋12
＝6＋2 ＋1＝7＋2 .
(2)解：原式＝( )2－12＝7－1＝6.
二次根式的加减法
4. 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，称
为同类二次根式，同类二次根式能合并，如 和 .
例4 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( D )
A . B ．
C . D ．
D
5. (1)下列与 是同类二次根式的是( B )
A . B ． C ． D ．
(2)最简二次根式 和 是同类二次根式，则x的值为 ．
B
4
例5 计算：
(1) + ； (2) －3 .
(1)解：原式＝2 ＋3 ＝5 .
(2)解：原式＝ ×2 －3×3
＝ －9 ＝－8 .
6. 计算：
(1)2 - ； (2)5 －2 .
(1)解：原式＝2×4 －5 ＝8 －5 ＝3 .
(2)解：原式＝5×5 －2×4 ＝25 －8 ＝17 .
二次根式加减运算的步骤：(1)“化”：将每个二次根式化成最
简二次根式；(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项．
1． 计算 × 的结果是( C )
A ． B ． C ． 3 D ． 2
C
2． 下列根式中与 是同类二次根式的是( C )
A ． B ． C ． D ．
C
3． (2023·青岛)下列计算正确的是( C )
A ． + ＝ B ． 2 - ＝2
C ． × ＝ D ． ÷3＝2
C
4． 计算：
(1) × ; (2) ；
(1)解：原式＝ ＝ ＝4.
(2)解：原式＝ ＝ ＝2 .
(3)4 －5 ; (4)(2 －1)2.
(3)解：原式＝4 －5×2 ＝4 －10 ＝－6 .
(4)解：原式＝(2 )2－2×2 ×1＋12
＝12－4 ＋1＝13－4 .
5． 计算：(1)(2＋ )(1－2 )＝ －4－3 ；
(2)( －2)2 024·( ＋2)2 025＝ ＋2 ．
－4－3
＋2
6． 对于正数a，b，化简 ＝ ．
2ab
7． 【人教八下 P11习题 T10变式】一个三角形的三边长分别为
cm ， cm ， cm ，求这个三角形的周长和面积．
解：这个三角形的周长为 + + ＝(2 ＋2 ＋4 ) cm .
因为( )2＝( )2＋( )2，
所以这个三角形是直角三角形．
所以这个三角形的面积为 × × ＝ ×2 ×2 ＝2
( cm2)．
8． 运算能力已知x＝2＋ ，y＝2－ ，求代数式x2－3xy＋y2
的值．
解：因为x＝2＋ ，y＝2－ ，
所以x－y＝(2＋ )－(2－ )＝2＋ －2＋ ＝2 ，
xy＝(2＋ )×(2－ )＝22－( )2＝4－3＝1.
所以x2－3xy＋y2＝(x－y)2－xy＝(2 )2－1＝12－1＝11.(共21张PPT)
第二章 实数
第7课 用计算器开方
01
新课学习
02
当堂检测
目录
目录
利用计算器求算术平方根和立方根
1. 利用计算器开方的按键顺序：
2. 利用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1) ； (2)－ ；
解： ≈1.90.
解：－ ≈－0.94.
(3) ； (4) .
解： ≈－0.93.
解： ≈6.90.
例1 在计算器上按键 ，显示的结果是( B )
A . 3 B ． －3
C . －1 D ． 1
B
3. 用计算器计算，若按键顺序为 ，相应算式是( C )
A . ×5－0×5÷2＝
B . ( ×5－0×5)÷2＝
C . －0.5÷2＝
D . ( －0.5)÷2＝
C
例2 用计算器计算： ＋23≈ ．(结果精确到0.01)
9.82
4. 用计算器计算： + -(4.375- )≈ ．(结果精确到0.01)
－1.25
利用计算器比较大小
例3 利用计算器比较 和 的大小．
解：用计算器计算，得 ≈1.709 975 9， ≈1.732 050 8.所以 <
.
5. 用计算器比较下列各组数的大小：
(1) ；
(2) .
＞
＞
利用计算器比较两个无理数的大小：①方法一：对计算的结果取近似值，通过比较近似值的大小，判断无理数的大小；②方法二：使用作差法．
1． 利用计算器依次按键如下： ，则计算器显示的结果与下
列各数中最接近的一个是( B )
A ． 2.5 B ． 2.6 C ． 2.8 D ． 2.9
B
2． 运用计算器求 + 的近似值，其按键顺序正确的是( A )
A
3． 利用科学计算器进行如下计算，按键操作不正确的是( B )
A ． 计算 的值，按键顺序为：
B ． 计算 的值，按键顺序为：
C ． 计算结果以“度”为单位，按键 可显示以“度”“分”“秒”
为单位的结果
D ． 计算器显示结果为 时，若按 键，则结果切换为小数格式0.333
333 333
B
4． 下列各组数，能作为三角形三条边长的是( D )
A ． ， ，
B ． ， ，
C ． ， ，
D ． ， ，
D
5． 用计算器求 －π的值为 ．(结果精确到0.01)
2.34
6． 某计算器中有 、 、 三个按键，以下是这三个按键的功
能．
① ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
② ：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③ ：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次从第一步到第三步
循环按键．
如果一开始输入的数据为5，那么第2 024步之后，显示的结果是
( C )
A ． 5 B ． C ． D ． 25
C
7． 跨学科在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，
完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水的体积为40 cm3，小华又将铁块
从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6 cm .则烧杯内部的底面半径
和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.01 cm )
解：设铁块的棱长为a.
根据题意，得a3＝40.解得a≈3.42.
设烧杯内部的底面半径为r.
根据题意，得πr2·0.6＝40，即3.14r2·0.6＝40.
解得r≈4.61.
答：烧杯内部的底面半径是4.61 cm ，铁块的棱长是3.42 cm .
8． 规律探究借助计算器计算下列各式：
＝ ；
＝ ；
＝ ；
＝ ；
……
试猜想 的结果为 .
5
55
555
5 555
(共37张PPT)
第二章 实数
认识无理数
1． 分数可以化成有限小数或无限循环小数．
2. 将下列数进行归类：
－5，3， ，－0.2，0，0.3．
(1)整数： ；
(2)分数： ；
(3)有理数： ．
－5，3，0
，－0.2，0.3
－5，3， ，－0.2，0，0.3
.
.
.
不是有理数的数
1. 如图是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得
到一个大正方形．
(1)设大正方形的边长为a，则大正方形的面积a2＝ ；
2
(2)因为a 整数， 分数，所以a 有理数．(填“是”或
“不是”)
不是
不是
不是
2． (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 ；
(2)设该正方形的边长为b，则b2＝ ；
(3)b 有理数．(填“是”或“不是”)
像上面两题中的数a，b确实存在，但是它们不是有理数．
5
5
不是
例1 边长为1的正方形的对角线长( D )
A . 是整数 B ． 是分数
C . 是有理数 D ． 不是有理数
D
3.若一个正方形的边长为a，面积为20，则( D )
A . a可能是整数 B ． a可能是分数
C . a可能是有理数 D ． a不是有理数
D
例2 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别
为a，b，c.
(1)计算：①当a＝1，c＝2时，b2＝ ；
②当a＝3，c＝5时，b2＝ ；
③当a＝0.6，c＝1时，b2＝ ．
3
16
0.64
(2)通过(1)中计算出的b2的值，可知b是整数的是 ；b是分数的是 ；b既不是整数，也不是分数的是 ．(填(1)中的序号)
②
③
①
4.如图，在 Rt △ABC中，如果AC＝2 cm ，BC＝2 cm ，那么AB的长是有理数吗？
解：在 Rt △ABC中，AC＝2，BC＝2，
由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝8.
所以AB的长不是有理数．
例3 【北师八上 P22习题 T1变式】如图，每个小正方形的边长均为1，
四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长
度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？
解：由题图，知AC＝7，BD＝5，AO＝4，BO＝3，CO＝3，DO
＝2.
由勾股定理，得AB2＝32＋42＝25，BC2＝32＋32＝18，CD2＝32＋
22＝13，AD2＝42＋22＝20.
因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有
理数．
1． 若x2＝3，则x( D )
A ． 是整数 B ． 是分数
C ． 是有理数 D ． 不是有理数
D
2． 下列各数，不是有理数的为( B )
A ． 0 B ．
C ． － D ． 1.313 133 31
B
3． 下列面积的圆，半径不是有理数的是( C )
A ． 16π B ． 25π
C ． 2π D ． 4π
C
4． 一个长方形的长与宽分别是6，3，它的对角线的长( D )
A ． 是整数
B ． 是分数
C ． 是有理数
D ． 既不是整数，也不是分数
D
5． 如图是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其中
边长是有理数的正方形有 个，边长不是有理数的正方形有 个．
3
6
6． 如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，
CB，CD，CE四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有 条．
3
7． 【北师八上 P21随堂练习改编】如图，若等腰三角形ABC的腰长
为3，底边BC的长为4，高AD为h，则h是整数吗？是有理数吗？
解：因为△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的高，
所以BD＝CD，△ABD是直角三角形．
由勾股定理，得h2＝AB2－BD2.
又AB＝3，BD＝ BC＝2，所以h2＝5.
所以h不是整数，不是分数，从而不是有理数．
第二章 实数
认识无理数(2)
01
新课学习
02
当堂检测
目录
目录
无理数的概念
第1课中，a2＝2，即面积为2的正方形，它的边长a是多少？
(1)如图，三个正方形的边长的大小关系为 ；
1＜a＜2
(2)下表是利用计算器探索边长a的大小整理出来的，其中a的整数部分
是 ，十分位是 ；a 是有限小数，也 是循环小
数．(填“可能”或“不可能”)
1
4
不可能
不可能
面积为2的正方形的边长是一个无限不循环小数．
无限不循环小数称为无理数．
例1 在数 ，－ ，π，0.3，0，5.411 010 010 001…(相邻两个1之间
逐次加一个0)中，整数有 ，有理数有 ，无理数
有 ．
0
，－ ，0.3，0
π，5.411 010 010 001…(相邻两个1之间逐次加一个0)
.
.
1. 在数 ，(π－5)0，1.010 010 001…(相邻两个1之间逐次加一个0)，
3.141 592 6，－ 中，无理数有( B )
A . 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
B
常见无理数的几种类型
分类 举例
一般的无限不循环小数 1.414 213 56…
有规律的无限不循环小数 1.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
某些含π的数 2π
无理数与有理数的和或差，结果都是无理数 π＋2
无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果是无理数
例2 若x2＝15，则正数x介于( C )
A ． 1和2之间 B ． 2和3之间
C ． 3和4之间 D ． 4和5之间
C
2. 估计面积为20的正方形的边长b的值介于( C )
A ． 2和3之间 B ． 3和4之间
C ． 4和5之间 D ． 5和6之间
C
1． 下列各数中，是无理数的是( B )
A ． 0.45 B ． －π C ． D ． 18
B
2． 已知直角三角形的两条直角边长分别是4和5，这个直角三角形的
斜边长在两个相邻的整数之间，这两个整数分别是 和 ．
6
7
3． 下列各数：3.146，，0.010 010 001，3－π，0．317.其
中，无理数有 个．
1
.
4． 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网
格上的△ABC中，边长为无理数的边数为( C )
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
C
5． 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
0．351，－4.96，－5.232 333 2…，－ ，3.141 59，6， ，0.123
456 789 101 1….
. .
6． 写出一个同时符合下列条件的数： ．
(1)它是一个无理数；
(2)它是一个负数；
(3)它的绝对值比4小．
－π(答案不唯一)
7． 已知面积为8π的圆，其半径r是否为无理数？若是无理数，请写
出r的值介于哪两个连续整数之间？
解：由题意，得πr2＝8π，即r2＝8.
所以r既不是整数，也不是分数．
所以r是无理数．
因为22＝4，32＝9，
所以r的值介于整数2和3之间．
8． 请在下图的网格中，设计两个直角三角形，分别满足下列条件：
(1)使三角形的三边长都能用有理数表示；
解：(1)如图左上角所示．(答案不唯一)
(2)使三角形的三边中有两边长是无理数．
解：(2)如图右下角所示．(答案不唯一)(共22张PPT)
第二章 实数
实数
01
新课学习
02
当堂检测
目录
目录
实数的分类
1. (1)按定义分类：
(2)按正负分类：
例1 把下列各数分别填入相应的集合内：
， ， ，π，－ ， ， ，－ ，－ ， ，0，0.373
773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{
…}；
，－ ，－ ，0
，π， ，－ ，0．373 773 777
3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)
(3)正实数集合：{
…}；
(4)负实数集合：{ …}．
，π， ，0．373 773 777
3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)
－ ，－ ，－
2. 将下列各数填入相应的集合内：
， ，－6.8， ， ， ，－π，0.45， ，0.25.
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)负无理数集合：{ …}；
(4)正实数集合：{ …}．
，－6.8， ，0.45，0.25
，－π，
－π，
，0.45，0.25
.
.
.
实数的性质
例2 填空：
(1)－ 的相反数是 ；
(2)－ 的绝对值是 ；
(3)没有倒数的实数是 ．
0
3.填空：
(1)π－3的相反数是 ，绝对值是 ；
(2)2－ 的相反数是 －2 ；
(3)| - |＝ ．
3－π
π－3
－2
实数的运算
例3 计算：| －5|－(2－ )＋ .
解：原式＝5－ －2＋ ＋(－4)＝－1.
4. 计算：(－1)2－( - )－ .
解：原式＝1＋2＋7－1＝9.
实数与数轴上的点的对应关系
5. 实数和数轴上的点是一一对应的．在数轴上，右边的点表示的数比
左边的点表示的数大．
例4 (1) 在数轴上对应的点可能是( C )
A . 点A B ． 点B C ． 点C D ． 点D
C
(2)如图所示，已知OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ．
－
6. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
( D )
A . ac＞bc
B . |a－b|＝a－b
C . －a＜－b＜c
D . －a－c＞－b－c
D
1． 下列说法错误的是( B )
A ． 正整数和正分数统称正有理数
B ． 两个无理数相乘的结果可能等于零
C ． 正整数、0、负整数统称为整数
D ． 3.141 592 6是小数，也是分数
B
2． 把下列各数分别填入适当的集合内：0．2，－ ，－
，－ ，－ ，1．202， ，2.515 115 111 5….
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ … …}；
整数集合：{ …}；
负数集合：{ …}．
0.2，－ ，－ ，1.202，
－ ，－ ，2.515 115 111 5
－ ，－
－ ，－ ，－
.
.
. .
3． 如图，数轴上A，B，C，D四点中，与 对应的点距离最近的
是( C )
A ． 点A B ． 点B C ． 点C D ． 点D
C
4． 下列说法不正确的是( C )
A ． － 的相反数是
B ． －3的绝对值是3－
C ． 2是 的平方根
D ． － 是－3的立方根
C
5． (2023·青海)计算：－14＋|1－ |－(π－3.14)0.
解：原式＝－1＋( －1)－1
＝－1＋ －1－1＝ －3.
6． 在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a＋b－1，例如：2☆3＝2
＋3－1＝4.若 ☆x＝1，则x的值是( C )
A . 0 B ． C ． 2－ D ． －2
C
7． 数形结合如图，实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的
数．化简： ＋|a－b|＋ －|b－c|.
解：原式＝|a|＋|a－b|＋a＋b－|b－c|
＝－a＋a－b＋a＋b－c＋b
＝a＋b－c.(共24张PPT)
第二章 实数
估算
方根的估算
例1 若x＝ ，则x的取值范围是( B )
A . 2＜x＜3 B ． 3＜x＜4
C . 4＜x＜5 D ． 无法确定
B
1. 下列整数中，与 最接近的整数是( A )
A . 3 B ． 4
C . 5 D ． 6
A
例2 估算 的大小．(结果精确到0.1)
解：因为3.682＝13.542 4，3.692＝13.616 1，
所以 ＜ ＜ ．
所以 ≈ ．
3.68
3.69
3.7
2. 【北师八上 P33议一议改编】估算 的大小．(结果精确到1)
解：因为9.63＝884.736，9.73＝912.673，
所以 ＜ ＜ .
所以9.6＜ ＜9.7.所以 ≈10.
例3 【北师八上 P33问题改编】有一块长方形荒地，面积为100 m2，长
是宽的2倍，它的宽能达到8 m 吗？
解：设宽为x m ，则长为2x m ．
依题意，得x·2x＝100，即x2＝50.
因为x＞0，所以x＝ .
因为82＝64＞50，所以 ＜8.
答：宽不能达到8 m ．
3. 有一长度为6 m 的梯子靠墙摆放，当梯子底端离墙的距离为梯子长
度的 时，它的顶端能达到5.6 m 高的墙头吗？
解：依题意，得AB＝6 m ，BC＝6× ＝2( m )．
所以AC＝ ＝ ＝ ( m )．
因为5.62＝31.36＜32，所以 ＞5.6.
所以可以达到．
答：它的顶端能达到5.6 m 高的墙头．
估算的一般步骤：(1)估计整数部分是几位数；(2)确定最高位上
的数字；(3)确定下一位上的数字；(4)依此类推，按要求精确到某一位．
无理数的大小比较
例4 比较下列各组数的大小：
(1) 与4； (2) 与 .
(1)解：因为 < ，所以 <4.
(2)解：因为 < ，即 <2，
所以 －1<1.所以 < .
4. (1)在－4，－ ，0，4这四个数中，最小的数是( D )
A . 4 B ． 0 C ． － D ． －4
(2)比较大小：4 ＋1.(填“＞”“＜”或“＝”)
D
＞
比较两个数(至少有一个为无理数)的大小时常用的结论与方法
(1)结论：①a＞b≥0 > 或a2>b2；②a＞b > 或a3＞b3；
③b＜a＜0时，b2＞a2.
(2)方法：①作差比较法；②求值比较法；③介值比较法(寻求一个
中间值)；④移因式于根号内，再比较大小；⑤利用平方法比较无理
数大小等．
确定无理数的整数部分、小数部分(拓展)
例5 若 的整数部分为a，则a的值为( C )
A . 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
C
5. 设2＋ 的整数部分和小数部分分别是x，y，则x＝ ，y＝ ．
4
－2
1． 下列整数中，与 最接近的是( C )
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
C
2． 估算 的值是在( C )
A ． 2与3之间 B ． 3与4之间
C ． 4与5之间 D ． 5与6之间
C
3． (2023·内蒙古)若a，b为两个连续整数，且a< ＝ ．
3
4． 通过估算，比较下面各组数的大小．
(1) 5； (2) .
＜
＞
5． 如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，那么a＝ －
，b＝ ．
－
2
6
6． 求 的近似值．(结果精确到0.1)
解：因为1<3<4，所以1< <2.
所以 的整数部分是1.
因为1.72＝2.89，1.82＝3.24，1.72<3<1.82，
所以1.7< <1.8.
因为1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6，1.732<3<1.742，所以1.73<
<1.74.
所以 ≈1.7.
7． 已知n为整数，且 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
C
8． 比较大小： .(填“＞”“＜”或“＝”)
＜
9． 用一张面积为900 mm2的正方形纸片，能裁出一块面积为600
mm2，长与宽的比为5∶3的长方形纸片吗？
解：设正方形纸片边长为a，长方形纸片宽为3x，长为5x.
依题意，得5x·3x＝15x2＝600，即x2＝40.
因为x＞0，所以x＝ .
所以(5x)2＝25x2＝1 000.
因为a2＝900，1 000>900，所以5x＞a.
答：裁不出，因为边长不够．
10． 【拓展题】阅读下面材料，然后回答问题：
因为 < < ，即2< <3，
所以1< －1<2.
所以 －1的整数部分为1.
所以 －1的小数部分为( －1)－1＝ －2.
(1)填空：4－ 的整数部分是 ，小数部分是 3－ ；
1
3－
(2)已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求代数式(－a)＋
(b＋4)的值．
解：因为 < < ，所以 4< <5 .
所以 的整数部分是4，小数部分是 －4.
所以 a＝4，b＝ －4 .
所以 (－a)＋(b＋4)＝－4＋( －4＋4)＝－4＋ .(共25张PPT)
第二章 实数
平方根(2)——平方根
01
新课学习
02
当堂检测
目录
目录
平方根的概念及性质
填一填．
(1)32＝9，(－3)2＝9→( ±3 )2＝9； ＝ ， ＝ →
＝ ；0．82＝0.64，( －0.8 )2＝0.64→( ±0.8 )2＝0.64；
±3
－0.8
±0.8
(2)若x2＝36，则x＝ ；若y2＝0，则y＝ ；是否存在这样的z，使
得z2＝－9？ (填“存在”或“不存在”)．即任意实数的平方都
不可能是负数．
±6
0
不存在
(1)一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x
就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．记作：± (± 中的“2”可以省
略)．读作：正、负根号a.
(2)一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有
平方根．
注意：一个正数有两个互为相反数的平方根．
例1 填空：
(1)25的平方根是 ，算术平方根是 ；
(2) 的平方根是 ± ，算术平方根是 ；
(3)5的平方根是 ± ，算术平方根是 ；
(4)－4 平方根(填“有”或“没有”)；
(5)若 ＝2，则x＝ ．
±5
5
±
±
没有
4
1. 填空：
(1)0.49的平方根是 ，算术平方根是 ；
(2)11的平方根是 ± ，算术平方根是 ；
(3)0的平方根是 ，算术平方根是 ；
(4)若2m－4与3m－1是一个数的两个不相等的平方根，则这个数
是 ．
±0.7
0.7
±
0
0
4
求平方根(开平方)
2. 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方
数．开平方与平方是互逆运算．
例2 求下列各数的平方根：
(1)64； (2) .
(1)解：因为(±8)2＝64，
所以64的平方根是±8，即± ＝±8.
(2)解：因为 ＝ ，
所以 的平方根是± ，即± ＝± .
3. 求下列各数的平方根：
(1)0.000 4； (2)(－25)2； (3)15.
(1)解：因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即±
＝±0.02.
(2)解：因为(±25)2＝(－25)2，
所以(－25)2的平方根是±25，即± ＝±25.
(3)解：15的平方根是± .
例3 求满足下列各式的未知数x：
(1)x2＝25； (2)x2－ ＝0.
(1)解：开平方，得x＝± .解得x＝5或x＝－5.
(2)解：方程化为x2＝ .开平方，得x＝± .
解得x＝ 或x＝－ .
4. 求满足下列各式的未知数x：
(1)4x2＝36； (2)(x＋1)2＝5.
(1)解：方程化为x2＝9.开平方，得x＝±3.
解得x＝3或x＝－3.
(2)开平方，得x＋1＝± .
解得x＝－1＋ 或x＝－1－ .
( )2与
例4 计算下列各式：
( )2＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ．
64
0.7
0.7
π－3.14
5. 计算下列各式：
( )2＝ ，(－ )2＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ．(x＜2)
7.2
7.2
5
5
2－x
( )2与 的性质：( )2＝ ； ＝ ＝
a
|a|
1．16的平方根是( A )
A ． ±4 B ． 4 C ． －4 D ． ±8
A
2． 如果x2＝4，那么x等于( B )
A ． 2 B ． ±2 C ． 4 D ． ±4
B
3． 下列说法错误的是( D )
A ． 1的平方根是±1 B ． －1是1的平方根
C ． 1是1的平方根 D ． －1的平方根是1
D
4． 若一个数的平方根等于它本身，则这个数是( A )
A ． 0 B ． 1 C ． 0或1 D ． 0或±1
A
5． 【北师八上 P29习题 T2改编】若一个负数的平方是361，则这个数
是 ．
－19
6． 求下列各数的平方根：
(1)121； (2)0.81； (3) .
(1)解：因为(±11)2＝121，
所以121的平方根是±11，即± ＝±11.
(2)解：因为(±0.9)2＝0.81，
所以0.81的平方根是±0.9，即± ＝±0.9.
(3)解：因为 ＝ ，
所以 的平方根是± ，即± ＝± .
7． 计算：
(1)－ ＝ － ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) + ＝ ．
－
15
π－3
8． 【北师八上 P29习题 T3变式】求满足下列各式的未知数x：
(1)16x2－49＝0； (2)(x＋1)2＝64.
(1)解：方程化为x2＝ .
开平方，得x＝± .
解得x＝ 或x＝－ .
(2)解：开平方，得x＋1＝±8.
解得x＝7或x＝－9.
9． 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则 +
＝ ．
2b＋2c
10． 【拓展题】(1)已知一个正数的两个平方根分别是x和x－6，则这
个正数等于 ；
(2)若2m－4与3m－11是一个非负数的平方根，则m的值是 ；
(3)已知2m＋2的平方根是±4，3m＋n＋1的平方根是±5，则m＋3n
的平方根为 ．
9
3或7
±4 (共22张PPT)
第二章 实数
立方根
立方根的概念及性质
1. 概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x
就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．每个数a都有一个立方根，记作
，读作“三次根号a”．
2． 性质：(同号性、唯一性)
(1)正数的立方根是正数；(2)0的立方根是0；(3)负数的立方根是负数．
例1 填空：
(1)1的立方根是 ；
(2)8的立方根是 ；
(3)0.064的立方根是 ；
(4)26的立方根是 ；
(5)－2 的立方根是 － ．
1
2
0.4
4
－
3. 填空：
(1)－1的立方根是 ；
(2)27的立方根是 ；
(3) 的立方根是 ；
(4)－103的立方根是 ；
(5) 的立方根是 ．
－1
3
－10
2
求一个数的立方根(开立方)
4. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方
数．开立方与立方是互逆运算．
例2 求下列各数的立方根：
(1)－8； (2) ； (3)－5.
(1)解：因为(－2)3＝－8，
所以－8的立方根是－2，即 ＝－2.
(2)解：因为 ＝ ，
所以 的立方根是 ，即 ＝ .
(3)解：－5的立方根是 .
5. 求下列各数的立方根：
(1)0.216； (2)－3 ； (3)16.
(1)解：因为0.63＝0.216，
所以0.216的立方根是0.6，即 ＝0.6.
(2)解：因为－3 ＝－ ， ＝－ ，
所以－ 的立方根是－ ，即 ＝－ .
(3)解：16的立方根是 .
例3 求满足下列各式的未知数x：
(1)x3－27＝0； (2)2x3＝16.
(1)解：方程化为x3＝27.
开立方，得x＝ .所以x＝3.
(2)解：方程化为x3＝8.
开立方，得x＝ .所以x＝2.
6. 求满足下列各式的未知数x：
(1)x3－3＝ ； (2)(x－1)3＝－64.
(1)解：方程化为x3＝ .
开立方，得x＝ .所以x＝ .
(2)解：开立方，得x－1＝ .
所以x＝－3.
与( )3
例4 求下列各式的值：
＝ ， ＝ ，
( )3＝ ，( )3＝ ．
2
－1
2
－64
7. 求下列各式的值：
＝ ， ＝ ，
( )3＝ ，( )3＝ ．
与( )3的性质： ＝ ；( )3＝ ．
0.5
－5
8
－0.001
a
a
1．64的立方根是 ，平方根是 ．
4
±8
2． 计算：
(1) ＝ ；(2) ＝ ；
(3)± ＝ ；(4) ＝ ．
0.1
0.2
±5
－2
3． 下列说法中正确的是( C )
A ． －16没有立方根
B ． 1的立方根是±1
C ． 的平方根是±
D ． －3的立方根是
C
4． ＝ ，－ ＝ ．
5． 求满足下列各式的未知数x：
(1)x3－64＝0； (2)(x＋1)3＝－8.
(1)解：方程化为x3＝64.
开立方，得x＝ .所以x＝4.
(2)解：开立方，得x＋1＝ .
所以x＝－3.
6． 已知大正方体的体积为216 cm3，小正方体的体积为8 cm3，将它
们叠放在一起(如图所示)，则最高点A到地面的距离是 cm .
8
7． 填空：
(1)－82的立方根是 ；
(2) 的算术平方根是 ．
－4
2
8． 【人教七下 P51探究改编】已知 ≈0.598 1，
≈1.289， ≈2.776，则 ≈( A )
A ． 27.76 B ． 12.89
C ． 59.81 D ． 5.981
A
9． 已知2a－1的平方根是±3，求7＋4a的立方根．
解：因为2a－1的平方根是±3，
所以2a－1＝9.解得a＝5.
所以7＋4a＝27， ＝3.
所以7＋4a的立方根是3.
10． 计算：－ ÷ + .
解：原式＝2÷ ＋1＝2× ＋1＝ .
11． “魔方”是一种立方体形状的益智玩具．如图，三阶魔方由三
层完全相同的小立方块组成，如果该魔方的体积为216 cm3，那么组成它
的每个小立方块的棱长为 cm .
2 (共25张PPT)
第二章 实数
二次根式的混合运算
01
知识链接
02
新课学习
目录
03
当堂检测
目录
计算：(1) + ＝ 3 ，2 - ＝ 3 ；
(2) × ＝ 2 ， ÷ ＝ 2 ；
(3)3 ×2 ＝ 18 ，3 ÷2 ＝ ；
(4)( ＋1)( －1)＝ ．
3
3
2
2
18
2
二次根式的混合运算
1. 运算顺序：先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的先
算括号里面的．整式的运算律及相关运算法则在二次根式的运算中同样
适用．
乘方
乘除
加减
例1 【北师八上 P46例6改编】计算：
(1) - ； (2) - + ；
(1)解：原式＝ - ＝ .
(2)解：原式＝2 - + ＝ .
(3)( - )× ；
解：原式＝ × - × ＝4 - ＝3 .
(4) - × .
解：原式＝ + -
＝2＋3－ ＝5－ .
2. 计算：
(1) - ；
解：原式＝ - ＝ .
(2)2 + - ；
解：原式＝2×2 + －4
＝4 + －4 ＝ .
(3)( - )÷ .
解：原式＝( - )× ＝ × - × ＝ - ＝
2－ ＝ .
例2 一题多解【北师八上 P47议一议改编】计算( - )· ，其中
a＝3，b＝2.
法1：解：把a＝3，b＝2代入式子中，得
原式＝( - )× ＝ - ＝ －2 .
法2：解：原式＝ · - · ＝ －b .
把a＝3，b＝2代入式中，原式＝ －2 .
1． 下列对于二次根式的计算正确的是( C )
A ． + ＝ B ． 2 - ＝2
C ． 2 ÷ ＝2 D ． 2 × ＝
C
2． 计算 × - 的结果是( B )
A ． 7 B ． 6 C ． 7 D ． 2
B
3． 下列运算正确的是( D )
A ． + ＝ B ． 2 ×3 ＝6
C ． x5·x6＝x30 D ． (x2)5＝x10
D
4． 计算：
(1)3 －|1－ |；
解：原式＝3 －( －1) ＝2 ＋1 .
(2) - × ＋2 ；
解：原式＝2 - ＋2
＝2 －2 ＋2 ＝2 .
(3)(5 -2 )÷(－ )．
法1：解：原式＝(5× -2×3 )÷(－ )
＝( －6 )÷(－ )＝(－5 )÷(－ )＝5.
法2：解：原式＝(5 -2 )×(- )
＝5 ×(- )－2 ×(- )
＝－1＋6＝5.
5． 计算：6 ＋|1－ |－( ＋1)÷ .
解：原式＝6× + －1－( ＋1)×
＝3 + －1－ -
＝3 + －1－3 - ＝－1.
6． 类比思想【北师八上 P48习题 T4改编】阅读下列材料，然后回答
问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ，
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：① ＝ ＝ .
② ＝ ＝ .③ ＝ ＝ ＝ －1.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请参照上面的方法计算下列
式子：
(1) - ； (2) .
解：(1)原式＝ - ＝ -
＝2 .
(2)原式＝
＝ ＝ - .
可选讲《培优专题特训》 培优专题3 实数的大小比较
可选讲《培优专题特训》 培优专题4 二次根式的化简求值
海伦——秦九韶公式
【北师八上 P51复习题 T22改编】如果一个三角形的三边长分别为a，
b，c，记p＝ ，那么这个三角形的面积为S＝
.这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的
三条边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，
称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6.
(1)△ABC的面积为 ；
(2)设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1＋h2的值．
解：因为S＝ ch1＝ bh2＝6 ，
所以 ×6h1＝ ×5h2＝6 .
解得h1＝2 ，h2＝ .所以h1＋h2＝ .
6
做长方体纸盒
【人教八下 P17数学活动2改编】数学活动课上，老师要求同学们制作
一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为16 cm2，长、宽、高的比为
4∶2∶1.
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？
解：(1)设长方形的高为x cm ，则长为4x cm ，宽为2x cm .
由题意，得4x·2x＝16.
解得x＝ 或x＝－ (舍去)．
所以4x＝4 ，2x＝2 .
答：长方形的长、宽、高分别为4 cm ，2 cm ， cm .
(2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来．
(2)如图所示．
(3)一支长为6.5 cm 的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通
过计算说明你的结论．(提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线)
(3)不能．理由如下：
在 Rt △A′B′C′中，因为A′B′＝4 cm ，B′C′＝2 cm ，
所以A′C′＝ ＝2 ( cm )．
在 Rt △A′C′C中，因为CC′＝ cm ，
所以A′C＝ ＝ ( cm )．
因为6.5＞ ，所以不能放进去．(共42张PPT)
第二章 实数
第12课 实数章末复习
无限不循环小数
两
0
没有
正数
0
负数
无理数
0
·
算术平方根、平方根、立方根
典例1 25的算术平方根是 ；9的平方根是 ；－8的立方根
是 ．
5
±3
－2
【提示】25的算术平方根是 ＝5；9的平方根是± ＝±3；－8
的立方根是 ＝－2.故填5；±3；－2.
跟踪训练
1． 下列运算正确的是( B )
A ． ＝8 B ． ＝－2
C ． ＝－2 D ． ＝3＋
B
2． 的平方根是 ．
±3
3． 若一个正数a的平方根分别是2m－1和－3m＋ ，则这个正数a
为 ．
4
4． 求满足下列各式的未知数x：
(1)(x－2)3＝8； (2)64x2－81＝0.
(1)解：开立方，得x－2＝ .所以x－2＝2.
所以x＝4.
(2)解：方程化为x2＝ .开平方，得x＝± .
所以x＝± .
实数的相关概念及分类
典例2 把下列各数分别填入相应的集合内：
| －1|， ，－ ，3.14，0， －1， ， ， .
(1)整数集合：{ …}；
(2)有理数集合：{ …}；
(3)无理数集合：{ …}．
| －1|，0
| －1|，－ ，3.14，0，
， －1， ，
【提示】根据实数的分类可求出答案．故填(1)| －1|，0；(2)|
－1|，－ ，3.14，0， ；(3) ， －1， ， .
跟踪训练
5． (2023·荆州)在实数－1， ， ，3.14中，无理数是( B )
A ． －1 B ． C ． D ． 3.14
B
6． － 的倒数是 － ； - 的相反数是 ，绝
对值是 ．
－
7． 如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴的原
点上，纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点A′的位置，则此时点A′
表示的数是 ．
－π
无理数的估算及实数的大小比较
典例3 (2023·宁夏)估计 的值应在( C )
A ． 3.5和4之间 B ． 4和4.5之间
C ． 4.5和5之间 D ． 5和5.5之间
【提示】因为4.52＝20.25，52＝25，且20.25＜23＜25，所以4.5<
<5.故选 C .
C
跟踪训练
8． (2023·舟山)下面四个数中，比1小的正无理数是( A )
A ． B ． － C ． D ．
A
9． 比较大小： .(填“>”“<”或“＝”)
＜
10． 若两个连续的整数a，b满足a＜ ＜b，则 的值为 ．
二次根式的相关概念及性质
典例4 若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是
( B )
A ． B ．
C ． D ．
B
【提示】当x＝3时，2－x＝－1＜0，原式无意义，选项 A 不符合题
意；当x＝3时，x－1＝2＞0，原式有意义，选项 B 符合题意；当x＝3时，
x－4＝－1＜0，原式无意义，选项 C 不符合题意；当x＝3时，－2x＝－6
＜0，原式无意义，选项 D 不符合题意．故选 B .
跟踪训练
11． 下列根式中，不是最简二次根式的是( C )
A ． B ． C ． D ．
C
12． 化简：5 ＝ 10 ，6 ＝ ．
10
13． 若|m＋3|＋ ＝0，则mn＝ ．
9
二次根式的运算
典例5 (2023·西宁)下列运算正确的是( C )
A ． + ＝ B ． ＝－5
C ． (3－ )2＝11－6 D ． 6÷ × ＝3
C
【提示】选项 A 中 + 无法合并，此选项不合题意；选项 B 中
＝5，此选项不合题意；选项 C 中(3－ )2＝11－6 ，此选项符
合题意；选项 D 中6÷ × ＝9，此选项不合题意．故选 C .
跟踪训练
14． (1)(2023·广东)计算： × ＝ ；
(2)(2023·天津)计算( + )( - )的结果为 ．
6
1
15． 计算： - ＋|1－ |＋ ×( －1)．
解：原式＝ －(－2)＋ －1＋2－ ＝ .
16． (济宁中考)已知a＝2＋ ，b＝2－ ，求代数式a2b＋ab2
的值．
解：因为 a＝2＋ ，b＝2－ ，
所以a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝(2＋ )(2－ )·(2＋ ＋2－ )＝(4－
5)×4＝－1×4＝－4.
17． (广州中考)已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，
试化简 + + ＋ - .
解：由数轴上点的位置可知，a＞b，0＜a＜1，b＜－1.
所以a－b＞0，b－1＜0，a－1＜0.
所以原式＝|a|＋|b|＋|a－b|＋|b－1|－|a－1|＝a－b＋a－b＋1－b－(1
－a)＝3a－3b.
忽视二次根式在分母上有意义的隐含条件
1． 使得式子 有意义的x的取值范围是( D )
A ． x≥4 B ． x＞4
C ． x≤4 D ． x＜4
D
【易错点拨】 当二次根式在分母上时，不仅要考虑到二次根式有意义
的条件：被开方数≥0，还要考虑分母不为0.
化简 时忽略对a的讨论
2． 化简二次根式 的结果为( C )
A ． 0 B ． 3.14－π
C ． π－3.14 D ． 0.1
C
【易错点拨】 化简 ＝|a|此类问题时，没有把 和( )2区别开
来．做题时应先判断a的符号，再脱去 中的根号．
运算顺序出错
3． 计算： ÷( －1)× .
解：原式＝ × ＝
＝ ＝ ＝3 ＋4.
【易错点拨】对于同一级运算，要按从左到右的顺序进行，并且计算
结果一定要化为最简二次根式．
本章教材母题精选
1． 【北师八上 P27随堂练习 T3】如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向
地面拉一根绳子AC固定帐篷. 若绳子的长度为8 m ，地面固定点C到帐篷
支撑竿底部B的距离是6.4 m ，则帐篷支撑竿的高是多少？
解：依题意，得△ABC是直角三角形．
根据勾股定理，得
AB＝ ＝ ＝4.8( m )．
答：帐篷支撑竿的高是4.8 m .
2． 【人教七下 P44练习 T2节选】比较下列各组数的大小：
(1) 与8; (2) 与1.
解：(1)因为65＞64，所以 ＞ ＝8.
(2)因为5＜9，所以 ＜3.
所以 －1＜2.所以 ＜1.
3． 【北师八上 P32习题 T5】一个正方体木块的体积为1 000 cm3, 现要
把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长是多少？
解：设小木块的棱长为x cm .
由题意，得8x3＝1 000.所以x＝5.
答：小木块的棱长为5 cm .
4． 【北师八上 P48习题 T1】计算：
(1) - ； (2) - + ；
(1)解：原式＝2 - ＝ .
(2)解：原式＝ - +
＝ - .
(3)( + )× ； (4) + - .
(3)解：原式＝ × + × ＝ + ＝ ＋2 ＝
.
(4)解：原式＝ ＋6 －2 ＝ ＋4 .
5． 【北师八上 P35习题 T6】小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8 m
高的墙头上，他请爸爸帮他取．爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放(梯子底
端离墙的距离约为梯子长度的 )，此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问
小明梯子的长度有没有5 m ？你能帮小明一起算算吗？
解：有．设梯子长x m ，则梯子底端离墙的距离为 m .
依题意，得x2＝ ＋4.82.所以x＝ .
因为 ＞5，所以梯子的长度有5 m ．
6． 【人教七下 P48习题 T9】物体自由下落的高度h (单位： m )与下落
时间t(单位： s )的关系是h＝4.9t2.如图，有一个物体从120 m 高的建筑物
上自由落下，到达地面需要多长时间？(结果取整数)
解：将h＝120代入h＝4.9t2，
得120＝4.9t2.所以t＝ ≈5.
答：物体到达地面大约需要5 s ．
