河南省部分学校2024届高三下学期2月阶段测试（六）数学试卷(含解析)

河南省部分学校2024届高三下学期2月阶段测试（六）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知i是虚数单位，则( )
A.1 B.2 C. D.
3．的展开式中的系数为( )
A.-225 B.60 C.750 D.1215
4．设n为偶数，样本数据的中位数为m，则样本数据，，，，的中位数为( )
A. B.m C. D.
5．直线与曲线相切的一个充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
6．已知，则( )
A. B. C. D.
7．已知正数m，n满足，若恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8．圆锥甲 乙 丙的母线与底面所成的角相等，设甲 乙 丙的体积分别为，，，侧面积分别为，，，高分别为，，，若，，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则( )
A. B.A，，M，N四点共面
C.平面 D.平面
10．已知函数，则( )
A.的定义域为
B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称
D.在区间上的最小值为
11．已知A是抛物线上的动点，点，，O为坐标原点，点A到的准线的距离最小值为1，则( )
A.
B.的最小值为
C.的取值范围是
D.
三、填空题
12．已知等比数列的各项均为正数，且，，则__________.
13．已知M，N分别为平行四边形的边，的中点，若点P满足，则__________.
14．已知双曲线的右焦点为F，左 右顶点分别为，，点M在C上运动（与，枃不重合），直线交直线于点N，若恒成立，则C的离心率为__________.
四、解答题
15．将一枚质地均匀的正四面体玩具（四个面分别标有数字1，2，3，4）抛掷3次，记录每次朝下的面上的数字.
（1）求3次记录的数字经适当排序后可成等差数列的概率；
（2）记3次记录的最大的数字为X，求X的分布列及数学期望.
16．如图，在四棱锥中，，，，.
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求.
17．记数列的前n项和为，，，.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）设.，数列的前n项和为，求使不等式成立的的最大值.
18．已知椭圆的左顶点和在焦点分别为Q，F，且，点
满足.
（1）求C的方程；
（2）过点D的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点T，且点T在点Q的左侧，点B关于x轴的对称点为E，直线，分别与直线交于M，N两点，求面积的最小值.
19．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若是的极小值点，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：，
故选：A.
2．答案：C
解析：
故选：C.
3．答案：D
解析：的展开式的通项公式为
令，解得，
所以的展开式中的系数为
.
故答案为：D.
4．答案：D
解析：因为，且n为偶数，
所以第一组样本数据的中位数为
，即
，则，
第二组样本数据的容量为，且为奇数，
所以第二组样本数据的中位数为
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意设，则
设直线与曲线相切的切点为，
则，所以，
所以，，，
所以，.
对比选项可知直线与曲线
相切的一个充分不必要条件为
.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为，所以，
即，所以，解得，
所以
故选：A.
7．答案：D
解析：因为，，所以
等价于，
因为，所以，
所以
即，
即
当且仅当，即时，等号成立，故，实数的崖小值为.
故选：D.
8．答案：C
解析：设圆锥甲、乙、丙的底面半径分别为，，，母线长，，，
由题意可设，即，，，
可得，，，
因为，则，整理得，又因为，
则，整理得，显然，即，
整理得
故选：C.
9．答案：AC
解析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，
对于A，，，
即有，所以，即A正确;
对于B，，，向量，不共线，
即直线，不平行，而直线平面，平面，
又平面平面，因此直线，是异面直线，所以B错误;
对于C，，，
设平面的法向量，则，即，
取，得，显然
而平面，因此平面，所以C正确;对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，所以D错误.
故选：AC.
10．答案：CD
解析：对于A，由题意当时，，此时无意义，故A错误;
对于B，，故B错误;
对于C，因为
的图象关于直线对称，故C正确;
对于D，不妨设，
若，则，
，而
所以
设，
由复合函数单调性可知y关于t单调递减，所以当且仅当，，综上所述在区间上的最小值为，故D正确.
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：对于A：当时，点A到E的准线距离最小为，解得，故A正确;
对于B：由A是拋物线上的动点，可设，
则，当时，取得最小值，最小值为，故B错误;
对于C：分别过点A，B作x轴的重线，，重足分别为H，K，
因为，，，
所以，，
，，
则
因为，
所以，
所以，
，
当时，，
则
令，则，所以，
当时，，
则
令，则，所以，
当时，，
综上所述，的取徝范围为，
故C正确;
对于D：由上可知，
，且
，所以，故正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：设等比数列的公比为，
是等比数列，
，即
或（舍去）
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，
则
所以，又，
则
所以.
故答案为：.
14．答案：2
解析：设，由题意得，，，，
直线的方程为，
直线交直线与点N，
解得，，
，
，
，
，
点M在C上运动，则，
，
，
，
，
，
，
双曲线C的离心率为.
故答案为：2.
15．答案：（1）；
（2）分布列见解析；
解析：（1）抛掷正四面体玩具3次，所有可能的结果有种，
3次记录的数字可以排成等差数列，如果3个数字相同，则不同的结果有4种，如果3个数字互不相同，则不同的结果有种，
因此所求的概率为.
（2）X的所有可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
X的数学期望.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取的中点M，连接，.
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以.
因为，所以.
又因为，，所以平面，
所以平面，所以，
即是的垂直平分线，所以，即是等腰三角形.
（2）由（1）知，因为平面平面，所以平面，从而可知，，两两垂直.
以B为坐标原点，，，所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设，由已知得，，，，
所以，，.
设为平面的法向量，
则得取，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，故.
17．答案：（1）证明见解析；；
（2）6
解析：（1）由，
得，即，
所以，变形得，
故数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）因为，
所以，
.
因为，所以，即.
设函数，.
因为，
所以单调递增.
又，所以，
所以使成立的最大正整数k的值为6.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意知，设.
因为，所以①.
因为，，，
所以，即②.
由①②解得，，，
所以C的方程为.
（2）设，，由题可设直线，则，，.
令，得，由，得.
由得，
所以，.
直线的方程为，
令，得，
直线的方程为，
令，得，
所以，
因为
，
又，所以.
设，则，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.
19．答案：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）
解析：（1）当时，，
则，
易知函数在R上单调递减，又，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意知，且.
令函数，则.
①若，则，在R上单调递减.
又，则当时，，所以，在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得极大值，不合题意.
②若，则，令，得，故在上单调递减.
又，，
所以当时，，从而，在上单调递增；
当时，，从而，在上单调递减，
所以在处取得极大值，不合题意.
③若，则，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，所以，从而，
所以在上单调递增，不合题意.
④若，则，
令，解得，故在上单调递增.
又，，
故当时，，从而，在上单调递减，
当时，，从而，在上单调递增.
所以在处取得极小值，符合题意.
综上，m的取值范围是.