黑龙江省绥化市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

绥化市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数（i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为( )
A.-1 B.1 C.-i D.i
2．设复数，则( )
A. B.5 C.1 D.
3．已知为纯虚数，则实数a的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4．已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5．已知中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，，，则( )
A. B.或
C. D.或
6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度
C.向右平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度
7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为( )
A. B. C. D.
8．如图，在长方体中，,，则四棱锥的体积是( )
A.3 B.6 C.9 D.18
二、多项选择题
9．已知复数，则( )
A.z的虚部为
B.z是纯虚数
C.z的模是
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.与的夹角为
C. D.在上的投影向量是
11．函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
12．在中，，，，则下列四个结论中正确的是( )
A.
B.若，则为锐角三角形.
C.若，则为直角三角形
D.若，则为直角三角形
三、填空题
13．已知复数，若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则k的取值范围为________.
14．已知，，则k的值为______.
15．边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为__________.
16．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为______.
四、解答题
17．已知向量，，，的夹角为.
（1）求；
（2）若存在实数t，使得与的夹角为锐角，求t的取值范围.
18．已知向量与的夹角为，，.
（1）求的值；
（2）若，求在上的投影向量的坐标.
19．已知内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，的面积为，求b，c的值.
20．（1）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.求A；
（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，求角B的大小.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，
所以，
所以共轭复数的虚部为-1，
故选：A.
2．答案：B
解析：因，
所以
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，
因为z为纯虚数，所以，则.
故选：A.
4．答案：D
解析：因为，且，所以，解得，
所以，从而
故选：D
5．答案：D
解析：由正弦定理，得，解得，
又，所以或.
故选：D
6．答案：D
解析：A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A错误；
B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误；
C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误；
D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D正确.
故选：D
7．答案：B
解析：由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为.
故选：B
8．答案：B
解析：
因为，所以长方体底面为正方形，
连结，交与点O，且，
由长方体性质，知平面，
又平面，则，
所以平面，
则.
故选：B
9．答案：AC
解析：对A：由虚部定义知z的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：对于A：，故A错误.
对于B：，因为，所以，故B正确；
对于C：，则，故C正确；
对于D：在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：对于选项A：由题意可得，故，
则，，
即，解得，
又，即，故A正确；
对于选项B：即，当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C:令，则，
当时，，
而在单调递增，故C正确；
对于选项D：将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误.
故选：ABC.
12．答案：ACD
解析：中，，，，.
，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错.
，则，则直角三角形，故C正确.
，即，，
又因为，
所以，所以，则为直角三角形，故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：依题意得：，得，
.
故答案为：
14．答案：
解析：因为，，，
所以，解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：作出直观图如图，
根据斜二测画法的原则可知，,
所以对应直观图的面积为.
故答案为：
16．答案：或
解析：正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2，
则正八面体的表面积，
而正八面体可视为两个共底面的，
侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，
正四棱锥的高，
则正八面体的体积，
于得，
所以正八面体的体积与表面积之比为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），
因为，所以；
（2）设与的夹角为，
则且，故，且与不同向共线，
，，
故，
且，
解得且，
故t的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）因为向量与的夹角为，，，
所以，
所以
（2）由投影向量公式可得：
.
19．答案：（1）
（2）2，2
解析：（1）由，
可知，，即，
即，,
即；
（2），即，
根据余弦定理，，
即，得，
由，得.
所以,
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，
由正弦定理及，
得，又，
所以，因为，
所以；
（2）由正弦定理及，
得，又，又，
所以.