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【题型专练】1.3.1 探索三角形全等的条件：“SAS”、“ASA”、“AAS”
题型一 写出全等三角形的判定依据
1．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点，；连接，，则，其全等的依据是
A． B． C． D．
【详解】解：由作图可知：，，
在和中，
，
．
故本题选：．
2．如图，已知，且，要判定最直接的方法是
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
在与中，
，
．
故本题选：．
题型二 添加适当的条件，使三角形全等
1．如图，和相交于点，若，用“”证明还需
A． B． C． D．
【详解】解：、，不能根据证两三角形全等，故本选项不合题意；
、在和中，
，
，故本选项符合题意；
、，不能根据证两三角形全等，故本选项不合题意；
、，不能根据证两三角形全等，故本选项不合题意．
故本题选：．
2．如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，
，即，
、，不能根据证两三角形全等，故本选项不合题意；
、，不能根据证两三角形全等，故本选项不合题意；
、，
，
在和中，
，
，故本选项符合题意；
、，不能根据证两三角形全等，故本选项不合题意．
故本题选：．
3．如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使．
【详解】解：，，
当添加，可根据“”判定；
当添加，可根据“”判定；
当添加或，可根据“”判定．
故本题答案为：或或或．
4．如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的两侧，，，请添加一个适当的条件 ，使得．
【详解】解：，，
，，
要使，
添加即可利用判定；
添加即可利用判定；
添加即可利用判定．
故本题答案为：或或或（答案不唯一）．
题型三 根据图中所给的条件，判断三角形是否全等
1．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【详解】解：图甲的角不是和的夹角，即图甲和不全等；
图乙符合定理，即图乙和全等；
图丙符合定理，即图丙和全等．
故本题选：．
2．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
【详解】解：由题意可得：，即①和④中的三角形全等．
故本题选：．
3．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
A． B．
C． D．
【详解】解：、根据可以推出剪下的两个三角形全等，故不合题意；
、根据可以推出剪下的两个三角形全等，故不合题意；
、如图，
且，
，
，
，
，，
，
根据可以推出剪下的两个三角形全等，故不合题意；
、如图，
由选项可得：，，
但不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故符合题意．
故本题选：．
题型四 证明两个三角形全等
1．如图，，，，证明：．
【详解】证明：，
，即，
在与中，
，
．
2．如图，、、、在一条直线上，，，．求证：．
【详解】证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
．
3．将和如图放置．已知，，，求证：．
【详解】证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
．
4．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：．
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中．
，
．
5．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：．
【详解】证明：，
，，
点是的中点，
，
在与中，
，
．
6．如图，在四边形中，已知，连接，交于点，交于点，，求证：．
【详解】证明：，
，即，
，，
，
又，
，
在和中，
，
．
题型五 全等三角形的判定与性质
1．如图，在中，，，，过点作，，分别为线段和射线上的点，且．若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为 ．
【详解】解：有两种情况：
①根据全等三角形的性质得出；
②根据全等三角形的性质得出．
故本题答案为：或．
2．如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使与全等．
【详解】解：由题意可知：，，，
①当时，
，即，解得：，
此时，符合题意；
②当时，
，即，解得：，
此时，
，
不符合题意．
故本题答案为：5．
3．如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上面点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等．
【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度是，则，，，
为的中点，，
，
，
要使与以、、三点所构成的三角形全等，必须，或，，
当，时，，，
解得：，，即点的运动速度是；
当，时，，，
解得：，，即点的运动速度是；
综上，当点的运动速度为或时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等．
故本题答案为：或．
4．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使．
【详解】解：如图，，，
，
，
，
，
如图，
当在上方时，
，，
当时，．
，
；
当在下方时，
，，
当时，，
，
；
综上，当或时，能使．
故本题答案为：或．
5．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，且点与点不重合，则的值为 ．
【详解】解：于，于，
，
，
，
，
，
①如图，当时，点在上，点在上，
此时有，，，，
当时，，解得：，不合题意，舍去；
②如图，当时，点在上，点在上，
当时，，解得：；
③如图，当时，点停在点处，点在上，
当时，，解得：；
综上，当等于6或8时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等．
故本题答案为：6或8．
6．如图，已知，，，在同一直线上，和相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
7．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请判断、有何大小、位置关系，并证明．
【详解】证明：（1），
，
，
在和中，
，
；
（2），，理由如下：
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，则．
8．如图，为的平分线，是线段上一点，，，延长与线段相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【详解】证明：（1）为的角平分线，
，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
，即，
，
，
，
，
．
9．如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，的长是偶数，则长为 ．
【详解】（1）证明：是边的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
在中，，
，
，
又，
，
的长是偶数，
．
10．如图，点、、、在一条直线上，，，交于．
（1）求证：；
（2）若．求证：．
【详解】证明：（1），
，
在与中，
，
；
（2），
，
，
，
在与中
，
，
，
．
11．如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为 ．
（1）求证：；
（2）连接，当线段经过点时，求的值．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
；
（2）如图，
由（1）知：，，
在和中，
，
，
，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，当线段经过点时，的值为或．
题型六 全等三角形的应用
1．如图所示，某三角形材料断裂成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料 （填Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ），理由是 ．
【详解】解：要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料Ⅱ，理由是两角及其夹边对应相等的三角形全等，
故本题答案为：Ⅱ，两角及其夹边对应相等的三角形全等．
2．如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是
A． B． C． D．
【详解】解：点是，的中点，
，，
在和中，
，
．
故本题选：．
3．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是
A． B． C． D．
【详解】解：在和中，
，
．
故本题选：．
4．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
【详解】证明：在和中，
，
，
．
故本题选：．
5．如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是
A． B． C． D．
【详解】解：因为证明在用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故本题选：．
6．如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为
A． B． C． D．
【详解】解：由题意可得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
两堵木墙之间的距离为．
故本题选：．
7．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是
A． B． C． D．
【详解】解：由题意可知：，，
，
．
，
在和中，
，
，
，，
、分别为和，
，
，
，
爸爸是在距离地面的地方接住小丽的．
故本题选：．
1．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
【详解】解：当点在上，点在上时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
；
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
；
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
；
综上，的值为1或或．
故本题答案为：1或或．
2．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，，
①如图1，在上，点在上时，作，，
，
，
，
当时，
则，即，解得：；
②如图2，当点与点重合时，
当时，
则，即，解得：；
③如图3，当点与重合时，，
，
当，
则，即，解得：；
综上，当秒或秒或12秒时，与全等．
故本题答案为：2或或12．
3．如图，的两条高与交于点，，．
（1）求的长；
（2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
【详解】解：（1）的两条高与交于点，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①当点在延长线上时，设时刻，、分别运动到如图位置，，
，，
当时，，
，，
，解得：；
②当点在之间时，设时刻，、分别运动到如图位置，，
，，
当时，，
，，
，解得：；
综上，或2．
4．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）当时，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，即线段与线段垂直；
（2）存在，理由如下：
①若，则，，
则，解得：；
②若，则，，
则，解得：；
综上，存在或，使得与全等．
5．【问题提出】
如图，在中，为的角平分线，点在右侧的延长线上，延长到点，使得，连接，，延长交于点，，，且满足．
（1）试说明；
【问题探究】
（2）和全等吗？请说明理由；
【问题解决】
（3）求的度数．
【详解】解：（1），，
，
，
，
；
（2），理由如下：
为的角平分线，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
；
（3），
，，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，解得：，
，
的度数为．
6．如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （用“”、“ ”、“ ”填空）；
（2）探究：与之间的关系；
（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
【详解】解：（1）如图，设、交于，
、是高，
，
，
，，
，
故本题答案为：；
（2）结论：，，
证明：、是的高，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，即，
；
综上，，；
（3）上述结论成立，理由如下：
如图，
、是的高，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
综上，，．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型专练】1.3.1 探索三角形全等的条件：“SAS”、“ASA”、“AAS”
题型一 写出全等三角形的判定依据
1．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点，；连接，，则，其全等的依据是
A． B． C． D．
2．如图，已知，且，要判定最直接的方法是
A． B． C． D．
题型二 添加适当的条件，使三角形全等
1．如图，和相交于点，若，用“”证明还需
A． B． C． D．
2．如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是
A． B． C． D．
3．如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使．
4．如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的两侧，，，请添加一个适当的条件 ，使得．
题型三 根据图中所给的条件，判断三角形是否全等
1．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
2．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
3．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
A． B．
C． D．
题型四 证明两个三角形全等
1．如图，，，，证明：．
2．如图，、、、在一条直线上，，，．求证：．
3．将和如图放置．已知，，，求证：．
4．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：．
5．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：．
6．如图，在四边形中，已知，连接，交于点，交于点，，求证：．
题型五 全等三角形的判定与性质
1．如图，在中，，，，过点作，，分别为线段和射线上的点，且．若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为 ．
2．如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使与全等．
3．如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上面点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等．
4．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使．
5．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，且点与点不重合，则的值为 ．
6．如图，已知，，，在同一直线上，和相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的度数．
7．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请判断、有何大小、位置关系，并证明．
8．如图，为的平分线，是线段上一点，，，延长与线段相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
9．如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，的长是偶数，则长为 ．
10．如图，点、、、在一条直线上，，，交于．
（1）求证：；
（2）若．求证：．
11．如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为 ．
（1）求证：；
（2）连接，当线段经过点时，求的值．
题型六 全等三角形的应用
1．如图所示，某三角形材料断裂成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料 （填Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ），理由是 ．
2．如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是
A． B． C． D．
3．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是
A． B． C． D．
4．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
5．如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，小明在池塘外取的垂线上的点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是
A． B． C． D．
6．如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为
A． B． C． D．
7．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是
A． B． C． D．
1．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
2．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等．
3．如图，的两条高与交于点，，．
（1）求的长；
（2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
4．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
5．【问题提出】
如图，在中，为的角平分线，点在右侧的延长线上，延长到点，使得，连接，，延长交于点，，，且满足．
（1）试说明；
【问题探究】
（2）和全等吗？请说明理由；
【问题解决】
（3）求的度数．
6．如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （用“”、“ ”、“ ”填空）；
（2）探究：与之间的关系；
（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
