山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学（含答案）

枣庄三中2023-2024学年度高一年级6月质量检测考试
数 学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡一并交回.
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A B.i C.0 D.1
2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A.30 B.25 C.20 D.15
3.在中，点在边AB上，.记，，则（ ）
A. B. C. D.
4.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A.两人都做对的概率是0.72
B.恰好有一人做对的概率是0.26
C.两人都做错的概率是0.15
D.至少有一人做对的概率是0.98
5.设，是两个平面，m，n，l是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菜纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）（附：）
A. B. C. D.
7.如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
A.2 B. C.4 D.
8.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，为BC边上的中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A.事件A与B是互斥事件 B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件 D.事件B与C相互独立
10.已知复数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则为实数
B.若，则
C.若，则的最大值为2
D.若，则为纯虚数
11.在棱长为1的正方体中，已知E、F分别为线段，的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当，四棱锥的外接球的表面积是
C.周长的最小值为
D.若，则点的轨迹长为
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的培训后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为__________.
13.在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则B炮台与弹着点的距离为__________公里.
14.如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若，，求；
（2）若，求（用x，y表示）；
（3）若，，求向量，的夹角的大小.
16.（本小题15分）如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离.
17.（本小题15分）某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数、平均数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
18.（本小题17分）在中、D、E为边BC上两点，且满足，，，，
（1）求证：；
（2）求证：为定值；
（3）求面积的最大值.
19.（本小题17分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，.
（1）证明：平面平面；
（2）当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面夹角的正弦值.
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D C D B C C AB AC ABD
二、填空题
12.264 13.10 14.
三、解答题
15.（1）根据题意，得到，，
所以.
（2），
.
（3），
，，
，又因为，.
16.（1）作的中点，连接DF，DB，
因为点D，F分别为，的中点，所以，且，
又由三棱柱的定义，结合点为BC的中点可知：，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）作AC的中点，连接，，，，
因为，，所以是正三角形：
又点为AC的中点，所以，
由平面平面，有平面平面，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
所以是三棱锥的高，
所以，
又因为平面，点到平面的距离即为点到平面的距离.
又，
设点到平面的距离为，则，解得.
17（1）依题意，得，解得；
因为，，
所以中位数在间，
设为，则，解得.
平均数.
（3）依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2，
按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，
依次分别记为，，，，，
对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，
设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个，
所以.
18（1）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，
所以.
（2）由，，，，
所以，
，
两式相乘得，所以.
（3）设，则，由，
法一：在中，，
则，
，
由，得，
当时，面积的最大值为27.
法二：由海伦公式
，
由，得，
当时，面积的最大值为27，
19.（1）在中，由余弦定理得，
所以，则，，即，
因为，，，所以，
所以，即，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如图，取PA中点，连接BE，DE，
因为，，则，，
所以为二面角的平面角，
且由（1）知，平面平面，
所以，.
在中，，中垂线，
所以由勾股定理可得，，，所以，
又，，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
过作于点，因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以直线BD与平面夹角即为.
中，，，
所以直线BD与平面夹角的正弦值为.