11.1 平面内点的坐标讲义 2023—2024学年沪科版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 11.1 平面内点的坐标讲义 2023—2024学年沪科版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 319.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-22 13:25:46 | ||
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文档简介
11.1 平面内点的坐标
本节课知识框架：
知识点1：平面直角坐标系与点的坐标
知识点2：平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
知识点3：特殊位置的点的坐标特征
本节课重难点：
重点：平面直角坐标系与点的坐标、平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
难点：特殊位置的点的坐标特征
本节课学习目标：
理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系
在给定的平面直角坐标系中,能够根点的坐标描出点的位置
了解坐标平面内各象限内的点、坐标上的点的坐标特征，能由点的位置写出点的坐标，并能通过建立适当的平直角坐标系解决简单的实际问题
理解平面内的点与有序实数对的一-时应关系
能根据点的坐标确定点到坐标轴的距离;能根据点到坐标轴的距离确定点的坐标
知识点1：平面直角坐标系
知识点讲解
坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标 .
2.平面直角坐标系
(1)定义： 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 .
(2)相关概念： 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 O 为原点 . 如图 11.1-1.
例题1：图 11.1－2 所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
知识点讲解
点的坐标
1.定义：若平面直角坐标系中有一点 A，过点 A 作 横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为 a，过点 A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为 b，则有序实数对叫做点 A 的坐标，其中 a 叫横坐标， b 叫纵坐标 .
2.平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系
(1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应 ；
(2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应 .
例题2：如图 11.1－3，写出点A， B， C，D， E， F， G， O 的坐标 .
例题3：在平面直角坐标系中，点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，若过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的负半轴上和 y 轴的正半轴上，则点 P 的坐标为( )
A. ( 2， － 3 ) B. (－ 2 ，3) C. (3，－ 2 ) D. (－ 3，2 )
牛刀小试：
第一题：画一条水平数轴，以原点 O 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点 O 按逆时针方向依次画出与正半轴所成的角度分别为30°，60°，90°，120°，…，330°的射线，如图，我们可以将点 A ， B ， C 的位置分别表示为 A (6，60°)， B (5，180°)， C (4，330°)，则点 D 的位置可以表示为 .
第二题： 下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
知识点2：平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
知识点讲解
1.象限的划分
如图 11.1－5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限 .
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
象限内的点 点 M 在第一象限 M(正，正)
点 M 在第二象限 M(负，正)
点 M 在第三象限 M(负，负)
点 M 在第四象限 M(正，负)
坐标轴上的点 点 M 在 x 轴上 在 x 轴正半轴上： M(正，0)
在 x 轴负半轴上： M(负，0)
点 M 在 y 轴上 在 y 轴正半轴上： M(0，正)
在 y 轴负半轴上： M(0，负)
例题4： 已知点 P 的坐标为( a+3， b－1) .
(1)若点 P 在 x 轴上，则 b=_______；
(2)若点 P 在 y 轴上，则 a=_______；
(3)若点 P 在第三象限，则 a 的取值范围为_________， b 的取值范围为_________.
(4)若点 P 在第四象限，则 a 的取值范围为 _______，b 的取值范围为 _________.
牛刀小试：
第一题：在平面直角坐标系中，点 P (－3，－2)所在象限是第 象限.
第二题：已知 a 为正整数，点 P (4，2－ a )在第一象限中，则 a＝ .
第三题： 在平面直角坐标系中，点 P ( x ， y )在第二象限，且点 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为3，7，则点 P 的坐标为 .
知识点3：特殊位置的点的坐标特征
知识点讲解
1. 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
(1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；
(2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 .
2.平行于x 轴、 y 轴的直线上的点的坐标特征
如图 11.1－6，直线 l1 ∥ x 轴，直线 l2 ∥ y 轴，因为由 l1 上的任意一点向 y 轴作垂线，垂足都是同一个点 M(不与原点重合)，所以 l1 上所有点的纵坐标都相等且不为 0；因为由 l2 上的任意一点向 x 轴作垂线，垂足都是同一个点 N (不与原点重合) ，所以 l2 上所有点的横坐标都相等且不为 0 .
3. 若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值 .
例题5：已知平面直角坐标系内的不同两点 A ( 3， a － 1 ) ，B ( b+1， － 2 ) .
(1)若点 A 在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值；
(2) 若点 B 在第二、四象限的角平分线上，求 b 的值；
(3)若直线 AB 平行于 x 轴，求 a， b 的值或取值范围；
(4)若直线 AB 平行于 y 轴，且 AB=5，求 a， b 的值 .
例题6：如图 11.1-7，长方形 ABCD 的长 AB=5，宽 BC=3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点 A， B， C，D 的坐标 .
方法总结：
牛刀小试：
第一题：如图是一片枫叶标本，裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” A ， B 两点的坐标分别为(－2，2)，(－3，0)，则叶杆“底部”点 C 的坐标为 .
第二题：如图所示， A (5，0)， AB ＝7，以点 A 为圆心， AB 长为半径画弧交 x 轴负半轴于点 C ，则点 C 的坐标为( )
A. (7，0) B. (2，0) C. (－2，0) D. (－7，0)
第三题：如图，四边形 PAOB 为长方形，点 P (1－2 a ，4 a －1)在第四象限，长方形的周长为16，则 a 的值为( )
-1 B. 1 C. 5 D.3
课后作业
第一题：如果点 P ( m ＋3， m －1)在平面直角坐标系的坐标轴上，那么点 P 的坐标为 .
第二题：在平面直角坐标系中，已知点 M (2 a －1， a －5).
(1)若点 M 在 x 轴上，则点 M 的坐标为 ；
(2)若点 M 到 x 轴、 y 轴的距离相等，求点 M 的坐标.
第三题：如图是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图.以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是(－2，7)，则龙洞堡机场的坐标是 .
第四题：如图是某游乐城的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，写出各景点及入口的坐标.
第五题： 某校新校区分布图的一部分如图所示，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若 A 教学楼的坐标为(1，2)， B 图书馆的坐标为(－2，－1).根据以上信息，解答下列问题：
(1)在图中找到平面直角坐标系的原点，并建立平面直角坐标系；
(2)若 C 体育馆的坐标为(1，－3)， D 食堂的坐标为(2，0)，请在图中标出 C 体育馆和 D 食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形 ABCD ，求四边形 ABCD 的面积.
第六题：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD ＝4，BC ＝6，AB ＝3.
(1)请建立恰当的平面直角坐标系，并写出四个顶点的坐标；
(2)若要使点 A 的坐标为(－3，3)，该如何建立平面直角坐标系？
第七题：如图，已知点 A (－2，3)， B (4，3)， C (－1，－3).
求 A ， B 两点之间的距离；
求点 C 到 x 轴的距离；
求三角形 ABC 的面积；
(4)若点 P 在 y 轴上，三角形 ABP 的面积为6，求点 P 的坐标.
第八题：
第九题：在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 O 出发，依次按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图.
(1)填写下列各点的坐标：
A1( ， )， A3( ， )， A12( ， ) .
(2)写出点 A4 n 的坐标( n 是正整数).
(3)指出这只蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向.
本节课知识框架：
知识点1：平面直角坐标系与点的坐标
知识点2：平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
知识点3：特殊位置的点的坐标特征
本节课重难点：
重点：平面直角坐标系与点的坐标、平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
难点：特殊位置的点的坐标特征
本节课学习目标：
理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系
在给定的平面直角坐标系中,能够根点的坐标描出点的位置
了解坐标平面内各象限内的点、坐标上的点的坐标特征，能由点的位置写出点的坐标，并能通过建立适当的平直角坐标系解决简单的实际问题
理解平面内的点与有序实数对的一-时应关系
能根据点的坐标确定点到坐标轴的距离;能根据点到坐标轴的距离确定点的坐标
知识点1：平面直角坐标系
知识点讲解
坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标 .
2.平面直角坐标系
(1)定义： 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 .
(2)相关概念： 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 O 为原点 . 如图 11.1-1.
例题1：图 11.1－2 所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
知识点讲解
点的坐标
1.定义：若平面直角坐标系中有一点 A，过点 A 作 横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为 a，过点 A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为 b，则有序实数对叫做点 A 的坐标，其中 a 叫横坐标， b 叫纵坐标 .
2.平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系
(1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应 ；
(2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应 .
例题2：如图 11.1－3，写出点A， B， C，D， E， F， G， O 的坐标 .
例题3：在平面直角坐标系中，点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，若过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的负半轴上和 y 轴的正半轴上，则点 P 的坐标为( )
A. ( 2， － 3 ) B. (－ 2 ，3) C. (3，－ 2 ) D. (－ 3，2 )
牛刀小试：
第一题：画一条水平数轴，以原点 O 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点 O 按逆时针方向依次画出与正半轴所成的角度分别为30°，60°，90°，120°，…，330°的射线，如图，我们可以将点 A ， B ， C 的位置分别表示为 A (6，60°)， B (5，180°)， C (4，330°)，则点 D 的位置可以表示为 .
第二题： 下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
知识点2：平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
知识点讲解
1.象限的划分
如图 11.1－5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限 .
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
象限内的点 点 M 在第一象限 M(正，正)
点 M 在第二象限 M(负，正)
点 M 在第三象限 M(负，负)
点 M 在第四象限 M(正，负)
坐标轴上的点 点 M 在 x 轴上 在 x 轴正半轴上： M(正，0)
在 x 轴负半轴上： M(负，0)
点 M 在 y 轴上 在 y 轴正半轴上： M(0，正)
在 y 轴负半轴上： M(0，负)
例题4： 已知点 P 的坐标为( a+3， b－1) .
(1)若点 P 在 x 轴上，则 b=_______；
(2)若点 P 在 y 轴上，则 a=_______；
(3)若点 P 在第三象限，则 a 的取值范围为_________， b 的取值范围为_________.
(4)若点 P 在第四象限，则 a 的取值范围为 _______，b 的取值范围为 _________.
牛刀小试：
第一题：在平面直角坐标系中，点 P (－3，－2)所在象限是第 象限.
第二题：已知 a 为正整数，点 P (4，2－ a )在第一象限中，则 a＝ .
第三题： 在平面直角坐标系中，点 P ( x ， y )在第二象限，且点 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为3，7，则点 P 的坐标为 .
知识点3：特殊位置的点的坐标特征
知识点讲解
1. 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
(1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；
(2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 .
2.平行于x 轴、 y 轴的直线上的点的坐标特征
如图 11.1－6，直线 l1 ∥ x 轴，直线 l2 ∥ y 轴，因为由 l1 上的任意一点向 y 轴作垂线，垂足都是同一个点 M(不与原点重合)，所以 l1 上所有点的纵坐标都相等且不为 0；因为由 l2 上的任意一点向 x 轴作垂线，垂足都是同一个点 N (不与原点重合) ，所以 l2 上所有点的横坐标都相等且不为 0 .
3. 若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值 .
例题5：已知平面直角坐标系内的不同两点 A ( 3， a － 1 ) ，B ( b+1， － 2 ) .
(1)若点 A 在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值；
(2) 若点 B 在第二、四象限的角平分线上，求 b 的值；
(3)若直线 AB 平行于 x 轴，求 a， b 的值或取值范围；
(4)若直线 AB 平行于 y 轴，且 AB=5，求 a， b 的值 .
例题6：如图 11.1-7，长方形 ABCD 的长 AB=5，宽 BC=3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点 A， B， C，D 的坐标 .
方法总结：
牛刀小试：
第一题：如图是一片枫叶标本，裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” A ， B 两点的坐标分别为(－2，2)，(－3，0)，则叶杆“底部”点 C 的坐标为 .
第二题：如图所示， A (5，0)， AB ＝7，以点 A 为圆心， AB 长为半径画弧交 x 轴负半轴于点 C ，则点 C 的坐标为( )
A. (7，0) B. (2，0) C. (－2，0) D. (－7，0)
第三题：如图，四边形 PAOB 为长方形，点 P (1－2 a ，4 a －1)在第四象限，长方形的周长为16，则 a 的值为( )
-1 B. 1 C. 5 D.3
课后作业
第一题：如果点 P ( m ＋3， m －1)在平面直角坐标系的坐标轴上，那么点 P 的坐标为 .
第二题：在平面直角坐标系中，已知点 M (2 a －1， a －5).
(1)若点 M 在 x 轴上，则点 M 的坐标为 ；
(2)若点 M 到 x 轴、 y 轴的距离相等，求点 M 的坐标.
第三题：如图是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图.以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是(－2，7)，则龙洞堡机场的坐标是 .
第四题：如图是某游乐城的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，写出各景点及入口的坐标.
第五题： 某校新校区分布图的一部分如图所示，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若 A 教学楼的坐标为(1，2)， B 图书馆的坐标为(－2，－1).根据以上信息，解答下列问题：
(1)在图中找到平面直角坐标系的原点，并建立平面直角坐标系；
(2)若 C 体育馆的坐标为(1，－3)， D 食堂的坐标为(2，0)，请在图中标出 C 体育馆和 D 食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形 ABCD ，求四边形 ABCD 的面积.
第六题：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD ＝4，BC ＝6，AB ＝3.
(1)请建立恰当的平面直角坐标系，并写出四个顶点的坐标；
(2)若要使点 A 的坐标为(－3，3)，该如何建立平面直角坐标系？
第七题：如图，已知点 A (－2，3)， B (4，3)， C (－1，－3).
求 A ， B 两点之间的距离；
求点 C 到 x 轴的距离；
求三角形 ABC 的面积；
(4)若点 P 在 y 轴上，三角形 ABP 的面积为6，求点 P 的坐标.
第八题：
第九题：在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点 O 出发，依次按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图.
(1)填写下列各点的坐标：
A1( ， )， A3( ， )， A12( ， ) .
(2)写出点 A4 n 的坐标( n 是正整数).
(3)指出这只蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向.