【沪科版九上同步练习】 21.4 二次函数的应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
【沪科版九上同步练习】
21.4二次函数的应用
一、单选题
1．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论：
①值为；
②小球的飞行高度最高可达到；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （　　）
A． B． C． D．
3．某广场有一喷水池，水从地面喷出.如图所示，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线(单位：)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）。
A． B． C． D．
4．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，当最大时，点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
二、填空题
6．二次函数是刻画现实生活中某些情境的数学模型．在用二次函数求最值时，要注意实际问题中　 　的取值范围．
7．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是　 　．
8．若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为　 　（x＞0）．
9．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为　 　．
10．某校九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天(1≤x≤40，且x为正整数)的售价与销量的相关信息如下表：
时间(天) 1≤x≤40
售价(元/件) x+35
每天销量(件) 150-2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为w元．则w与x的函数表达式为　 　。
11．在抛物线上，过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为　 　．
三、计算题
12．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
13．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
四、解答题
14． 如图，在中，．点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为．
（1）试写出的面积与之间的函数表达式；
（2）当t为何值时，的面积最大 最大面积是多少
15．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价元满足一次函数关系．
（1）请直接写出与的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
16．如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
五、综合题
17．如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
（1）若两点的距离为时，求的值？
（2）当为何值时，的面积最大？并求出最大面积．
18．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱． 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？
19．某厂按用户的月需求量x (件)完成一种产品的生产，其中x＞0．每件的售价为18万元，每件的成本为y (万元)，y与x的关系式为 （a，b为常数）．经市场调研发现，月需求量x与月份n (n为整数，1≤n≤12)的关系式为x=n2－13n+72，且得到了下表中的数据．
月份n(月) 1 2
成本y(万元/件) 11 12
（1）请直接写出a，b的值；
（2）设第n个月的利润为w（万元），请求出W与n的函数关系式，并求出这一年的12个月中，哪个月份的利润为84万元？
（3）在这一年的前8个月中，哪个月的利润最大？最大利润是多少？
六、实践探究题
20．某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段AB，OC，抛物线DCE（实线部分），线段DF，线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）．图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段AB，OC，抛物线FCG（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中，OC＝50mm，记为C（0，50），D（﹣25，75），E（25，75），F（﹣25，150），G（25，150）．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线DCE和抛物线FCG的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留π）
（3）当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差450πmm2，求杯中液体最深度为多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
2．【答案】C
【知识点】函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
3．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
4．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
5．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
6．【答案】自变量
【知识点】二次函数的其他应用
7．【答案】y=10（x+1）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
8．【答案】y＝x2
【知识点】二次函数的其他应用
9．【答案】0＜a≤5
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
10．【答案】W=-2x2+140x+750
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
11．【答案】4
【知识点】二次函数-动态几何问题
12．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝
（2）石块不能飞越城墙
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
13．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
14．【答案】（1）解：由题意得：，
＝；
即；
（2）解：∵，
∴当时，的面积最大，最大值是
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
15．【答案】（1）解：根据题意设y=kx+b，
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，
则，
解得：，
则y与x的函数关系式为；
（2）解：定价为x元，每千克利润(x-4)元，
由(1)知销售量为，
则，
解得：舍，，
超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）解：设利润为W元，
根据题意可得：，
即，
，对称轴为，
当时，W随x的增大而增大，
又，
时，元
当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
16．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4
（2）解：如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
17．【答案】（1）或2
（2）当为时，的面积最大，最大面积为
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题
18．【答案】（1）解：设每件玩具的售价为x元，每月的销售量为y件，由题意得：，
即y与x的函数关系式为：；
（2）解：设该商店每月获得的利润为w元，由题意得：，
∴当售价为70元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元，80－70＝10（元），答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；
（3）解：由题意得：，
当时，解得：x＝74或66，
∵－5＜0，
∴二次函数的图象开口向下，
∴当时，，
∵要让消费者得到最大的实惠，
∴x＝66，
答：吉祥物玩具的销售单价应定为66元一件．
【知识点】列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
19．【答案】（1）解：当n=1时，x= n2－13n+72=1-13+72=60，即x=60，y=11，
当n=2时，x= n2－13n+72=4-26+72=50，即x=50，y=12，
把x=60，y=11和x=50，y=12分别代入 ，得
，解得： ，
所以a＝6，b＝300
（2）解：w＝x（18－y）＝x（18－ ）=12x-300 ＝12（n2－13n+72）－300＝12n2－156n+564，
由w＝84，得12n2－156n+564＝84，
解得，n 1＝5，n 2＝8，
∴5月份和8月份的利润均为84万元
（3）解：由（2）可知，w＝12（n －6.5）2+57 ，
∵12＞0，
∴当1≤n≤6时，w随n的增大而减小，当n＝1时，w最大为420，
当7≤n≤8时，w随n的增大而增大，当n＝8时，w最大为84，
∵420＞84，
∴在这一年的前8个月中，1月的利润最大，最大利润是420万元
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
20．【答案】（1）∵C点为抛物线DCE和抛物线FCG的顶点，对称轴为y轴，
∴设抛物线DCE的解析式为：y＝a1x2+50，抛物线FCG的解析式为：y＝a2x2+50，
∵点D（﹣25，75）在抛物线DCE上，点F（ 25，150）在抛物线FCG上，
∴75＝（﹣25）2a1+50，150＝252a2+50，
∴a1＝，a2＝，
∴抛物线DCE：y＝x2+50；抛物线FCG：y＝x2+50；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为R，r，
在抛物线FCG中：当y＝50+30＝80时，x2+50＝80，
∴x2＝＝＝r2，
∵30﹣（75﹣50）＝5＞0，
则R＝25，
∴πR2﹣πr2＝（252﹣）π＝437.5π（mm2）；
（3）解：当50＜y＜75时，由抛物线解析式可得：R2＝25（y﹣50），r2＝（y﹣50 ），
∴πR2﹣πr2＝450π，
即25（y﹣50）﹣（y﹣50）＝450，
解得y＝74；
则最深度为74﹣50＝24（mm）；
当y＞75时，由图象可得：R2＝252，r2＝（y﹣50 ），
可列方程：πR2﹣πr2＝450π，
则252﹣（y﹣50）＝450，
解得y＝78；
则最深度为78﹣50＝28（mm）．
综上：杯中液体最深度为24mm或28mm．
【知识点】二次函数的其他应用
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)