第一章 勾股定理 学情评估卷（含答案）北师大版数学八年级上册

第一章　学情评估卷
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是 　　(　　)
A.3，5，7 B.5，7，9 C.3，5，4 D.2，2，3
2．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2＋AC2＋BC2的值为 　　(　　)
A.15 B.25 C.50 D.无法计算
3．如图，阴影长方形的面积是 　　(　　)
(第3题)
A.9 cm2 B.24 cm2 C.45 cm2 D.51 cm2
4．[新考法 分类讨论法]已知直角三角形的两条边长分别为3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为 　　(　　)
A.16 B.256 C.34 D.16或34
5．[新考向 数学文化]《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 　　(　　)
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2
C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距(　　)
(第6题)
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
7．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－5)2＋(b－12)2＋｜c－13｜＝0，则△ABC的面积是 　　(　　)
A.65 B.60 C.30 D.26
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形.若S1＋S4＝100，S3＝36，则S2＝(　　)
(第8题)
A.136 B.64 C.50 D.81
二、填空题(每小题3分，共15分)
9．[2024·太原阶段练习新视角·结论开放]请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　　　　.
10．三角形三条边长分别为8，15，17，那么最短边上的高是　　　　.
11．[新考法 折叠法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为　　　　.
(第11题)
12．一个透明的圆柱形玻璃杯，测得其底面半径为3 cm，高为8 cm，今有一根长度为12 cm的细吸管斜放在杯子中，则吸管露出杯口外的长度最少为　　　　.(玻璃杯厚度不计)
13．[2024·雅安期末新视角·新定义题]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AB＝5，CD＝4，则AD2＋BC2＝　　　　.
(第13题)
三、解答题(共61分)
14．(6分)[2024盐城亭湖区月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，求边BC的长.
15．(6分)[2024西安铁一中期末]如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，AB⊥l于点B，DC⊥l于点C，AB＝8千米，BC＝16千米，CD＝12千米.现需要在BC上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离.
16．(8分)[2024泉州安溪期末]如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB＝10，AD＝8，BD＝6，AC＝17.
(1)求∠ADB的度数；
(2)求△ABC的面积.
17．(10分)[情景题 生活应用]如图，A，B，C，D，E是某地区五个县(市)，实线是原来连接五个县(市)的普通公路.为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接A，C，E三县(市)的高速公路(虚线)，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝30 km，BC＝40 km，CD＝50 km，DE＝120 km.
(1)若修建高速公路的建设成本为5 000万元/km，则该高速公路的造价预计多少万元(用科学记数法表示)？
(2)在高速公路奠基仪式上，发言人说“高速公路修成后，开车从A地到E地可以节约2 h”.若汽车走普通公路的平均速度为60 km/h，走高速公路的平均速度为90 km/h，请你通过计算判断发言人的说法是否正确.
18．(10分)勾股定理神秘而美妙，探索方法多样、巧妙，各有不同，其中的面积法给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个完全一样的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用面积法来说明勾股定理.下面是小聪利用图①说明勾股定理的过程：
如图①，其中∠DAB＝90°，试说明a2＋b2＝c2.
解：如图①，连接CD，DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.
因为S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
所以b2＋ab＝c2＋a(b－a).
所以a2＋b2＝c2.
请参照上述方法，利用图②(∠DAB＝90°)说明勾股定理.
19．(10分)(1)如图①，圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(2)如图②，是一个无盖的圆柱形罐头盒，盒高6 cm，盒底周长为18 cm，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程.
20．(11分)阅读理解：课堂上学习了勾股定理后，知道了“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，　　　　，　　　　；
(2)若第一个数用字母a(a为奇数，且a≥3)表示，则后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝，12＝，24＝，…，于是他很快表示出了第二个数为，则用含a的代数式表示第三个数为　　　　；
(3)用所学知识说明(2)中用a表示的三个数是勾股数.
参考答案
一、1．C　2．C　3．B　4．D　5．D　6．D　7．C　8．B
二、9．6和10(答案不唯一)　10．15
11．　12．2 cm　13．41
三、14．解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，
所以BD＝CD，CD＝＝5.
所以BC＝2CD＝10.
15．解：设BE＝x千米，则CE＝(16－x)千米.
因为AB⊥l，DC⊥l，
所以EA2＝AB2＋BE2，ED2＝CD2＋CE2.
因为E到A，D两个村庄距离相等，
所以EA＝ED，
所以EA2＝ED2，
所以AB2＋BE2＝CD2＋CE2，
即82＋x2＝122＋(16－x)2，
解得x＝10.5，则此时E到B的距离为10.5千米.
16．解：(1)因为BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，
所以△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.
(2)在Rt△ACD中，CD＝＝15，
所以BC＝BD＋CD＝21.
所以S△ABC＝BC·AD＝84.
17．解：(1)由勾股定理，得AC＝＝50 km，CE＝＝130 km，
所以该高速公路的造价预计(50＋130)×5 000＝9×105(万元).
(2)因为AB＋BC＋CD＋DE＝30＋40＋50＋120＝240(km)，AC＋CE＝50＋130＝180(km)，
所以汽车走普通公路从A地到E地需＝4(h)，走高速公路需＝2(h).因为4－2＝2(h)，
所以发言人的说法正确.
18．解：连接BD，BE，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.因为S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，
所以ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a).
所以a2＋b2＝c2.
19．解：(1)如图①，圆柱的侧面展开图为长方形ACDE，连接AB，
所以∠AEB＝90°.由题意可知，BE＝DE＝9 cm，AE＝12 cm，
所以在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝225＝152，
所以AB＝15 cm.
即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.
(2)其侧面展开图的一半如图②.因为盒高6 cm，盒底周长为18 cm，
所以AB＝9 cm.
易得蚂蚁爬行的路程是AC＋BC，且当C为ED的中点时AC＋BC最小，
所以AC＝BC＝＝(cm).
所以蚂蚁爬行的最短路程是×2＝15(cm).
20．解：(1)60；61　(2)
(3)因为a2＋＝，
＝，
所以a2＋＝.
又因为a为奇数，且a≥3，
所以a，，是勾股数.