第十五章轴对称图形与等腰三角形单元测试（含解析） 沪科版八年级数学上册

沪科版八上轴对称图形与等腰三角形单元测试
（共26题，共120分）
一、选择题（共10题，共30分）
（3分）点 关于 轴对称点的坐标为
A． B．
C． D．
（3分）到 三个顶点距离相等的点是 的
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
（3分）如图，在等边 中，高 ， 相交于点 ，连接 ，则 的度数是
A． B． C． D．
（3分）如图， 中，，， 平分 ， 于 ，则下列结论：
① 平分 ；
② ；
③ 平分 ；
④ ，
其中正确的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
（3分）如图， 平分 ，，，垂足分别为 ，．下列结论中不一定成立的是
A． B． 平分
C． D． 垂直平分
（3分）如图，在 中，，， 边上的高 ， 是 上的一个动点， 是边 的中点，则 的最小值是
A． B． C． D．
（3分）如图，， 分别是 的中线和角平分线．若 ，，则 的度数是
A． B． C． D．
（3分）如图，， 是 的中点， 平分 ，且 ，则
A． B． C． D．
（3分）如图所示， 是 的角平分线，，垂足为 ，， 和 的面积分别为 ，，则 的面积为
A． B． C． D．
（3分）一个等腰三角形一个内角是另一个内角的 倍，则这个三角形底角为
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
二、填空题（共8题，共24分）
（3分）点 关于 轴的对称点 的坐标为 ．
（3分）如图，在 中，，， 的垂直平分线 交 于点 ，则 ．
（3分）若等腰 的两条边长为 和 ，则它的底边为 ．
（3分）如图，在 中，， 平分 ，，，那么点 到线段 的距离是 ．
（3分）如图，， 平分 ， 于 ， 交 于 ，若 ，则 ．
（3分）如图，在 中，， 的垂直平分线 交 于 点．若 平分 ，则 ．
（3分）如图，已知： 中，，， 平分 交 于 ，，则 点到 的距离是 ．
（3分）等腰三角形的底角为 ，腰长为 ，则此三角形的面积为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
（8分）如图，在 中，，， 平分 ， 垂足为 ，若 ，求 的周长．
（8分）如图，在 中，已知 ，， 是 边上的中线，，， 与 ， 分别相交于点 ，，连接 ，说明 的理由．
（8分）已知：如图所示，在 中，， 是 上一点，且 ，．求 的度数．
（8分）如图， 在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．
(1) 请在图中画出与 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标．
(2) 请在图中的 轴上画出一点 ，使得 的周长最短．
（8分）如图， 的三个顶点都在网格的交点处．
(1) 画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的对称点 的坐标；
(2) 若 内一点 与 内的点 是对称点，请写出点 的坐标．
（8分）如图： 中，， 为 边的中点，．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的面积．
（8分）如图，在四边形 中，， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，点 在边 上，且 ．
(1) 求证：．
(2) 连接 ，判断 与 的位置关系并说明理由．
（10分）如图 ，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 轴交于点 ，且经过点 ，已知点 ．
(1) 求直线 的函数解析式．
(2) 在线段 上找一点 ，使得 与 的面积相等，求出点 的坐标．
(3) 轴上有一动点 ，直线 上有一动点 ，若 是以线段 为斜边的等腰直角三角形，求出点 的坐标．
(4) 如图 ， 为线段 上一点，连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位运动到点 再沿线段 以每秒 个单位运动到 后停止，设点 在整个运动过程中所用时间为 ，求 的最小值．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】A
【解析】 关于 轴的对称点为 ，
点 关于 轴的对称点为 ．
故选A．
【知识点】坐标平面内图形轴对称变换
2. 【答案】D
【知识点】垂直平分线的性质
3. 【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
4. 【答案】C
【解析】 平分 ，
，且 ，，
．
，，，
平分 ，，
①④正确；
，，
，且 ，
，
，，
②正确，③错误．
【知识点】角平分线的性质
5. 【答案】D
【解析】 平分 ，，，
，故A选项正确；
在 和 中，
（），
，，故B，C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质， 垂直平分 ， 不一定垂直平分 ，故D选项错误．
【知识点】角平分线的性质
6. 【答案】D
【解析】连接 ，
等边 中， 是 边上的中线，
是 边上的高线，即 垂直平分 ，
，
当 ，， 三点共线时，，
等边 中， 是 边的中点，
，
的最小值为 ．
【知识点】轴对称之最短路径、等边三角形的性质
7. 【答案】B
【解析】 是 的中线，，，
，．
是 的角平分线，
．
【知识点】等腰三角形的性质、三角形的高，角平分线，中线、三角形的内角和
8. 【答案】B
【解析】作 于 ．
，
，
，
平分 ，，，
，
是 的中点，
，
，又 ，，
．
【知识点】角平分线的判定、角平分线的性质
9. 【答案】B
【解析】作 交 于 ，作 ．
是 的角平分线，，
，
在 和 中，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
在 和 中，
，
，
和 的面积分别为 和 ，
，
．
【知识点】斜边、直角边、角平分线的性质
10. 【答案】A
【解析】①设三角形底角为 ，顶角为 ，
则 ，
解得：，
②设三角形底角为 ，顶角为 ，
则 ，
解得：，
，综上所述，这个三角形底角为 或 ，
【知识点】三角形的内角和、等腰三角形的性质
二、填空题（共8题，共24分）
11. 【答案】
【解析】点 关于 轴的对称点 的坐标为 ．
【知识点】坐标平面内图形轴对称变换
12. 【答案】
【解析】 是 的垂直平分线，
，
，，
，
．
【知识点】垂直平分线的性质
13. 【答案】
【知识点】等腰三角形的概念
14. 【答案】
【知识点】角平分线的性质
15. 【答案】
【解析】如图，
过点 作 于 ，
， 平分 ，
．
，
，
，
又 ，
，
， 于 ， 于 ，
，
故答案为 ．
【知识点】30度所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的性质
16. 【答案】
【解析】 ，
，
的垂直平分线 交 于 点．
，
平分 ，
，
，
设 为 ，
可得：，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质、三角形的内角和、垂直平分线的性质
17. 【答案】
【解析】 ，，
．
平分 交 于 ，
点到 的距离是 ．
故答案为：．
【知识点】角平分线的性质
18. 【答案】
【解析】如图，
，
，
，
三角形的面积 ．
【知识点】等腰三角形的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半
三、解答题（共8题，共66分）
19. 【答案】
【知识点】全等三角形的性质与判定、角平分线的性质
20. 【答案】在 和 中，
．
（全等三角形的对应角相等），
（全等三角形的对应边相等）．
（已知），
．
，，
．
（两直线平行，内错角相等）．
又 ，故 （等边对等角）．
（等量代换）．
在 和 中，
．
（全等三角形的对应角相等）．
（等量代换）．
【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质
21. 【答案】 ，，
（等边对等角）．
．
，
．
【知识点】等腰三角形的性质
22. 【答案】
(1) ，如图所示．
(2) 如图，点 即为所求．
【知识点】轴对称之最短路径、坐标平面内图形轴对称变换
23. 【答案】
(1) 如图即为 关于 轴对称的 ，
点 的对称点 的坐标为 ．
(2) 内一点 与 内的点 是对称点，
点 的坐标为 ．
【知识点】坐标平面内图形轴对称变换
24. 【答案】
(1) ， 为 边的中点，
，，
，
，
，
，
即 ．
(2) ，，
，
为 边的中点，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质
25. 【答案】
(1) ，
，
为 中点，
，
在 与 中，
．
(2) ，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】角角边、等腰三角形的判定
26. 【答案】
(1) 将点 坐标代入直线 的表达式得：，点 ，
令 ，则 ，即点 ，
将点 ， 的坐标代入一次函数表达式：
得： 解得：
故：直线 的表达式为：．
(2) 过点 作 交 于点 ，则 点为所求，
直线 表达式得 值为 ，则直线 的表达式为 ，
将直线 与 表达式联立并解得：，
即：点 的坐标为 ．
(3) 过点 作 轴的平行线分别于过点 ， 与 轴的平行线于点 ，，
设点 的坐标为 、点 ，
，，
，
又 ，，
，
，，
即： 解得：，
即点 的坐标为 或 ．
(4) ，
过点 作倾斜角为 度的直线 ，过点 作 交于点 ，
则：，即 ，
当 ，， 三点共线且垂直于直线 时， 最小，即：，
同理，直线 的表达式为：，直线 表达式为：，
将上述两个表达式联立并解得：，即：点 ，
．
【知识点】一次函数的解析式、两点间距离公式、一次函数与二元一次方程（组）的关系、全等三角形的性质与判定、坐标平面内图形的面积、等腰直角三角形