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第十六章 二次根式 单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·上海松江·期中）若等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（ ）
①可以用数轴上的一个点来表示；
②；
③；
④；
⑤是有理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023九年级·北京·专题练习）如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（ ）
A． B．2 C．+ 1 D．+ 2
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）
8．（22-23九年级上·吉林长春·期末）若使代数式有意义，则的取值范围是 ．
9．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ．
10．（23-24八年级上·上海宝山·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
11．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如果成立，那么实数的取值范围 ．
12．（23-24七年级下·上海·阶段练习）计算： ．
13．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）如果代数式与的值相等，那么代数式的值为 ．
14．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，那么 ．
15．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）把中根号前的移到根号内得到的结果是 ．
16．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ．
17．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图，如果正方形的面积为6，正方形的面积为正方形的面积的2倍，则的面积是 ．
（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ．
解答题（本大题共7小题，共64分）
19．（23-24七年级下·上海·阶段练习）计算：
20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值
21．（23-24七年级下·上海·期中）已知实数满足，求的值．
22．（23-24七年级下·山东临沂·期中）有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程．
(1)解题与归纳：
①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空． ； ； ； ； ； ；
②归纳：对于任意数，有 ；
③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空． ； ； ； ； ； ；
④归纳：对于任意非负数，有
(2)应用：根据他们归纳得出的结论，解答问题．
数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
23．（17-18八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程：，
验证；，
验证，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．
24．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______．
(2)利用上面所提供的解法，请化简：
．
(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：
．
25．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的．
例如化简，且，
.
(1)填上适当的数：＝______．
(2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值．
(3)化简：．中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式 单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键．
【详解】解：∵，
∴ 的一个有理化因式是．
故选A．
2．（23-24八年级上·上海松江·期中）若等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵等式成立，
∴，
故选：B．
3．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，，
∴，
故选：C．
4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案．
【详解】解：∵；
∴，；
解得：；
故选：C．
5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（ ）
①可以用数轴上的一个点来表示；
②；
③；
④；
⑤是有理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数、实数与数轴、二次根式的性质、无理数的估算，根据题意得出，即可判断③；由为无理数，可以用数轴上的一个点来表示即可判断①⑤；估算出即可判断②，由二次根式的性质即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，
边长为的正方形的一条对角线的长为，
类似的，若正方形的边长为长为，
，故③正确；
为无理数，可以用数轴上的一个点来表示，故①正确，⑤错误；
，，
，即，故②错误；
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共个，
故选：B．
6．（2023九年级·北京·专题练习）如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（ ）
A． B．2 C．+ 1 D．+ 2
【答案】A
【分析】先进行分式化简，再把m2+m代入即可.
【详解】解：（1）
＝m2+m，
∵m2+m0，
∴m2+m，
∴原式，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由即可作出求解．
【详解】解：，
故答案为：3．
8．（22-23九年级上·吉林长春·期末）若使代数式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：
解得：
故答案为：．
9．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答．
【详解】解：∵
，
∴的有理化因式是，
故答案为：．
10．（23-24八年级上·上海宝山·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1
11．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如果成立，那么实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：变形得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．（23-24七年级下·上海·阶段练习）计算： ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了二次根式的运算，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
13．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）如果代数式与的值相等，那么代数式的值为 ．
【答案】1
【分析】本题二次根式的有意义的条件、求代数式的值，先根据代数式与的值相等得出，代入计算即可得出答案，求出是解此题的关键．
【详解】解：有意义，
，，即，
代数式与的值相等，
，
解得：，
，
故答案为：．
14．（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，那么 ．
【答案】
【分析】
直接利用完全平方公式得出，进而得出的值．
此题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）把中根号前的移到根号内得到的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
得：，
，
，
故答案为：．
16．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解．
【详解】解：
．
17．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图，如果正方形的面积为6，正方形的面积为正方形的面积的2倍，则的面积是 ．
【答案】/
【分析】根据题意易得正方形的面积为12，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：正方形的面积为12，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用及实数的混合运算，熟练掌握正方形的面积公式及实数的运算是解题的关键．
18．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．
解答题（本大题共7小题，共64分）
19．（23-24七年级下·上海·阶段练习）计算：
【答案】3
【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的乘法、立方根的性质．先根据负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的乘法、立方根的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：
．
20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值
【答案】35
【分析】本题考查了二次根式的化简求值和整式的混合运算，首先利用分母有理化求出x和y的值，然后求出，，然后将利用完全平方公式变形为，然后代入求解即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，
∴
．
21．（23-24七年级下·上海·期中）已知实数满足，求的值．
【答案】2007
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．根据被开方数大于等于0可以求出，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
∴原式可化为：，
即=2006，
两边平方得，
∴．
故答案为．
22．（23-24七年级下·山东临沂·期中）有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程．
(1)解题与归纳：
①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空． ； ； ； ； ； ；
②归纳：对于任意数，有 ；
③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空． ； ； ； ； ； ；
④归纳：对于任意非负数，有
(2)应用：根据他们归纳得出的结论，解答问题．
数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)①2，5，6，0，3，6；②；③4，9，25，36，49，0；④a
(2)
【分析】本题考查了数轴和二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质的正确和灵活运用；
（1）①根据要求直接计算即可；
②根据①的计算归纳即可；
③根据要求直接计算即可；
④根据③的计算归纳即可；
（2）先由数轴得，进而可得，根据（1）的公式直接代入计算即可；
【详解】（1）①，
故答案为：2，5，6，0，3，6；
②对于任意的数a，有，
故答案为：；
③，
故答案为：4，9，25，36，49，0；
④对于任意非负数，有，
故答案为：a；
（2）由数轴得，
，
23．（17-18八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程：，
验证；，
验证，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．
【答案】(1)，验证见解析
(2)，验证见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：．
【详解】（1）
验证：
；
（2）．
验证：
．
24．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______．
(2)利用上面所提供的解法，请化简：
．
(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）根据（1）所求裂项，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）先分母有理化得到，据此裂项求解即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴
．
25．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的．
例如化简，且，
.
(1)填上适当的数：＝______．
(2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值．
(3)化简：．
【答案】(1)，；
(2)正整数的最小值是10，最大值是25；
(3)．
【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
（2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值．
【详解】（1）
故答案为：，
（2）
，
，或，或，
或．
∴正整数的最小值是10，最大值是25．
（3）
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
