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第十六章 二次根式 章末压轴题专练
压轴题型一 二次根式有意义的条件压轴题
1．（2024八年级·全国·竞赛）若m满足关系式，求m的值．
【答案】4024
【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值．
【详解】解：由可得，
∴
∴
2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）已知实数满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了求整式的值，二次根式有意义的条件，二次根式的性质，由二次根式有意义的条件得，二次根式的性质得整理即可求解；掌握是解题的关键．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知：
，
解得：，
，
，
，
，
．
3．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
【答案】(1)①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题；
（2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题．
【详解】（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）．
②平方差公式．
③不等式的基本性质1．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1），；（2）2024
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可．
【详解】解：（1）和均有意义，
且，
即且，
，
当时，，
可得
∴，即，
，；
（2）有意义，
，
，
因此，可变为，
即，
，
即，
的值是2024．
5．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为．
(1)无理数的“行知区间”是________；
(2)若，求的“行知区间”；
(3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
（1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果；
（2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可；
（3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：无理数的“行知区间”是；
故答案为：；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴a的“行知区间”为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立：，解得：，
∴的算术平方根为，
∵，
∴；
∴的算术平方根的“行知区间”为．
6．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义：
（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围；
（2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案；
（3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，
∴隐含条件，
解得：，
（2）∵，
，
∴
；
（2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
∴，，，
∴
．
压轴题型二 利用二次根式的性质化简压轴题
7．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程：
；
；
；
…
回答下列问题：
(1)______；
(2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？
【答案】(1)
(2)当无穷大时，接近
【分析】本题考查数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算，分式的混合运算，
（1）根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可；
（2）根据（1）中的结论：，求出，再进行求解；
掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵为任意的正整数，
∴
，
∴
，
∴；
（2）由（1）有：
，
∴当无穷大时，接近．
8．（23-24八年级下·广西河池·期中）【阅读与思考】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题，
(1)按照下面的解法，试化简：．
化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
（1）根据二次根式有意义条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据数轴得出，，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可．
【详解】（1）
隐含条件，
解得：，
所以
；
（2）从数轴可知：，，
所以
．
9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：，
，
，
请利用你所发现的规律．
(1)写出第4个式子______；
(2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）．
(3)计算．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键．
（1）根据题干给的规律，可直接写出结果；
（2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立；
（3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果；
【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得
第4个式子为：；
（2）解：根据题干中的规律，可得
第个式子为：；
证明： 左边
右边，
等式成立；
（3）解： ，，
原式
．
10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；
(1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
(2)已知：，求代数式的值；
(3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
【答案】(1)①②④
(2)
(3)时，有最小值，最小值为3
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
（2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出；
（3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3．
【详解】（1）解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意，，
∴．
原式
．
当且仅当，即时，等号成立．
∴原式的最小值为3．
11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：
左边右边．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则的最小值为______．
(2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求；
(3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料2即可求解；
（2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解；
（3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴的最小值为
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）∵正数a，b满足，
∴
∵不等式恒成立，
∴
∴①或②
∴解不等式组①无解，解不等式组②得
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键
12．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），
请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，
∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
【答案】（）；（），；【拓展应用】．
【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等，
（）根据二次根式的性质即可求出答案；
（）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案；
解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系．
【详解】解：（）原式，
∵（显性条件），
由题意得（隐含条件），
∴，
∴，
∴原式，
；
（）∵三角形的三边长分别为，
∴，
∴的取值范围是，（隐含条件）
∴原式
，
，
故答案为：；
【拓展应用】由题意得，
∴（隐含条件），
∴原方程可化为：，
解得，符合题意．
压轴题型三 复合二次根式的化简压轴题
13．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【答案】（1）④，；（2）；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．
14．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
15．（23-24八年级上·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
16．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【答案】（1）④；；（2）①；②
【分析】（1）第④步出现了错误，==．
（2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误；
=
=．
（2）①
=
=
=．
②
=
=
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键．
17．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【详解】解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，
故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，
∴a的值为7或13．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键．
18．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解.
【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即，
∴=
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即，
∴=
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键.
压轴题型四 二次根式的混合运算压轴题
19．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题．
… … … …
(1)计算：_________；__________；
(2)满足的可以取得的最小整数是_____．
【答案】(1)；
(2)6
【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键．
（1）根据表格中的数据确定出，的值即可；
（2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围．
【详解】（1）解：根据表格中的数据得：；
，
∴,
故答案为：；．
（2）解：，
，
，
又，
∴
解得：，
可以取得最小正整数是6,
故答案为：6．
20．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)计算： ；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)
(3)，理由见详解
【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为，即可获得答案；
（3）比较与的大小，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）
．
故答案为：；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键．
21．（22-23八年级上·广西贵港·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）因为且，
，
，
故答案为：；
因为且，
，
，
故答案为：；
（2）
因为且，
，
，
；
（3），
，，
，
，
．
22．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)已知：，求：
① ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是 ；
(3)计算： ．
【答案】(1)①，②；
(2)；
(3)．
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
故答案为：
②由①得，已知，两式相加得到，
，
即，
则，解得，
经检验，是原方程的根，
即方程的解是；
（2）解：
由二根式有意义的条件得到，
解得，
即的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
23．（23-24八年级上·山东青岛·期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
【答案】(1)①②2022
(2)①②
【分析】（1）①观察题目中的等式，即可求得答案；②将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；②将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：①；
故答案为：；
②原式
；
（2）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
24．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算
(1)；
(2)（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）
解：
＝
＝－＋
．
（2）
解：
＝·
．
【点睛】
本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
压轴题型五 分母有理化压轴题
25．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(3)计算：．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
且，
∴；
（2）解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．
26．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，__________；
(2)比较和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化：
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2），
，
而，，
，
；
（3）由，，得，
，
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
27．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【详解】（1）
（2）
，
，
，
故答案为：；
（3）
；
（4）
，
，
，
故．
28．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）观察下列各式：
；
；
．
回答下列问题：
(1)______；
(2)当为正整数时，______；
(3)计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解．
本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律．
【详解】（1）
．
故答案为：
（2）
．
故答案为：
（3）
．
29．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，且，求m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)1；10
(2)1
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简，从而求出，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
（2）
；
（3）
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴．
30．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的．
例如化简，且，
.
(1)填上适当的数：＝______．
(2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值．
(3)化简：．
【答案】(1)，；
(2)正整数的最小值是10，最大值是25；
(3)．
【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
（2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值．
【详解】（1）
故答案为：，
（2）
，
，或，或，
或．
∴正整数的最小值是10，最大值是25．
（3）
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
压轴题型六 二次根式化简求值压轴题
31．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
【答案】[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【分析】（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运用（1）中发现规律，进行计算即可.
【详解】[观察]，，，
[发现]（1）或
（2）左
∵为正整数，
∴
∴左右
[应用]
∴答案为：或.
【点睛】（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比；
（2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
32．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，求.
【答案】
【分析】利用二次根式的被开方数的非负性建立不等式解得x、y的值再带入求出即可.
【详解】
【点睛】本题利用二次根式的被开方数的非负性建立不等式解得x、y的值是突破口，然后带入运算即可.
33．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，求的值．
【答案】2019.
【分析】先由变形可得，再对进行变形为，然后用整体代入的方法即可求出结果.
【详解】解：∵，∴，
∴，即，
∴原式
【点睛】本题是代入求值题，考查了二次根式的运算，本题要注意观察式子的特点，对式子进行有目的的变形，然后采用整体代入的方法求值是一种比较简便的方法.
34．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）已知，，求代数式的值.
【答案】-5
【分析】根据平方根的定义，以及立方根的定义即可求得，的值，然后代入所求的代数式化简求值即可．
【详解】解：，
，
则或，
又，即．
则．
，
，
．
则，
，
，
，
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义，正确对根式化简是关键．
35．（23-24八年级下·广东阳江·期中）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：∵，
又∵a＝，
∴，
∴原式＝．
你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．
【答案】答案见解析.
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【详解】刘峰的解法错误，
原因是：错误地运用了＝这个公式，
正确解法是：∵a＝＝＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝
＝
＝
＝﹣，
∴原式＝﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
36．（23-24八年级上·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
压轴题型七 二次根式的应用压轴题
37．（23-24八年级上·四川乐山·期末）【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，， ∴，
∴．
∴时，的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
(2)菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；
(3)四边形面积的最小值为．
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可；
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可；
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（2）解：设一边为xm，则另一边长为m，
∴菜园的面积，
又∵，
∴当时，菜园的面积有最大值为1250，
答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是2和3，
∴，，
∴，
∴
∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
38．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
(4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______．
【答案】(1)，
(2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
(3)自变量时，函数取最大值，最大值为
(4)
【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（3）∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
39．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：
已知为非负实数，∵，
∴，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
【答案】(1)，
(2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
(3)自变量时，函数取最大值，最大值为
【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（3）∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
40．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）①，
②；
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
41．（2021·贵州黔西·模拟预测）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立．结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值m，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当__________时，有最小值__________；
(2)若，只有当__________时，有最小值__________；
(3)若，平面内有，两点，当a为何值时，线段最短，最短是多少？
【答案】(1)2，4；
(2)，；
(3)－4；8．
【分析】（1）直接利用题中公式求解即可；
（2）直接利用题中公式求解即可；
（3）根据两点间距离公式可得AB=，再利用公式求解即可．
【详解】（1）由题意可知，
∴
∴只有当2时，有最小值是4．
故答案为2，4；
（2）∵，
∴，
即．
∴只有当时，有最小值为．
故答案为：，，．
（3）∵ ，
∴ ．
∵，，
∴，
∵
当时，即a=－4时，
∴
所以，当a=－4时，线段最短，最短距离是8．
【点睛】本题主要考查（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a=b时，a+b有最小值；注意运用类比的思想把相关知识加以运用．
42．（23-24八年级下·广东云浮·阶段练习）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到； ，然后进行大小比较；
（4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1；
（2）；
（3），，
∵
∴>
∴<；
（4）原式=
==2018-1=2017．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式 章末压轴题专练
压轴题型一 二次根式有意义的条件压轴题
1．（2024八年级·全国·竞赛）若m满足关系式，求m的值．
2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）已知实数满足，求的值．
3．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
4．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
5．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为．
(1)无理数的“行知区间”是________；
(2)若，求的“行知区间”；
(3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”．
6．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
压轴题型二 利用二次根式的性质化简压轴题
7．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程：
；
；
；
…
回答下列问题：
(1)______；
(2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？
8．（23-24八年级下·广西河池·期中）【阅读与思考】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题，
(1)按照下面的解法，试化简：．
化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；
9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：，
，
，
请利用你所发现的规律．
(1)写出第4个式子______；
(2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）．
(3)计算．
10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；
(1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
(2)已知：，求代数式的值；
(3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
11．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：
左边右边．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则的最小值为______．
(2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求；
(3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
12．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），
请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，
∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
压轴题型三 复合二次根式的化简压轴题
13．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
14．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
15．（23-24八年级上·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
16．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
17．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
18．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）化简：．
压轴题型四 二次根式的混合运算压轴题
19．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题．
… … … …
(1)计算：_________；__________；
(2)满足的可以取得的最小整数是_____．
20．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)计算： ；
(3)比较与的大小，并说明理由．
21．（22-23八年级上·广西贵港·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：；
(3)计算：．
22．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)已知：，求：
① ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是 ；
(3)计算： ．
23．（23-24八年级上·山东青岛·期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
24．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）计算
(1)；
(2)（）．
压轴题型五 分母有理化压轴题
25．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(3)计算：．
26．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，__________；
(2)比较和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．
27．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
28．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）观察下列各式：
；
；
．
回答下列问题：
(1)______；
(2)当为正整数时，______；
(3)计算的值．
29．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，且，求m．
(3)已知，求的值．
30．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的．
例如化简，且，
.
(1)填上适当的数：＝______．
(2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值．
(3)化简：．
压轴题型六 二次根式化简求值压轴题
31．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
32．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，求.
33．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，求的值．
34．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）已知，，求代数式的值.
35．（23-24八年级下·广东阳江·期中）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：∵，
又∵a＝，
∴，
∴原式＝．
你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．
36．（23-24八年级上·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
压轴题型七 二次根式的应用压轴题
37．（23-24八年级上·四川乐山·期末）【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，， ∴，
∴．
∴时，的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
38．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
(4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______．
39．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：
已知为非负实数，∵，
∴，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
40．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
41．（2021·贵州黔西·模拟预测）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立．结论：在（a、b均为正实数）中，若为定值m，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，只有当__________时，有最小值__________；
(2)若，只有当__________时，有最小值__________；
(3)若，平面内有，两点，当a为何值时，线段最短，最短是多少？
42．（23-24八年级下·广东云浮·阶段练习）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
