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湘教版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
2．关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．关于的多项式：，其中为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．
①是“亲缘多项式”．
②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”．
③多项式是“亲缘多项式”且．
④关于的多项式，若，，为正整数，则为“亲缘多项式”．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：
①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④ 图4
5．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
6．我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
7．学习了“平行线”后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：
从图中可知，张明画平行线的依据有（ ）
（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
8．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360° B．∠A＋∠D＝∠C＋∠E
C．∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180° D．∠E－∠C＋∠D－∠A＝90°
10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知关于的二元一次方程组，的解为，则关于的二元一次方程组的解为
12．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
13．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为 ．
14．课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
15．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2 -1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)= 。
16．观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
17．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．
18．如图所示，一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯 米．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系 ；
（3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积和．
20．如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为（，单位：秒）
（1）当时，求的度数；
（2）在转动过程中，当第二次达到时，求的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值：如果不存在，请说明理由．
21．定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
（1）若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案）
（2），为正整数，且点为方程的精优点．求，的值；
（3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
22．设是的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性，
（1）证明：对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a，与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）证明；
（3）以下是我校初三（1）班 10 位同学的身高（单位：厘米）：
169，172，163，173，175，168，170，167，170，171，计算这组数的方差．
23．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
（1）问题一：，
则 ， ；
（2）计算：；
（3）问题二：已知，
则 ， ；
（4）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
25．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．
26．如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干．
（1）活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为 （等号两边用含a，b的代数式表示）；
（2）小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板 张，B硬纸板 张，C硬纸板 张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）；
（3）如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值．
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湘教版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；相交线的相关概念
【解析】【解答】最多时，从一个角向斜下方截，平面与正方体的六个面都有相交。
【分析】最多6个边，最少3个边，生活中可以试验一下，增加感性认识。
2．关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】
解：
由 得，2a+b=a+1，∴a+b=1 ①
由 得，，整理得，3a+b=-2 ②
由①②解得，a=-1.5，b=2.5
∴2a+b=-0.5
故答案为：C.
【分析】先化简两个等式，再组成方程组求出a，b，从而求出2a+b。也可以通过(①+②)÷2求出2a+b.
3．关于的多项式：，其中为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．
①是“亲缘多项式”．
②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”．
③多项式是“亲缘多项式”且．
④关于的多项式，若，，为正整数，则为“亲缘多项式”．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：①=4x2-4x+1，且各项系数各不相同且均不为0，
∴是" 亲缘多项式 "，故①正确；
② 原式，无法确定各项系数各不相同且均不为0 ，
∴原式不是" 亲缘多项式 "，故②不正确；
③∵是"亲缘多项式"，
∴b4=16，b2=24，b0=1
∴b4+b2+b0=41，故③正确；
④当a=1，b=-1时，n=4时，
（x-1）4=x4-4x3+6x2-4x+1，其中三次项系数与一次项系数相同，
∴（x-1）4不是" 亲缘多项式 "，故④不正确；
∴ 正确的个数是2个；
故答案为：B.
【分析】①利用完全平方公式将展开，根据" 亲缘多项式 "的定义判断即可；
②先合并同类项，再根据" 亲缘多项式 "的定义判断即可；
③将（2x-1）4展开，根据" 亲缘多项式 "的定义判断即可；
④用特殊值法进行判断即可.
4．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：
①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④ 图4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=α+β
故①正确
如下图，当E点在直线AB上面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠FEC-∠AEF=β-α
故③正确
如下图，当E点在直线CD下面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF-∠FEC=α-β
故②正确
如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC左边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE+∠AEF=180° 、∠DCE+∠FEC=180°
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=180° -α+180°-β=360°﹣α﹣β
故④正确
∴①②③④正确
故答案为：D
【分析】本题考查了平行线间的动点问题，直线AB，CD，AC将平面分成了6个部分，E点可以在任意部分，再根据平行线的性质以及角度的加减即可得到答案.
5．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解设签字笔单价为a ，笔记本的单价为b，他身上带的钱为m， 则m=20a+15b-25， m=19a+13b+15；
20a+15b-25=19a+13b+15， 得a+2b=40， 则17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95；
故答案为：B
【分析】本题需设几个未知量，但设而不求，用整体变形和代换求出具体数据，这是很实用的一种方法。
6．我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
7．学习了“平行线”后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：
从图中可知，张明画平行线的依据有（ ）
（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
【答案】D
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合图形的特征、折叠的性质求解即可.
【解答】如图
由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知张明画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行
故选D.
8．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字.
9．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360° B．∠A＋∠D＝∠C＋∠E
C．∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180° D．∠E－∠C＋∠D－∠A＝90°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A=∠ACG，∠EDH=180° ∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH=∠DCG，
∴∠C=∠ACG+∠CDH=∠A+∠D (180° ∠E)
∴∠A ∠C+∠D+∠E=180°.
故选C.
【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ACG，∠CDH=∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH=180°-∠E，然后表示出∠C整理即可得解．
10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形
∴其边长为3cm
设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先求出其边长为3cm，再得到，最后计算求解即可。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知关于的二元一次方程组，的解为，则关于的二元一次方程组的解为
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变为，
令x+3=A，y-2=B，
则方程组可变为，
∴方程组的解为，
∴，
解得；
故答案为： .
【分析】将原方程整理，借助换元法得出，求解即可.
12．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
13．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为 ．
【答案】113°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣21°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣21°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，
∴x+x+x﹣21°＝180°，解得x＝67°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣67°＝113°，
∴∠AEF＝113°．
故答案为113°．
【分析】折叠对称性质得出角相等∠BFE＝∠B′FE，∠AEF＝∠A′EF，再根据∠B′FE、∠BFE、∠C′FE三角组成一个平角列出方程求得∠BFE＝∠B′FE＝67°，根据两直线平行同旁内角互补得出∠AEF为113。
14．课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
15．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2 -1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)= 。
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)=
故答案为：.
【分析】将原式乘以后，利用题干提供的方法，连续利用平方差公式即可算出答案.
16．观察下面的解题过程，然后化简：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1
化简：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝ ．
【答案】 （316﹣1）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
＝（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）
=（34-1）（34+1）（38+1）
=（38-1）（38+1）
=（316-1）
故答案为：（316-1）
【分析】将原式恒等变形，使第一项和第二项能用平方差公式计算，平方差的结果正好和后一项又能运用平方差公式继续计算，这样反复计算，一直到最后一项即可。
17．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．
【答案】293
【知识点】二元一次方程组的其他应用；探索图形规律
【解析】【解答】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为293．
【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
18．如图所示，一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯 米．
【答案】3.8
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】根据平移可得至少要买这种地毯1＋2.8＝3.8（米），
故答案为：3.8．
【分析】根据楼梯高为1m，楼梯的宽的和即为2.8m的长，再把高和宽的长相加即可．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系 ；
（3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）6；2；7
（2）
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积．
∴阴影部分的面积为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵=6a2+7ab+2b2，
∴ 要拼出一个面积为的矩形，需要6张A号卡片，2张B号卡片，7张C号卡片，
故答案为：6，2，7；
（2）图2的面积=（a+b）2=a2+2ab+b2①，
∵（a-b）2=a2-2ab+b2②，
∴①+②得 ；
故答案为： .
【分析】（1）利用多项式乘多项式可得原式6a2+7ab+2b2，根据正方形的面积及矩形的面积即可得解；
（2）根据完全平方公式的几何意义即可求解；
（3）由可得， 即得（x-y）2=4，由（2）知 ， 据此求出x+y的值，由阴影部分的面积，继而得解.
20．如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为（，单位：秒）
（1）当时，求的度数；
（2）在转动过程中，当第二次达到时，求的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，，
（2）解：由题意可知，，，
如图，当第二次达到时，此时，
，
解得：，
即时，第二次达到
（3）解：由题意可知，，，
，
①如图，当时，此时，，
，
解得：；
②如图，当时，此时，
，
解得：；
③如图，当时，此时，，
，
解得：，
综上可知，当或27或45时，射线与射线垂直．
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出∠AOM和∠BON的度数，再利用角的运算求出∠AOB的度数即可；
（2）先表示出∠AOM和∠BON的度数，再结合，可得，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图象并列出方程求解即可.
21．定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
（1）若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案）
（2），为正整数，且点为方程的精优点．求，的值；
（3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意得：
，
，
，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：5；
【分析】（1）由题意把点A的坐标代入方程可求解；
（2）由题意把点B的坐标代入方程2x-y=u-v，根据u，v为正整数可求解；
（3）由题意把点C、D的坐标代入方程2x+3y=1，解方程组可求解.
22．设是的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性，
（1）证明：对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a，与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）证明；
（3）以下是我校初三（1）班 10 位同学的身高（单位：厘米）：
169，172，163，173，175，168，170，167，170，171，计算这组数的方差．
【答案】（1）证明：设，，…，的平均数为，方差为；x1 a，x2 a，…，xn a的平均数为，方差为. 则：
，
，
∴
，
∴对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）解：证明如下：
（3）解：根据（1）的结论，将这10个数
都减去170，得：
1 2 7 3 5 2 0 3 0 1
则，再由（2）得：
【知识点】方差
【解析】【分析】（1）根据方差的公式计算求解即可；
（2）利用完全平方公式证明求解即可；
（3）先求出 1，2， 7，3，5， 2，0， 3，0，1，再利用方差公式计算求解即可。
23．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
（1）问题一：，
则 ， ；
（2）计算：；
（3）问题二：已知，
则 ， ；
（4）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）；
（4）解：由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（3）
则
则
故答案为：，；
【分析】（1）利用整体换元法可得答案；
（2）方法同（1），利用整体换元法可得答案；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）先求出，再利用完全平方公式计算即可。
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
【答案】（1）－1
（2）30
（3）－11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1) ，
①-②=（2x+y）-（x+2y）=7-8，
则x-y=-1，
故答案为：-1；
(2)设每支铅笔为x元，每块橡皮为y元，每本日记本为z元，
∴，
则①×2-②得x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=30，
故答案为：30；
(3)∵ ，
∴ ①，②，
②-①得a+2b=13④，
∴5a+10b=65，
①+②得7a+12b+2c=43⑤，
⑤-④得2a+2b+2c=-22，
∴-11，
故答案为：-11.
【分析】(1) 直接进行整体加减即可求出结果；
(2)根据条件列出关于x、y、z的三元一次方程组，再进行整体加减运算即可解答；
(3)根据新定义的运算x*y=ax+by+c，得出两个关于a、b、c的三元一次方程组，利用整体法计算求出a+ b+ c的倍数的值，则可得到a+ b+ c的值.
25．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．
【答案】（1）解：∵直线n∥直线l，
∴∠DBC＝∠BDN，
又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）解：如图所示，过B点作BG∥直线m，
∵BG∥m，l∥m，
∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG∥m，
∴∠3＝DBG，
又∵BG∥l，
∴∠LAB＝∠ABG，
∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB互为余角，
∴∠LAB＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
结论应用
（3）解：结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN平分∠BCA，
∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，
又∵直线n∥直线l，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及角的运算求解即可；
（2）过B点作BG∥直线m，再利用平行线的性质及角的运算求解即可；
（3）利用角平分线的定义及角的运算求解即可。
26．如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干．
（1）活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为 （等号两边用含a，b的代数式表示）；
（2）小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板 张，B硬纸板 张，C硬纸板 张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）；
（3）如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值．
【答案】（1）
（2）1；2；3设计图可以为：
a ab ab ab ab
b a ab
ab
a b b a b b
（3）解：设，
由题意得：，
由（1）知：
∴
即．
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：根据图形可得：，
故答案为：
（2）解：（a+b）（a+2b）=，
需要A硬纸板1张，B硬纸板2张，C硬纸板3张，
故答案为：1，2，3；
【分析】（1）利用大正方形的面积等于各部分面积的和即可，写出等式；
（2）利用多项式乘多项式的法则，将式子展开后，即可得出结论，仿照（1）的样例解答即可；
（3）设，，根据图形得出，，再利用（1）中的结论解答即可。
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