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湘教版八年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．2
4．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．如图，一块边长为的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为（ ）
A． B． C． D．
6．图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A． B． C． D．3
7．小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小明出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的3倍；③a=20；④b=600．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图，折线表示一骑车人离家的距离 与时间 的关系，骑车人9：00离开家，15：00回到家，则下列说法错误的是（ ）
A．骑车人离家最远距离是45km
B．骑车人中途休息的总时间长是1.5h
C．从9：00到10：30骑车人离家的速度越来越大
D．骑车人返家的平均速度是30km/h
9．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形。
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形。
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
10．如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使、重合，展开后得折痕，又沿折叠使点C落在处，展开后又得到折痕，再沿折叠使点A落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值为 ．
12．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去，经过第次操作后得，则的面积为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线和，过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ．
14．如图，正方形的边长为2，点M是边上的一动点，连接交对角线于点G，作的中垂线交于点F，当时， ．
15．如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接.设，，y与x的函数关系式是 .
16．某快递公司每天上午7：00-8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为600件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
其中正确的个数为 ．
17．如图， 沿直线 翻折后能与 重合， 沿直线 翻折后能与 重合， 与 相交于点 ，若 ， ， ，则 .
18．已知在平面直角坐标系中， ，点 在 轴上，当 变化时，一次函数 都经过一定点 ，则 最小值为
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
22．定义“点对图形的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形，若图形上所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的可视度．如图1，点对线段的可视度为的度数．
（1）如图2，已知点，，，．连接，，则的度数为点对的可视度．求证：；
（2）如图3，已知四边形为正方形，其中点，．直线与轴交于点，与轴交于点，其中点对正方形的可视度为．求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
23．学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．
初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
他们的数据分析过程如下：
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：
请补全八年级频数分布直方图；
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 ① 85.5 144.36
八年级 83.7 ② 251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；
（3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
24．四边形和四边形都是矩形，与交于点，与交于点．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，连结，若，求的值；
（3）如图3，当时，连结，，若为等边三角形，求的值．
25． 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数. 容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示.
（1）当时，求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y关于x的函数解析式；
（3）该容器每分进水 L；每分出水 L.
26． 某商场准备购进A、B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元。请解答下列问题：
（1）A、B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A、B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元。请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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湘教版八年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2-2=；
第三个矩形的面积是（）2×3-2=；
…
故第n个矩形的面积为：= ．
故答案为：D．
【分析】先求出第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积是，依次类推，可得第n个矩形的面积为，即可判断．
2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：把第一个点 作为第一列， 和 作为第二列，
依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点， ，
第n列有n个点，则n列共有 个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，
∵ ，
∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点，
因而第2023个点的坐标是 ，
故答案为：D.
【分析】观察可知第n列有n个点，则n列共有 个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，据此解答即可.
3．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，
∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，
∴∠MAC= ∠MCA=30°，
∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，
∴，
∵∠ACN=∠DAC=30°，
∴，
∵AE = EH，GF = FH，
∴
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。
4．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】
由题意分两种情况讨论：
（1）、如图①，延长AD，BC交于点E，则∠ADB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，
∴∠E=30°，
∵AB=4，
∴BE=43，
∵CD=2，
∴CE=4，
∴BC=BE-CE=43-4.
（2）、如图②，延长AD，BC交于点E，则∠ABC=90°，∠DAB=∠DCB=60°，
∴∠E=30°，
∴∠DEC=∠DCB-∠E=60°-30°=30°，
∴∠EDC=∠E，
∴EC=DC，
∵AB=4，CD=2，
∴BE=43，EC=CD=2，
∴BC=BE-EC=43-2
∴综上所述，BC的长为43-4或43-2.
故选D.
【分析】本题根据新定义的等对角四边形的概念，需要作辅助线构造直角三角形，综合考查了含有30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理的内容，分类讨论，难度较大，需要对知识点的灵活运用.
5．如图，一块边长为的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
设，
四边形、四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：D.
【分析】设，先利用正方形的性质通过AAS判定得到AE、BE的长，再通过平行比例线段求得x值，进而求得正方形的最大面积.
6．图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵OA1=1，
∴由勾股定理可得，
，
……
，
∴．
故答案为：C．
【分析】由OA1=1，利用勾股定理可得，······，，据此可求出OA8的长.
7．小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小明出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的3倍；③a=20；④b=600．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设小明的速度为x，小宇的速度为y．
由题意知：0∴8x=800，得x=100
∴小明的速度为100m/s．
当8∴4y=12x
∴y=300
即小宇的速度为300m/s．
当12∴3y-3x=b，
∵x=100，y=300
∴b=600
当t=15时，小宇到达青少年宫，
当15∴（a-15）x=b
∵b=600， x=100
∴a=21
综上所述：①②④符合题意．
故答案为：B．
【分析】结合函数图象，分类讨论，列方程求解即可。
8．如图，折线表示一骑车人离家的距离 与时间 的关系，骑车人9：00离开家，15：00回到家，则下列说法错误的是（ ）
A．骑车人离家最远距离是45km
B．骑车人中途休息的总时间长是1.5h
C．从9：00到10：30骑车人离家的速度越来越大
D．骑车人返家的平均速度是30km/h
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】A、骑车人离家最远距离是 ，此项说法不符合题意；
B、骑车人在 休息了 ，在 休息了 ，因此骑车人中途休息的总时间长是 ，此项说法不符合题意；
C、从 到 骑车人离家的速度为 ，保持不变，此项说法符合题意；
D、骑车人返家的平均速度是 ，此项说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题需要根据坐标系中的函数图象，分析其实际意义.
9．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形。
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形。
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】甲：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，AE=CE，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AE=CE，∴四边形AFCE为菱形，故甲正确；
乙：如图
∵AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BA=BE，
同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AB=AF，∴四边形AFCE为菱形，故乙正确；
故答案为：
【分析】甲：证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE=CF，由AE∥CF可证四边形AFCE为平行四边形，由EF垂直平分AC，可得AE=CE，根据菱形的判定即证结论；
乙：根据平行四边形的性质及角平分线的定义可求出BA=BE，AB=AF，可得AF=BE，由AF∥BE
可证四边形AFCE为平行四边形，由AB=AF，可证四边形AFCE为菱形.
10．如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ， ，
， ．
点 是 的对称中心，
，
．
即 与 之间的等量关系是 ．
故答案为：B．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 ， ，再由点 是 的对称中心， 根据平行四边形的性质可得 ，从而得出 与 之间的等量关系 ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使、重合，展开后得折痕，又沿折叠使点C落在处，展开后又得到折痕，再沿折叠使点A落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
BE交MN于点F，作FG⊥BA′于点G，
由折叠得点A与点B关于直线MF对称，
∴MN垂直平分AB，
∴∠BNM=90°，AN=BN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴四边形BCMN是矩形，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴MN∥AD，MN=AD，
设BN=7m，则MN=AD=24m，
，
∵∠ABE=∠A′BE，FN⊥BA，FG⊥BA′，
∴FN=FG，
，
∴EF=BF，
故答案为：.
【分析】先求得BN与MN的比，设BN=7m，用m表示出MN，再根据勾股定理求BM，由角平分线的性质得FN=FG，由，求得FN与FM的比，可得出用m表示FN，进而可用m表示AE与DE，就可求得DE与AE的比．
12．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去，经过第次操作后得，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为a，
∴△ABC的面积为，
∵ 点，， 分别是△ABC三边的中点，
∴A1B1=AB=a，A1C1=AC=a，B1C1=BC=a，
∴A1B1=A1C1=B1C1=a，即 为等边三角形，且边长为a，
∴的面积为=
同理可得：为等边三角形，且边长为，
∴的面积为，······，
∴的面积为 ；
故答案为：.
【分析】先求出等边△ABC的面积，再利用三角形中位线定理可得A1B1=A1C1=B1C1=a，即 为等边三角形，且边长为a，从而求出的面积，同理求出的面积，······，据此找出规律，从而得解.
13．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线和，过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得点A在四条射线上运动，
∵2023=505×4+3，
∴位于第三象限，
∵......，
∴第三象限点的特征为，
∴点的坐标为，
故答案为：
【分析】先根据点运动即可得到点A在四条射线上运动，位于第三象限，再结合第三象限点运动的规律即可得到第三象限点的特征为，进而即可求解。
14．如图，正方形的边长为2，点M是边上的一动点，连接交对角线于点G，作的中垂线交于点F，当时， ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接FB、FM、FD，过F作FH⊥CD于点H，
∵EF垂直平分BM，
∴BF=FM.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCF=∠FCD=45°，BC=CD，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF=DF，
∴DF=FM，
∴HM=DH.
∵∠FHC=90°，∠FCH=45°，
∴FH=CH.
设DM=a，则CM=2-a，FH=HC=CD-DH=2-.
∵FM2=FH2+HM2，BM2=BC2+CM2，
∴FM2=(2-)2+()2，BM2=22+(2-a)2.
∵BE=EM，
∴EM2=()2==.
∵FM2=FE2+EM2，
∴FM2=a2+，
∴(2-)2+()2=a2+，
解得a=，
∴CM=2-a=2-=.
故答案为：.
【分析】连接FB、FM、FD，过F作FH⊥CD于点H，由垂直平分线的性质可得BF=FM，根据正方形的性质可得∠BCF=∠FCD=45°，BC=CD，利用SAS证明△BCF≌△DCF，得到进而推出BF=DF，进而推出
HM=DH，易得FH=CH，设DM=a，则CM=2-a，FH=HC=CD-DH=2-，在Rt△FHM、Rt△BCM中，由勾股定理可得FM2=(2-)2+()2，BM2=22+(2-a)2，根据BE=EM可得EM2=()2=，由FM2=FE2+EM2表示出FM2，据此可求出a的值，然后根据CM=2-a可得CM的值.
15．如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接.设，，y与x的函数关系式是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到M，使，连接，如图所示：
∵中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即.
故答案为：.
【分析】延长AC到M，使AM=AB，连接BM，易得∠ABC=30°，则AB=2AC，结合勾股定理可得AC的值，推出MA=AB，得到△ABM为等边三角形，∠ABM=60°，AB=BM，根据旋转可知BP=BQ，∠PBQ=60°，由角的和差关系可得∠PBM=∠ABQ，利用SAS证明△PBM≌△QBA，得到AQ=MP=AM-AP，由题意可得AP=AC-CP=-x，据此解答.
16．某快递公司每天上午7：00-8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为600件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
其中正确的个数为 ．
【答案】②④
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，对于甲仓库，当x=15时，y=130，
∴15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①不符合题意；
对于乙仓库，当x=15时，y=180；当x=60，y=0，
∴180÷（60-15）=4（件），
∴乙仓库每分钟派送快件数量为4件，故②符合题意；
设甲仓库：y关于x的函数关系式为y=kx+b，
由函数图象得当x=0时，y=40；当x=15时，y=130，
∴，
解得，
∴y=6x+40，
8：00时，x=60，
当x=60时，y=6×60+40=400，
∴8：00时，甲仓库内快件数为400件，故③不符合题意；
设乙仓库：y关于x的函数关系式为y=mx+n，
由函数图象得当x=15时，y=180；当x=60，y=0，
∴，
解得，
∴y=-4x+240，
7：20时，x=20，
对于函数y=6x+40，当x=20时，y=6×20+40=160，
对于函数y=-4x+240，当x=20时，y=-4×20+240=160，
∴7：20时，两仓库快递件数相同，故④符合题意；
综上分析可知，②④符合题意．
故答案为：②④．
【分析】由图象可知，对于甲仓库，当x=15时，y=130，故①不符合题意；对于乙仓库，当x=15时，y=180；当x=60，y=0， 乙仓库每分钟派送快件数量为4件，故②符合题意；由函数图象得当x=0时，y=40；当x=15时，y=130，利用待定系数法得出当8：00时，甲仓库内快件数为400件，故③不符合题意；利用待定系数法求出乙仓库y关于x的函数关系式，当7：20时，x=20，再求出当x=20时，相应的函数值都是160，可判断④符合题意。
17．如图， 沿直线 翻折后能与 重合， 沿直线 翻折后能与 重合， 与 相交于点 ，若 ， ， ，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CD、BF，延长BA交CD于G，延长CA交BF于H，
∵△ABC沿直线AB翻折后能与△ABD重合，
∴BC=BD ，∠CBA=∠DBA，AC=AD= ，
根据等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，
设DG=x，AG=y，
在Rt△ADG中， ①，
在Rt△BDG中， ②，
②-①得： ，
则 (负值已舍)，
∴DG= AG=1，∠ADC=∠ACD=45°，
∴∠DAC=90°，
同理，△ABC沿直线AC翻折后能与△AFC重合，
∴CH⊥BF，BH=HF，
设BH=m，AH=n，
在Rt△ABH中， ③，
在Rt△CBH中， ④，
由③④得： ，
∴BH=AH= ，∠AFB=∠ABF=45°，
∴∠BAF=90°，
∵∠EAC=∠FHC=90°，
∴四边形 为梯形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴AE= ，
∴DE=AD-AE= .
故答案为： .
【分析】连接CD、BF，延长BA交CD于G，延长CA交BF于H，由折叠的性质可得BC=BD ，∠CBA=∠DBA，AC=AD= ，根据等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，设DG=x，AG=y，分别在Rt△ADG、Rt△BDG中，根据勾股定理可得关于x、y的方程组，求解可得x的值，进而得到DG= AG=1，∠DAC=90°，设BH=m，AH=n，同理得到BH=AH=，推出四边形EFHA为梯形，然后根据S△ECA+S梯形EFHA=S△FHC进行求解可得AE，最后根据DE=AD-AE计算即可.
18．已知在平面直角坐标系中， ，点 在 轴上，当 变化时，一次函数 都经过一定点 ，则 最小值为
【答案】
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：y=kx-3x+k
=（x+1）k-3x，
∵当k变化时，一次函数都过一定点，
∴x+1=0，
∴x=-1，
∴y=3，
∴B（-1，3），
∴点B关于x轴的对称点B′（-1，-3），
如图，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小，
即CA+CB=CA+CB′=AB′，
分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D，
∴D（3，-3），
∴B′D=3-（-1）=4，AD=2-（-3）=5，
∴AB′= ，
故答案为： .
【分析】先求出定点B坐标，再求出点B关于x轴的对称点B′坐标，连结AB′交x轴于点C，此时CA+CB最小即为AB′的长，分别过A，B作x，y轴的垂线，交于点D，利用勾股定理求出AB′即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【答案】（1）150°
（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝ ，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.
故答案为：150°
【分析】（1）由△ACP′≌△ABP可得旋转角∠PAP′＝60°，可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可证明△PP′C为直角三角形，根据∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根据角的和差关系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可证明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根据等腰直角三角形的性质可得∠E′CF＝90°，根据勾股定理即可得结论；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出AB、BC的长，根据旋转的性质可得∠A′BC=90°，△BOO′是等边三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定义可证明C、O、A′、O′四点共线，利用勾股定理求出A′C的长即可得答案.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
21．如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）证明：∵点B
∴C（0，21），A（0，15）
设D点坐标为（0，a），E点坐标为（15，b）
∴，
∴
∴
∴
（2）解：设
∵，
∴，即，解得
∴
（3）解：Q1（-8、12），Q2（18、12）， Q3（5、-12），Q4（、12）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】（3）∵
∴OM=
①当以OM为边时，设P的坐标为（a，0）
（a）当点P在负半轴时，a=-13，即P（-13，0）
设Q1的坐标为（c、d）
∴OQ中点坐标为（）
∵MP的中点坐标为()
∴，
∴c=-8，d=12
∴Q1的坐标为（-8、12）；
（b）当点P在正半轴时，a=13，即P（13，0）
设Q2的坐标为（c、d）
∴OQ中点坐标为（）
∵MP的中点坐标为()
∴，
∴c=18，d=12
∴Q2的坐标为（18、12）；
（c）当OM为边，点P在正半轴，M与Q关于x轴对称时，
∴Q3的坐标为（5、-12）；
②当以OM为对角线时，OM的中点坐标为（）
设OM的解析式为y=cx+d，则有
解得
∴OM的解析式为
设OM的垂直平分线PQ的解析式为
则有：，解得e=
PQ的解析式为
令y=0，则有：，解得x=
设Q4的坐标为（c、d），则PQ的中点坐标为（）
∴，，解得c=，d=12
∴Q4的坐标为（、12）；
∴Q1（-8、12），Q2（18、12）， Q3（5、-12），Q4（、12）．
【分析】（1）先求出D、E的坐标，再求出OD、BE的长，即可得解；
（2）设， 由建立关于x方程并解之即可；
（3）分两种情况：①当以OM为边时，②当以OM为对角线时，根据菱形的性质及中点坐标公式求解即可.
22．定义“点对图形的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形，若图形上所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的可视度．如图1，点对线段的可视度为的度数．
（1）如图2，已知点，，，．连接，，则的度数为点对的可视度．求证：；
（2）如图3，已知四边形为正方形，其中点，．直线与轴交于点，与轴交于点，其中点对正方形的可视度为．求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于点，
∵，，，
∴轴，，，，，
∴，，
，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，，令与轴的交点为，则的度数为点对正方形的可视度，即，
∵，，四边形为正方形，
∴，∴，
∴点，关于轴对称，
∴轴垂直平分，
∴，，
∵，∴为等边三角形.，
∴，∴，
∴，
∴点的坐标为，
将点坐标代入中，得，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴点的坐标为
（3）解：存在，点的坐标为或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【解答】（3）在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
①当AB为边，EM为平行四边形对边时，
∵平行四边形对边平行且相等，
∴
设点M坐标为
∴
∴
∴点M坐标为
②当AB为对角线，
∴点M与点E关于AB对称，
∴点M坐标为
∴综上所述，点M坐标为：，
【分析】（1）过点作于点，即可得到：，，，，根据勾股定理可求出最后根据勾股定理逆定理即可证明；
（2）连接，，令与轴的交点为，则的度数为点对正方形的可视度，即，根据正方形的性质得到即可得到点D的坐标，根据已知信息得到轴垂直平分，进而即可证明为等边三角形，再根据勾股定理即可求出FG的长，进而得到点F的坐标，将F点坐标代入解析式，即可得到解析式为：，令即可求出点E的坐标；
（3）由题意知需分两种情况讨论：①：当AB为边，EM为平行四边形对边时，②当AB为对角线，分别根据平行四边形的性质即可求解.
23．学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．
初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
他们的数据分析过程如下：
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：
请补全八年级频数分布直方图；
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 ① 85.5 144.36
八年级 83.7 ② 251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；
（3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
【答案】（1）解：由成绩统计可知：八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，如下：
（2）解：表格中①对应的数据为：．
表格中②对应的数据是．
（3）解：七年级比赛成绩整体较好．
理由：七年级成绩的平均数大于八年级，说明七年级的平均成绩好于八年级；七年级成绩的方差小于八年级，说明七年级同学的成绩波动小，故七年级比赛成绩整体较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据题意先求出八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，再补全八年级频数分布直方图即可；
（2）利用中位数和平均数的计算方法求解即可；
（3）根据平均数和方差判断求解即可。
24．四边形和四边形都是矩形，与交于点，与交于点．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，连结，若，求的值；
（3）如图3，当时，连结，，若为等边三角形，求的值．
【答案】（1）证明：四边形和四边形都是矩形，
，
又，，
，
；
（2）解：四边形和四边形都是矩形，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
设，则，
，
，
，
，
；
（3）解：是等边三角形，
，
，
，
设，则，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）通过证明△ABH和△EDH全等，得出对应边BH=DH；
（2） 先证明四边形BHDG是菱形，可得BG=DG，设AB=CD=x，则BC=2x， CG=BC-BG=BC-DG=2x-DG，在Rt△DCG中，根据勾股定理，可求得，得DH=，然后在Rt△CDH中，求得CH的长为，从而得出的值；
（3）根据△HGC是等边三角形，得出∠DCH=30°，然后设HD=a，可得CH=2a=GC，CD=，在Rt△DCG中，可求得DG=，然后根据S△DHG=，可求得，然后等量代换为。
25． 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数. 容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示.
（1）当时，求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y关于x的函数解析式；
（3）该容器每分进水 L；每分出水 L.
【答案】（1）解：由图象可知，当时，y是x的正比例函数.
设y与x的解析式为 y=mx(m≠0).
∵y=mx图象过点(4，20)，
∴20=4m，解得m=5.
∴y关于x的函数解析式为y=5x
（2）解：由图象可知，当时，y是x的一次函数.
设y与x的解析式为 y=kx+b(k≠0).
∵y=kx+b图象过点(4，20)与(12，30)，
∴ 解得
∴ y关于x的函数解析式为
（3）5；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（3）该容器每分进水20÷4=5（L）；每分出水（L），
故答案为：5；.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出k和b的值，再求函数解析式即可；
（3）观察函数图象求解即可。
26． 某商场准备购进A、B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元。请解答下列问题：
（1）A、B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A、B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元。请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？
【答案】（1）解：设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为元，
依题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元
（2）解：设该商场购进m个A种书包，则购进个B种书包，
依题意，得
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商场有3种进货方案。
方案1；购买18个A种书包，41个B种书包；
方案2；购买19个A种书包，43个B种书包；
方案3；购买20个A种书包，45个B种书包。
（3）解：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【解答】(3)设销售利润为W元，则，
∵
∴w随m的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时.
设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有()个，
样品中A种书包有()个，
依题意，得：
=1370.
∴
∵a，b，，均为正整数.
∴.
答：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个.
【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为元， 根据“ 用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍”列出方程，解之并检验即可；
（2）设该商场购进m个A种书包，则购进个B种书包， 根据“ A种书包不少于18个，购进A、B两种书包的总费用不超过5450元 ”列出不等式组，求出m的范围，再求出m的整数解即可；
（3）设销售利润为W元，由利润=销售每个书包的利润×销售量，列出w关于m的函数解析式，利用一次函数的性质求出获得利润的最大进货方案.设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有()个，样品中A种书包有()个，根据利润=销售收入-成本，可得关于a、b的二元一次方程，结合a、b、5-a、4-b均为正整数，求出a、b的值即可.
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