中小学教育资源及组卷应用平台
上海市七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
2．以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
3．①如图1，AB∥CD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，AB∥CD，则∠E =∠A +∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，AB∥CD，则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是（ ）
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从 点出发，沿着 循环爬行，其中 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，当蚂蚁爬了 个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）
6．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为 ，则 的值可能是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是 （填写序号）．
8．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
9．如图，正方形ABCD的两个顶点，，对正方形ABCD进行如下变换：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形，其中B的对应点为，D的对应点为，若正方形ABCD内部的一个点F经过上述相同变换后得到的对应点与点F重合，则F点的坐标为 ．
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是 ．
11．计算： ．
12．如图将长方形纸片 沿直线 折叠，点A、B分别对应点E、F，再将折叠后的四边形 沿着射线 的方向平移，点F恰好与点C重合后停止，平移后的四边形为四边形 ，要使 ，则 的度数为 .
13．在平面直角坐标系中，点，，，……用你发现的规律，确定点的坐标为 ．
14．已知∠A与∠B（ ， ）的两边-边平行，另一边互相垂直，且 ，则∠A的度数为 °.
15．如图，已知AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与三角形ABD面积相等的三角形共有 个．
16．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝ ．
17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2017的坐标为 ．
18．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[-1.2)＝-1，则下列结论中正确的是 ．①[0)＝0；②[x)-x的最小值是0；③[x)-x的最大值是1；④存在实数x，使[x)-x＝0.5成立．
三、解答题（本大题共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．用幂的运算性质计算：
20．计算：．
21．计算：．
22．
（1）计算：
（2）解方程组
23．在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
24．在直角坐标系中，已知点，，且a是的立方根，方程是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，连交x轴于点E，问是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的纵坐标的范围，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若线段向上平移2个单位长度，点G为x轴上一点，点为第一象限内一动点，连、、，若的面积等于由、、、四条线段围成图形的面积，求点G的横坐标（用含n的式子表示）．
25．如图，将一副直角三角板的两直角边AC与CE重合（其中，），三角板ACD固定，三角板BCE绕点C顺时针旋转．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）当三角板BCE的边与AD平行时，求的度数．
26．在数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，已知直线ABCD，将三角形纸片EFG的顶点E放到直线AB上，点F落在直线AB与CD所夹区域的内部，FG与CD交于点H，试探究∠EFH，∠BEF，∠DHF之间的数量关系．“兴趣小组”给了如下探究思路：过点F作FTAB．因为ABCD，∴FTCD．∴∠BEF＝∠TFE，……
（1）数学思考：请你根据“兴趣小组”的探究思路，直接写出∠EFH，∠BEF，∠DHF之间的数量关系： ．
（2）问题解决：“智慧小组”把老师提出的问题作了如下变式：将三角形纸片EFG如图2所示放置，使得点F落在AB，CD区域的外部，FG与AB，CD分别交于点M，H．试探究∠EFH，∠BEF，∠DHF之间的数量关系．请你类比“兴趣小组”的探究思路，解决智慧小组提出的问题．
（3）结论运用：如图3，直线ABCD，∠PND＝75°，∠EPF＝35°，∠PQM＝95°．请你运用问题（1），（2）得到的结论，求∠QMC的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
上海市七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PDF＝∠QDC，∠PFD＝∠QCD，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
2．以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
3．①如图1，AB∥CD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，AB∥CD，则∠E =∠A +∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，AB∥CD，则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是（ ）
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：
①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①不符合题意；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②符合题意；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③符合题意；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④符合题意；
故答案为：C.
【分析】①过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
②如图2，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，据此判断即可；
④过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，根据三角形外角的性质及平行线的性质得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，据此判断即可.
4．如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从 点出发，沿着 循环爬行，其中 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，当蚂蚁爬了 个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵A点坐标为（2，﹣2），B点坐标为（﹣2，﹣2），C点坐标为（﹣2，6），
∴AB＝2﹣（﹣2）＝4，BC＝6﹣（﹣2）＝8，
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2（AB+BC）＝24.
∵2020＝84×24+4，
∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A左边4个单位长度处，即（-2，﹣2）.
故答案为：A
【分析】根据蚂蚁的爬行规律找到蚂蚁爬行一循环的长度是24，∵2020＝84×24+4，∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A左边4个单位长度处，即可解题.
5．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1）
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2017÷4=504…1，
∴点A2017的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．
故答案为：D．
【分析】对于序号n比较大的求值题，基本方法就是循环法，通过计算几个特殊的实力观察规律，本题就是4个点为一循环，用2017除以4，余数为1，就是循环的第一个点.
6．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为 ，则 的值可能是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形相关概念
【解析】【解答】∠ACB=∠90°+∠CBD
∴(5x 10)°=∠90°+∠CBD
化简得：x=20+ ∠DBC
∵0°<∠DBC<90°
∴20°故答案为：C
【分析】根据三角形的外角性质和三角形内角∠DBC的取值范围得出x的范围。
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ①∵EH∥BD，
∴∠EHD=∠HDB，∠HED=∠CDB，
由折叠的性质得：∠HDB=∠CDB，
∴∠EHD=∠HED，
故结论①正确；
②设∠A=α，
由折叠的性质得：∠A=∠EHA=α，
∴∠HED=∠EHA+∠A=2α，
由结论①正确得：∠EHD=∠HED=2α，
∴∠ADH=180°-（∠EHD+∠HED）=180°-4α，
如果∠A=∠ADH，
则α=180°-4α，解得：α=36°，
即：∠A=36°，
根据题目中的已知条件无法确定∠A=36°，
∴无法确定∠A与∠ADH相等，
故结论②不正确；
③设∠A=α，
由结论①正确得：∠EHD=∠HED=2α，
∴∠BDC=∠HED=2α，
又∠HED=∠A+∠HBD，
即：2α=α+∠HBD，
∴∠HBD=α，
∴∠HED=2α=2∠HBD，
故结论③正确；
④设∠A=α，∠ABG=β，
则∠GBD=α+β，
由③可知：∠HBD=α，则∠GBD=α+β，
由折叠的性质得：∠A=∠EHA=α，∠CBD=∠GBD=α+β，
∴∠ABC=∠HBD+∠CBD=α+α+β=2α+β，
由结论①正确得：∠EHD=∠HED=2α，
∴∠AHD=∠EHA+∠EHD=α+2α=3α，
∵4∠ABC=3∠AHD，
∴4（2α+β）=3×3α，即：α=4β，
∴∠ABD=4∠ABG，
故结论④正确．
综上所述：结论正确的是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】根据题意和已知条件，运用排除法对每一个选项进行分析，选出正确答案即可.
8．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
9．如图，正方形ABCD的两个顶点，，对正方形ABCD进行如下变换：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形，其中B的对应点为，D的对应点为，若正方形ABCD内部的一个点F经过上述相同变换后得到的对应点与点F重合，则F点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（0，0），C（6，6）正方形ABCD的边长为6；
∴点B（6，0），D（0，6）， 把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a
得B'（6a，0）D'（0，6a）； 将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形
B'平移得到B1，可列方程组：；
D'平移得到D1，可列方程组：；
联立两个方程组解得：
∴根据题意得平移变化，设F（x，y）则F1为平移后的点可得方程组；
，解得：
∴F
故答案为：
【分析】根据题意找出正方形ABCD的点坐标和平移关系，根据平移后的坐标 B'平移得到B1，D'平移得到D1，列出方程组，分别求出a，m，n，根据F平移后与F1重合列出方程组求解出F点坐标即可.
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是 ．
【答案】(2015，2)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察点的坐标变化可得：
第1次从原点运动到点（1，1） ，
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2） ，
第4次接着运动到点（4，0），
第5次从原点运动到点（5，1） ，
第6次从原点运动到点（6，0） ，
·······，
发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1、0、2、0，四数字一循环，
∴2015÷4=503······3，
∴ 经过第2015次运动后纵坐标为2，
∴ 动点P的坐标 (2015，2) ；
故答案为： (2015，2) .
【分析】先分别求出前6次运动后的坐标，可发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1、0、2、0，四数字一循环，据此解答即可.
11．计算： ．
【答案】
【知识点】分数指数幂
【解析】【解答】解：
=
=
=
= .
故答案为： .
【分析】先计算乘方，然后计算实数的混合运算，立方根的定义，即可得到答案.
12．如图将长方形纸片 沿直线 折叠，点A、B分别对应点E、F，再将折叠后的四边形 沿着射线 的方向平移，点F恰好与点C重合后停止，平移后的四边形为四边形 ，要使 ，则 的度数为 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平移的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
由平移得FN∥ ，
∴ ，
由翻折得∠BNM=∠FNM，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用余角的性质求出∠NCN'度数，由平移得FN∥ ，再根据平行线的性质得出∠FNC的度数，则由折叠的性质得出∠BNM=∠FNM，结合邻补角的性质解答即可.
13．在平面直角坐标系中，点，，，……用你发现的规律，确定点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察可知，点可写成，
点可写成，
点可写成，
点可写成，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
则点的坐标为，即为，
故答案为：．
【分析】观察已知坐标，可得规律：点的坐标为，其中为正整数，将n=2021代入即得结论.
14．已知∠A与∠B（ ， ）的两边-边平行，另一边互相垂直，且 ，则∠A的度数为 °.
【答案】36或96
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：①如下图：
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=90°
∵
∴3∠A=108°
∴∠A=36°
②如下图
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=360°-90°=270°
∵
∴3∠A=288°
∴∠A=96°
故答案为：36或96
【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，根据题意分为两种两种情况：①垂直的两边的交点在平行的两边之间的内部，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案；②垂直的两边的交点在平行的两边之间的外部，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案.
15．如图，已知AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与三角形ABD面积相等的三角形共有 个．
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，
∴S△ABD=S△ABC（同底等高），
∵AE∥BD，
∴S△ABD=S△BDE（同底等高），
∵DE∥BC，
∴S△CDE=S△BDE（同底等高），
∴S△ABD=S△CDE，
故答案为：3.
【分析】因为平行线间的距离相等，所以根据同底等高两个三角形面积相等的原理，分别由三组平行线找出面积相等的三角形即可。
16．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝ ．
【答案】75°
【知识点】三元一次方程组解法及应用；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得 ，解出∠B＝75°．
故答案为：75°.
【分析】根据三角形的内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，再和已知的两个方程联立，解此方程组可求出∠B的度数.
17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2017的坐标为 ．
【答案】（1008，1）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察图形可知：A1（0，1），A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1），…，
∴A4n+1（2n，1）（n为自然数）．
∵2017=504×4+1，
∴A2017（1008，1）．
故答案为：（1008，1）．
【分析】首先依据图形特点确定出点A1、A5、A9、A13、…、的坐标，然后再找出点的坐标的变化规律“A4n+1（2n，1）（n为自然数）”，最后，依据规律可得到问题的答案.
18．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[-1.2)＝-1，则下列结论中正确的是 ．①[0)＝0；②[x)-x的最小值是0；③[x)-x的最大值是1；④存在实数x，使[x)-x＝0.5成立．
【答案】③④
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：①[0）=1，故本项错误；②[x）-x＞0，但是取不到0，故本项错误；③[x）-x≤1，即最大值为1，故本项正确；④存在实数x，使[x）-x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．
故答案为③④．
【分析】关于实数的新定义问题，根据定义进行判断即可。
三、解答题（本大题共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．用幂的运算性质计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；n次方根；分数指数幂
【解析】【分析】先根据根式与分数指数幂之间的对应关系，把根式转化成同底数的分数指数幂的形式，再进行同底数幂的乘除法即可求出结果。
20．计算：．
【答案】解：
=
=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、绝对值、负指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可。
21．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、二次根式和立方根的性质化简，再计算即可.
22．
（1）计算：
（2）解方程组
【答案】（1）解：
（2）解：，
把①代入②，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴方程组的解为：
【知识点】实数的运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、二次根式的性质、立方根和绝对值的性质化简，再计算加减法即可；
（2）利用代入消元法求解二元一次方程组即可.
23．在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据SAS即可证明 与全等 ；②由①知 与全等 ，可以得出对应角 ， 再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=90°，即可得出，从而得出∠BCE；
（2）由（1）知，再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=60°，即可得出，从而得出∠BCE；
（3）首先可得出 △ ADE是等边三角形，可得出DE=AD，然后可求出 △ DCE的周长=BC+DE=BC+AD，其中BC为定值，所以当AD最小时， △ DCE的周长最小，故而可得出当AD⊥BC，即点D是BC中点时， △ DCE的周长最小。
24．在直角坐标系中，已知点，，且a是的立方根，方程是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，连交x轴于点E，问是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的纵坐标的范围，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若线段向上平移2个单位长度，点G为x轴上一点，点为第一象限内一动点，连、、，若的面积等于由、、、四条线段围成图形的面积，求点G的横坐标（用含n的式子表示）．
【答案】（1），，．
（2）解：存在D点使得．
理由：连交y轴于F，连接．
设点D的纵坐标为，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴点F的坐标为，
∴，
由题意得，， 解得，，
∵D在y轴负半轴上，
∴，
∴D的纵坐标的取值范围是．
（3）解：如图，过作于，而，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵线段向上平移2个单位长度，
∴，，
如图，作轴于H，延长交x轴于K， 连接，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当点G在点K右侧时，设， 而，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
当点在K的左边时，的面积也等于四边形的面积，
同理可得：，
综上所述，满足条件的点的横坐标为或．
【知识点】二元一次方程的概念；解一元一次不等式组；坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】（1）∵ a是-8的立方根
∴ a=-2
∴ A（-2，0）
∵方程是关于x，y的二元一次方程
∴
解得：b=2，c=4
∴ B（2，4）
∵d为不等式组的最大整数解．
∴
∴ d=5
∴ C（5，0）
则 A（-2，0），B（2，4）， C（5，0）
【分析】本题考查二元一次方程的定义、解不等式组、铅锤法表示三角形面积及动点求图形面积。（1）通过立方根、二元一次方程的定义和不等式组的特殊解，求出三个点的坐标即可；
（2）根据得，即，根据三个点的坐标计算得， 则， 可知， 则得D的纵坐标的取值范围；
（3） 作轴于H，延长交x轴于K， 连接，，可得，可得.
当点G在点K右侧时，设， 而，根据， 有， 得， 则，
当点在K的左边时，的面积也等于四边形的面积， 得：，
综上所述，满足条件的点的横坐标为或．
25．如图，将一副直角三角板的两直角边AC与CE重合（其中，），三角板ACD固定，三角板BCE绕点C顺时针旋转．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）当三角板BCE的边与AD平行时，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
又，
；
（2）证明：，，
，
又，
；
（3）解：①如图，当时，
，
，
；
②如图，当时，
，
，
，
，
；
③如图，当时，延长BC交AD于M，
，
，
，
，
，
综上所述，或或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据α=50°可得∠ACE=50°，然后根据∠ACB=∠ACE+∠BCE进行计算；
（2）易得∠ACD+∠BCD+∠DCE=180°，然后结合∠ACD+∠BCD=∠ACB进行计算；
（3）①当AD∥BC时，由平行线的性质可得∠D=∠BCD=30°，然后根据∠DCE=∠BCE-∠BCD进行计算；②当AD∥CE时，由平行线的性质可得∠A+∠ACE=180°，结合∠A的度数可得∠ACE的度数，然后根据∠DCE=∠ACE-∠ACD进行计算；③当AD∥BE时，延长BC交AD于M，由平行线的性质可得∠AMC=∠B=45°，由外角的性质可得∠AMC=∠D+∠DCM，据此求出∠DCM的度数，由平角的概念可得∠DCE=180°-∠DCM-∠BCE，据此计算.
26．在数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，已知直线ABCD，将三角形纸片EFG的顶点E放到直线AB上，点F落在直线AB与CD所夹区域的内部，FG与CD交于点H，试探究∠EFH，∠BEF，∠DHF之间的数量关系．“兴趣小组”给了如下探究思路：过点F作FTAB．因为ABCD，∴FTCD．∴∠BEF＝∠TFE，……
（1）数学思考：请你根据“兴趣小组”的探究思路，直接写出∠EFH，∠BEF，∠DHF之间的数量关系： ．
（2）问题解决：“智慧小组”把老师提出的问题作了如下变式：将三角形纸片EFG如图2所示放置，使得点F落在AB，CD区域的外部，FG与AB，CD分别交于点M，H．试探究∠EFH，∠BEF，∠DHF之间的数量关系．请你类比“兴趣小组”的探究思路，解决智慧小组提出的问题．
（3）结论运用：如图3，直线ABCD，∠PND＝75°，∠EPF＝35°，∠PQM＝95°．请你运用问题（1），（2）得到的结论，求∠QMC的度数．
【答案】（1）∠EFH=∠BEF+∠DHF
（2）解：过点F作FN∥AB，
则∠NFM＝∠AMH，∠NFE＝∠BEF．
∵AB∥CD，FN∥AB，
∴NF∥CD，
∴∠DHF＝∠AMH＝∠NFM．
∵∠NFM＝∠NFE+∠EFH，
∴∠DHF＝∠EFH+∠BEF．
（3）解：由（2）可知，∠PND＝∠BEP+∠EPF．
∵∠PND＝75°，∠EPF＝35°，
∴∠PEF＝∠PND﹣∠EPF＝75°﹣35°＝40°．
∴∠AEQ＝∠PEF＝40°．
由（1）可知，∠PQM＝∠AEQ+∠QMC，
∵∠PQM＝95°，
∴∠QMC＝∠PQM﹣∠AEQ＝95°﹣40°＝55°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点F作FT∥AB．因为AB∥CD，
∴FT∥CD．
∴∠BEF＝∠TFE，
∠EFH=∠BEF+∠DHF，
故答案为：∠EFH=∠BEF+∠DHF；
【分析】（1）先求出FT∥CD，再求出∠BEF＝∠TFE，，最后求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）先求出 ∠AEQ＝∠PEF＝40°，再求解即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
