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上海市八年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12 C． D．
2．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+2 B．4 C．4 D．6
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点的坐标为，点的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH= EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（ ）
A．从甲到乙地共24千米
B．小帅的骑车速度为8千米/小时
C．小泽出发0.5小时后小帅才出发
D．当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．一次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
2
0
下列结论中：①方程的解为；②若，则；③若的解为，则；④若关于的不等式的解集为，则．一定正确的是 ．
8． 菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上. ∠ABC＝120°，点A(－6，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 .
9．如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
10．等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ．
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD上，且与BF交于点，若四边形OFCE的面积为3，则 .
12．如图，直线AB交反比例函数的图象于A，B两点，（点A，B在第一象限，且点在点的左侧），交轴于点，交轴于点，连结BO并延长交该反比例函数图象的另一支于点，连结AE交轴于点，连结BF，OA，且.
①若，则 .
②若，则的值为 .
13．在矩形 中， ，对角线 、 交于点 ， 为 上一点，且 ．将 绕点 顺时针旋转，使点 恰好落在点 处，点 落在点 处，那么点 与点 的距离为 ．
14．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为 .
15．如图，菱形ABCD中，对角线 分别是BC，CD中点，P是线段BD上的一个动点，则 的最小值为 .
16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1，如图所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 .
17．已知一次函数 为常数），当x＜2时，y＞0，则 的取值范围为 ．
18．如图，直线 与坐标轴相交于点 ，将 沿直线 翻折到 的位置，当点 的坐标为 时，直线 的函数解析式是 ．
三、解答题（本大题共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．解方程组 ．
20．解方程组： ．
21．关于x的方程： － ＝1.
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
22．．
23．在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，四边形为菱形，．，，．
（1）点坐标为 ，四边形的面积为 ；
（2）如图，点在线段上运动，为等边三角形．
求证：，并求的最小值；
点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标若变化，请说明理由．
25．如图：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B 两点，直线与直线交于点C ．
（1）求C 点坐标；
（2）在 x 轴上有一点 D ， D 在 B 的右侧，若，求 D 点坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点E的坐标为，若在y轴上存在一个点F，使得是等腰三角形，请直接写出点 F 坐标．
26．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0，k为常数，x>0)的图象经过正方形ABCO的顶点B，点A的坐标是(0，1).点D在线段OA上，点E在射线OC上，以BD，DE为边的平行四边形BDEF的顶点F恰好在该反比例函数的图象上
（1）求k的值：
（2）若点D的坐标是(0，)，求点E的坐标：
（3）如图2，当点E在OC的延长线上时，连结BE若BD⊥BE，BD=BE.求点D的坐标.
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上海市八年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12 C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】如图所示：
连接AC、BO交于点F，连接AD、BE交于点O，连接OF
∵ 四边形ABCD为矩形，B(10，2)
∴ F为矩形的中心
根据中点坐标公式，可得 F（5，1）
∵∵ 四边形ABDE为菱形，D(16，10)
∴O为菱形的中心
根据中点坐标公式，可得 O（8，6）
∴ OF所在直线l平分矩形ABCD和菱形ABDE的面积
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），过点 F（5，1），O（8，6）
∴
解得：
∴ 直线l的解析式为
故答案为C
【分析】本题考查中点坐标公式、矩形和菱形性质及待定系数法求一次函数解析式。根据直线l把两个图形的面积平分，可知直线l一定过两个图形的对角线的交点，则求出两个图形的对角线的交点坐标是关键。
2．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+2 B．4 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连结BD、DE，如图
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可
∵四边形ABCD是菱形
∴AC与BD互相垂直平分
∴P′D=P′B
∴PB+PE的最小长度为DE的长
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB=60°
∴△BCD是等边三角形，AE⊥BC
又∵菱形ABCD的边长为4
∴BD=4，BE=2，DE=2
∴DE=
=
=2
∴△PBE的最小周长=BE+DE=2+2
故答案为：A.
【分析】连结BD、DE，因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可；由菱形的性质可得AC与BD互相垂直平分，进而得到PB+PE的最小长度为DE的长，根据勾股定理求出DE的长，进而可求出△PBE的最小周长。
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点的坐标为，点的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接OB，OB的中点为M，的中点为N，多点D作BQ⊥x轴，垂足为Q，点B坐标为（6，），
∴AQ=6-4=2，，∠BAQ=∠COA=60°.
根据翻折的性质可知，对角线OB翻折后，落在y轴上.
在Rt△OBQ中，OB=
∴
∴N（0，），
由中点坐标公式得：M（3，）
设MN所在直线的解析式为y=kx+b，代入M、N的坐标得：
解得，
∴MN所在直线的解析式为
∵平行四边形是中心对称图形
∴过MN的直线平分六边形的面积.
∴直线l的解析式可以为：
又∵将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形
∴OC所在的直线也平分六边形的面积.
过点C作CP⊥x轴，垂足为点P，在Rt△OPC中，CP=BQ=，∠COB=60°，
∴OP=2
∴点C坐标为（2，）
设OC所在直线的解析式为y=kx，将点C坐标代入得
，解得k=
∴OC所在直线的解析式为y=x.
综上所述，直线l的解析式为y=x或.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形是中心对称图形，过中心点的直线平分图形的面积，以及图形对称轴所在直线平分图形的面积，即可找出直线了所在的位置，再求出直线l的解析式即可.
4．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH= EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接FG，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴OD＝AD
∵点E为OA中点
∴ED⊥CA，故①符合题意；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝ AB，S△OEF＝ S△AOB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝ CD
∴EG＝ CD
∴EF＝EG，故②符合题意；
∵EF∥CD，EF＝DG
∴四边形DEFG是平行四边形
∴EH＝HG
即 ，故③符合题意；
∵S△AOB＝S△AOD＝ S ABCD，S△ACD＝ S ABCD，
∴S△OEF＝ S ABCD，
∵AE＝OE
∴S△ODE＝ S△AOD＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，
∵
∴CE＝ AC
∴S△CDE＝ S△ACD＝ S ABCD，
∵CG＝DG
∴S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△CEG，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝ AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝ CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得 ；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝ S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，再根据E、G分别是OA、CD中点，可得S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．
6．小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（ ）
A．从甲到乙地共24千米
B．小帅的骑车速度为8千米/小时
C．小泽出发0.5小时后小帅才出发
D．当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、纵轴表示的是小帅与小泽从甲地出发前往乙地，距甲地的距离y，且最小值为0千米，最大值都为24千米，
甲、乙两地的距离为：（千米）；不符合题意；
B、由图可知小帅从甲地匀速行驶前往乙地，小泽行驶1小时后，小帅从距离甲地8千米的地方继续匀速行驶，小泽行驶2小时后到达终点，此时距离甲地24千米，
（千米小时），符合题意；
C、（千米小时），
小帅行驶8千米所用的时间为：（小时），
小帅出发前，小泽行驶的时间为：（小时），即小泽出发0.5小时后小帅才出发，不符合题意；
D、小泽出发0.5小时时，行驶了8千米，之后匀速行驶，行驶了2.5小时后，到达终点，此时距离甲地24千米，
小时后（千米小时），
当小帅到达终点时，小泽一共行驶了2小时，
（千米），
小泽一共行驶了：（千米），则小泽距离乙地还有：（千米），不符合题意，
故答案为：B．
【分析】A.观察图形，从y轴的最大值与最小值的差可知甲乙两地的距离；
B.小帅的运动图象过点（1，8）和（2，24），可求出小帅的速度；
C.利用，可求出小帅行驶8千米所用的时间，进而可求小帅出发前，小泽行驶的时间；
D.利用关键点（0.5，8）和（2.5，24）可求小泽行驶8km时的速度，然后求出行驶2小时时距离乙地的距离，进而求得小泽距离乙地的距离。
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．一次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
2
0
下列结论中：①方程的解为；②若，则；③若的解为，则；④若关于的不等式的解集为，则．一定正确的是 ．
【答案】①②④
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：① 一次函数 ，由表格数据知：当y=0时x=2，
∴ 方程的解为 ，故①正确；
② 若，则一次函数经过一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴，故②正确；
③由y=0.5x-1中，当y=0时，x=2，
∴直线y=0.5x-1与都经过（2，0），
由图象可知：当x＞2时，直线y=0.5x-1的图象在直线图象的上方，
∴m＞-1，故③错误；
④∵ 关于的不等式的解集为 ，
∴直线与y=x的交点为（，），
把（2，0）（，）代入中，得，
解得：m=-2，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】由表格知数据直接判断①；由可知一次函数经过一、二、四象限，据此确定m、n的符号，据此判断②；当x＞2时，直线y=0.5x-1的图象在直线图象的上方，可确定m＞-1，据此判断③；由关于的不等式的解集为 ，可确定直线与y=x的交点为（，），利用待定系数法求出m值，即可判断④.
8． 菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上. ∠ABC＝120°，点A(－6，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP、BE，
A(－6，0)，
，
在菱形ABCD中， ∠ABC＝120°，
，，OD=OB，，，，
，，是等边三角形，
，
点E是CD的中点，
，，
，
，
周长的最小值是.
故答案为：.
【分析】利用将军饮马模型可判定当B、P、E三点在同一直线时，△PDE的周长有最小值，先利用菱形的性质求得是等边三角形，边长为，再通过等边三角形的性质求得BE的长度，然后求得△PDE的周长最小值.
9．如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
【分析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，首先根据GF是△EBH的中位线，可得BH=2GF，即可得出，当BH最小时，GF也最小，根据垂线段最短，知道当BH⊥AH时，GF最小，此时，根据平行四边形的性质，可以得出△AEH是等边三角形，△ABH是等腰直角三角形，从而得到AH=，进一步根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF的值即可。
10．等腰梯形中，对角线的夹角为，中位线长为6，则梯形面积为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；等腰梯形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如下图所示：作OE⊥AB于点E，反向延长交CD于点F，
①当∠AOB =∠COD=60°时，
∵等腰梯形ABCD中，中位线长为6，
∴OA=OB，OC=OD，AB+CD=2x6=12，
∵∠AOB= ∠COD=60°，
∴△AOB、△COD都是等边三角形，
设AB=a，则CD=12-a，
∴AE=AB=a，CF=CD=(12-a)，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∴S梯形ABCD=(AB+CD)·EF=；
②当∠COB=∠AOD=60°时，
∴∠AOB= ∠COD=120°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC=30°，
设AB=x，则CD=12-x，
同理可得：，，
∴，
∴S梯形ABCD=(AB+CD)·EF=；
综上所述：梯形面积为： 或 .
【分析】结合图形，分类讨论，利用等腰梯形的性质，梯形中位线和梯形的面积以及勾股定理等计算求解即可。
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，CD上，且与BF交于点，若四边形OFCE的面积为3，则 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：正方形ABCD的边长为4，
，，
，
，
，
，，，
，，，
，，
四边形OFCE的面积为3，
，
，
，
，
∴OF-OE=2
故答案为：2.
【分析】先利用正方形的性质通过SAS判定，进而证出是直角三角形，通过全等三角形的性质求得的面积表示出AO、BO的平方和与乘积的值，然后由完全平方公式求得两边的差，利用全等三角形的性质可得OF-OE的长度.
12．如图，直线AB交反比例函数的图象于A，B两点，（点A，B在第一象限，且点在点的左侧），交轴于点，交轴于点，连结BO并延长交该反比例函数图象的另一支于点，连结AE交轴于点，连结BF，OA，且.
①若，则 .
②若，则的值为 .
【答案】；10
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】①先设点A，B的横坐标分别为a，b，代入反比例函数可得A，B，
则可求出AB直线的方程为，
将x=0代入方程，
可得到点D，
又因为AB=AD，
所以，
化简得b=2a，，，，，
②因为B，E关于点O对称，则点E坐标为，
可以求出AC直线的方程为，
将x=0代入方程得到点F坐标为，
根据上题中b=2a，得，，
则k=10.
故答案为：；10.
【分析】①本题主要考查反比例函数，一次函数的求解，首先设点A，B的坐标，可求出AB直线的方程，从而表示出点D的坐标，化简可得；②与上题同理，利用点A.E求出AE直线的方程，可表示出点F的坐标，从而求得k的解。
13．在矩形 中， ，对角线 、 交于点 ， 为 上一点，且 ．将 绕点 顺时针旋转，使点 恰好落在点 处，点 落在点 处，那么点 与点 的距离为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵S△BMD=2S△AMD．
∴BM=2AM，
由旋转的性质可知：AD=AO，
由矩形的性质可知：AO=OD，
∴△AOD为等边三角形，
在Rt△ABD中，AB=AD tan60°=3 ，
∴AM= AB= ，
∴BM=2AM=2 ，
又旋转角∠MAN=∠DAO=60°，AM=AN，
∴△AMN为等边三角形，
∴AM=AN=MN，
作NH⊥AM于点H，
∴AH=HM= AM= ，
∴NH= ，BH=BM+HM= ，
在Rt△NBH中，根据勾股定理，得
BN= = ．
故答案为： ．
【分析】先求出△AOD为等边三角形，再求出AM=AN=MN，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．如图，四边形是平行四边形，，，点在上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，点，点在同条直线上，则的值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
，
设，，
，
，，
由翻折可得，，，，
过点任于，
，
，，
，
，
设，过作于，
则，，
在直角三角形中，，，
，
，
，
延长、交于点，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质以及已知条件可设AB=CD=k，则AD=BC=6k，CF=2k，BF=4k，由折叠的性质可得FC=FG=2k，EG=EC，∠EGF=∠C=60°，过点F作FM⊥BE于点M，易得∠GFM=30°，然后表示出GM、FM、BM、BG，设CE=GE=x，过E作EN⊥BC于N，表示出CN、EN、BN、BE，结合勾股定理可得x，延长NE、AD交于点T，表示出DT、TE、AT、AE，据此求解.
15．如图，菱形ABCD中，对角线 分别是BC，CD中点，P是线段BD上的一个动点，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P′，连接MP′，
当P点与P′重合时，MP＋NP＝MP′＋NP′＝QP′＋NP′＝NQ的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
设AC与BD的交点为点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝ AC＝2，OB＝ BD＝3，
∴BC＝ ＝ ，
∴PM＋PN的最小值是 ，
故答案为： .
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交交BD于P′，连接MP′，当P点与P′重合时，MP＋NP＝MP′＋NP′＝QP′＋NP′＝NQ的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC长，即可得出答案.
16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1，如图所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 .
【答案】1或7
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：CD＝DE+EC＝3+1＝4，则正方形ABCD的边长是4.
在直角△ADE中，根据勾股定理得：AE＝ ＝ ＝5.
如图，
①当线段AE顺时针旋转到BC上的F1点时，AF1＝AE＝5，
在直角△ABF1中，BF1＝ ＝ ＝3.
∴F1C＝BC﹣BF1＝4﹣3＝1；
②当线段AE顺时针继续旋转到BC上的F2点时，同理可得BF2＝3，则F2C＝3+4＝7.
故答案为：1或7.
【分析】首先在直角△ADE中利用勾股定理求得AE的长，然后分两种情况进行讨论：如图，①当线段AE顺时针旋转到BC上的F1点时，在直角△ABF1中利用勾股定理求得BF1的长，进而可求得F1C；②同理可以求得旋转到F2时，F2C的长.
17．已知一次函数 为常数），当x＜2时，y＞0，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】当y=0时， ，
解得 ，
∵x＜2时，y＞0，
∴2m-1＜0， ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】根据x＜2时，y＞0，得出图象2m-1＜0， ，从而得出m的取值范围．
18．如图，直线 与坐标轴相交于点 ，将 沿直线 翻折到 的位置，当点 的坐标为 时，直线 的函数解析式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设A（0，y），B（x，0）
则AC2= ，根据题意OA=AC=y
所以可得 解得y=2
再根据BC2= ，根据题意OB=BC=x
所以可得 解得x=2
所以可得A（0，2 ）B（2，0）
采用待定系数法可得 即
所以一次函数的解析式为
故答案为
【分析】首先设A（0，y），B（x，0）进而计算AC的长度，可列方程求解y的值，同理计算BC的长度列出方程即可计算x的值，进而确定直线AB的解析式.
三、解答题（本大题共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．解方程组 ．
【答案】解：
由①，得(x﹣y)2＝16，
所以x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
由②，得(x+3y)(x﹣3y)＝0，
即x+3y＝0或x﹣3y＝0
所以原方程组可化为：
， ， ，
解这些方程组，得
， ， ， ．
所以原方程组的解为： ， ， ， ．
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
20．解方程组： ．
【答案】解： ，
由②，得 ，
或 ③，
由③和①组成方程组 ， ，
解得： ， ，
所以原方程组的解是 ，
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】利用二元二次方程的解法求解，先将方程转化成二元一次方程，再求解即可。
21．关于x的方程： － ＝1.
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
【答案】（1）解：当a＝3时，原方程为 － ＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
（2）解：方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将a=3代入题干的方程得 － ＝1，然后方程的两边都乘以（x-1）约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再验根即可得出原方程的解；
（2）先求出增根是x＝1，然后方程的两边都乘以（x-1）约去分母将分式方程转化为整式方程，代入x＝1即可求出a的值.
22．．
【答案】解：，
①-②得③，即，
把代入②得，
整理得，
∴或，
和③组成方程组，和，
解，得，无实数解，
，得，．
故方程组的解为，．
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组求解即可。
23．在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
24．如图，四边形为菱形，．，，．
（1）点坐标为 ，四边形的面积为 ；
（2）如图，点在线段上运动，为等边三角形．
求证：，并求的最小值；
点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标若变化，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：证明；如图中，设交于．
四边形是菱形，
，，，
，
，
，都是等边三角形，
，
，
，，
≌．
，
当时，的值最小，
，，
，
在中，
，
的最小值为；
解：不变．
理由：过点作于，
≌，
，．
，
≌，
，
点的横坐标为，不变．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
∵ 四边形ABCD为菱形，B（-，0），C（，0）
∴ AB=BC=AD=
过点A作AE⊥x轴于E
∴ 四边形AEOD为矩形
∴ AD=EO=
∵ ∠ABC=120°
∴ ∠ABE=60°
∴ AE=3
∴ A（-，3）
【分析】本题考查菱形性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质和三角形全等的判定。（1）根据菱形的性质，结合勾股定理，易得点A的坐标和四边形ABOD的面积；（2） 连接BD交AC于J，结合菱形的性质和 为等边三角形 ，易证≌，则可得AF=BE。求AF最小值，即求BE的最小值，BE的最小值为，可得AF最小值为； 过点F作FH⊥AD于H，可证≌，得DH=DJ=，是定值。此题构造三角形，证明全等，得出替换线段是关键。
25．如图：在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B 两点，直线与直线交于点C ．
（1）求C 点坐标；
（2）在 x 轴上有一点 D ， D 在 B 的右侧，若，求 D 点坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点E的坐标为，若在y轴上存在一个点F，使得是等腰三角形，请直接写出点 F 坐标．
【答案】（1）解：联立直线和得，
解得，
；
（2）解：设点的横坐标为，如图，
直线与坐标轴交与A，两点，
∴把代入得：，
把代入得，
解得：，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
（3）或或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）∵ ， ，
∴ ；
如图所示：当 时，
∵ ，
∴ ，
∴点F的坐标为 ；
如图所示：当 ，点F在点A下面时，
∵ ， ，
∴ ，
∴点F的坐标为 ；
如图所示：当 ，点F在点A上面时，
∵ ， ，
∴ ，
∴点F的坐标为 ；
如图所示：当时，
设 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴点F的坐标为 ；
综上所述：点F的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求点C的坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再利用三角形的面积公式求出m=1，最后求点D的坐标即可；
（3）利用勾股定理求出AE的值，再分类讨论，根据等腰三角形的性质，结合图形计算求解即可。
26．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0，k为常数，x>0)的图象经过正方形ABCO的顶点B，点A的坐标是(0，1).点D在线段OA上，点E在射线OC上，以BD，DE为边的平行四边形BDEF的顶点F恰好在该反比例函数的图象上
（1）求k的值：
（2）若点D的坐标是(0，)，求点E的坐标：
（3）如图2，当点E在OC的延长线上时，连结BE若BD⊥BE，BD=BE.求点D的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形ABCO是正方形，点A的坐标是(0，1)
∴OA=OC= 1
即点B的坐标是(1，1)
∴k=1
（2）解：过点F作FG⊥x轴于点G，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠BAD=∠EGF=90°，AO// BC// FG
∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD// EF， BD=EF
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠1，
∴△BAD≌△EGF (AAS)
当 时， ， 解得
即点的坐标
（3）解：过点F作FG⊥x轴于点G，
易证△BAD≌△BCE≌△EGF
则AB=BC=EG=1， AD=CE=FG
设AD=a，则F (2+a， a)
代入反比例函数得(2+a) a=1
解得 (舍去)
即点的坐标
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标结合正方形的性质可得OA=OC=1，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）过点F作FG⊥x轴于点G，由正方形的性质可得∠BAD=∠EGF=90°，AO// BC// FG，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠4=∠3，由平行四边形的性质可得BD// EF， BD=EF，则∠2=∠3，进而推出∠4=∠1，利用AAS证明△BAD≌△EGF，得到FG=AD=，EG=AB=1，令反比例函数解析式中的y=，求出x的值，即为OG，然后求出OE的值，进而可得点E的坐标；
（3）过点F作FG⊥x轴于点G，易证△BAD≌△BCE≌△EGF，则AB=BC=EG=1， AD=CE=FG，设AD=a，则F (2+a， a)，代入反比例函数解析式中可得a的值，然后求出OD，据此可得点D的坐标.
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