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沪科版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 ．反之，当n为非负整数时，如果 时，则 ，如 ， ， ， ，…若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5
4．已知a、b、c满足 ， ，若a、b、c都为非负数，设 ，求y的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．n≤
C．n≤ D．n≤
6．若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范围是（ ）
A． ≥1 B． ＞1 C． ≤ D． ＜
7．如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
8．如图所示，与∠α构成同位角的角的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如右图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则 ＝2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为 ．
12．若，且，则代数式的值为 ．
13．如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
14．计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ．
15．已知 ＝ ，则 ＝ ．
16．如图，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E，F，EG平分∠AEF，EG⊥FG于点G，若∠BEM=60°，则∠CFG= ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b=a+2b；当a＜b时，a*b=a-2b.
例如：3*（-4）=3+（-8）=-5，（-6）*12=-6-24=-30
（1）填空：（-4）*3= .
（2）若（3x-4）*（x+6）=（3x-4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x-7）*（3-2x）＜-6，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2-4x+8）*（x2+2x-2）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是-4，小丽告诉小明计算错了，问小丽是如何判断的.
18．已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
19．如图，已知，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
20．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
21．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
22．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
23．已知：如图1，直线AB、CD被直线MN所截，且AB∥CD，点E在直线AB、CD之间的线段MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）小明探究发现：∠PEQ＝∠APE+∠CQE，请你帮小明说明理由；
（2）如图2，已知，若∠PEQ＝80°请你利用小明发现的结论求∠PFQ的度数；
（3）如图3，若，请你直接写出∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系．
24．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ▲ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ▲ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ▲ ．
（1）请补全小明的解法；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
（3）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
25．同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG， 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
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沪科版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
=，
当n=4时，，
当n=5时，，
当n=6时，，
当n=7时，，
则，
故更接近；
故答案为：A.
【分析】先利用“裂项法“对已知分式变形化简，再分别将n取4，5，6和7代入计算，即可得出答案.
2．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
3．对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 ．反之，当n为非负整数时，如果 时，则 ，如 ， ， ， ，…若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：解不等式组 ，解得： ，
由不等式组的整数解恰有 个得： ，
故 ，
故答案为：D．
【分析】将 a 看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
4．已知a、b、c满足 ， ，若a、b、c都为非负数，设 ，求y的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；二元一次方程组的其他应用；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =3c-3，
∵a、b、c都为非负数，
∴ ，
∴2≤c≤9，
∴3≤3c-3≤24，
∴3≤y≤24．
故答案为：C．
【分析】由 和 关系式可以用c来表示a和b，进而可以用c来表示y，再根据a、b、c为三个非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，可以求得c的取值范围，最后根据c的取值范围来确定y的取值范围．
5．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
A．n≤m B．n≤
C．n≤ D．n≤
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
去括号得：1﹣n%+m%﹣ ﹣1≥0，
整理得：100n+mn≤100m，
故n≤ ．
故答案为：B．
【分析】标价比成本价高m%可表示为a（1+m%），降价n%可表示为a（1+m%）（1﹣n%），不亏本可表示为a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，去括号整理得n的不等式n≤ ．
6．若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范围是（ ）
A． ≥1 B． ＞1 C． ≤ D． ＜
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】 ，
由①得，x＞a，
由②得，x＜1，
∵此不等式组无解，
∴a 1.
故答案为：A.
【分析】先分别解一元一次不等式组中的不等式，再根据数轴或特殊解得出结论。
7．如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，
由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.
【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。
8．如图所示，与∠α构成同位角的角的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．同时，同位角的边构成“F“形，由此可判断，与∠α构成同位角的角为∠ACD，∠FAC，∠FAE.
【分析】考查了同位角的知识，正确且熟练掌握同位角的定义和形状，是解题的关键．
9．如右图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则 ＝2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵∠A+∠AHP＝180°，
∴AB∥PH，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
②∵AB∥PH，CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH， ∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF，
∵ PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP=2∠EPG，
故②正确；
③∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，
故③错误；
④∵∠AGP=∠PHG+∠HPG，∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠HPG=∠FPG，∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠HPG+∠DFP-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠HPG+∠FPH-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠FPG-∠FPG，
=∠A+∠PHG，
=180°，
故④正确；
⑤ ∠BEP-∠DFP=∠EPH-∠FPH=（∠EPG+∠GPH）-∠FPH=∠FPG+∠GPH-∠FPH，
=∠GPH+∠GPH=2∠GPH，
∴，
故⑤正确，
∴ 正确结论的个数是4个.
故答案为：C.
【分析】 根据AB∥CD，PH∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论.
10．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：因为不等式组有解，所以解不等式组，得 m＜x＜3，∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为-1，0，1，2，∴.
故答案为：.
【分析】先求得不等式组的解集，再根据“恰有四个整数解”，得出m的取值范围.
12．若，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
13．如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】
解：
∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠CGE=，
∴∠AEG＝180°-∠BEG＝180°-，
∵CE平分∠AEG，∴∠CEG＝∠AEC＝（180°-）＝90°- ， ①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠GED＝∠CED-∠CEG＝90°-（90°-）=
∴DE平分∠GEB。②正确；
∵∠CEF＝∠AEF-∠AEC＝90°-（90°-）＝
∴∠CEF＝∠GED， ③正确；
∵∠FED+∠CEF＝∠CED＝90°， ∠AEC+∠CEF＝∠AEF＝90°
∴∠FED＝∠AEC，
∴∠FED+∠BEC＝∠AEC+∠BEC＝180°，∴④正确。
故答案为：①②③④
【分析】根据平行线的性质推导出∠BEG＝∠CGE，再结合角间关系验证各结论。
14．计算：3（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1，它的结果的个位数字是 ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）-1
=264-1-1
=264-2，
∵2的尾数是2，
22=4的尾数是4，
23=8的尾数是8，
24=16的尾数是6，
25=32的尾数是2，
…
其尾数为：2，4，8，6不断的循环，
∵64÷4=16，
∴264的尾数为6，
∴264-2的个位数字为：6-2=4．
故答案为：4．
【分析】将3转换为（22-1），再利用平方差公式进行运算，即可得出结果。
15．已知 ＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
16．如图，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E，F，EG平分∠AEF，EG⊥FG于点G，若∠BEM=60°，则∠CFG= ．
【答案】60°
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=∠BEM=60°，
∴∠CFE=120°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF= ∠AEF=30°，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF=90°，
∴∠GFE=90°﹣∠GEF=60°，
∴∠CFG=∠CEF﹣∠GFE=60°．
故答案为：60°．
【分析】首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b=a+2b；当a＜b时，a*b=a-2b.
例如：3*（-4）=3+（-8）=-5，（-6）*12=-6-24=-30
（1）填空：（-4）*3= .
（2）若（3x-4）*（x+6）=（3x-4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x-7）*（3-2x）＜-6，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2-4x+8）*（x2+2x-2）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是-4，小丽告诉小明计算错了，问小丽是如何判断的.
【答案】（1）-10
（2）x≥5
（3）解：由题意知 ①或 ②，
解①得：x＞5；
解②得：x＜1；
（4）解：若2x2-4x+8≥x2+2x-2，则原式=2x2-4x+8+2（x2+2x-2）
=2x2-4x+8+2x2+4x-4
=4x2+4；
若2x2-4x+8＜x2+2x-2，则原式=2x2-4x+8-2（x2+2x-2）
=2x2-4x+8-2x2-4x+4
=-8x+12，
∴小明计算错误.
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）（-4）*3=-4-2×3=-10，
故答案为：-10；
（ 2 ）∵（3x-4）*（x+6）=（3x-4）+2（x+6），
∴3x-4≥x+6，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5.
【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x-4≥x+6，解之可得；（3）由题意可得 或 ，分别求解可得；（4）计算（2x2-4x+8）*（x2+2x-2）时需要分情况讨论计算.
18．已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的基本性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
19．如图，已知，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
【答案】（1）解：如图1，过点E作直线ENAB，
∵ABCD，
∴ENCD，
∴，，
∴；
（2）解：∵AH平分∠BAE，
∴，
①∵HF平分∠DFG，
设，
又，
∴，
又，，
∴，
如图2，过点H作，
∴，
∴；
②（或）．
②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，
过点H作l∥AB，
∴∠AHF-y+∠CFH=180°，
即∠AHF-y+90°-x=180°，
∴∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°．）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ENCD， 再利用平行线的性质证明求解即可；
（2）①根据平行线的性质先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
②先求出 ∠AHF-y+∠CFH=180°， 再求出 ∠AHF=90°+（x+y）， 最后证明求解即可。
20．阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：如图2，过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）解：①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF=n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=n°+30°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°-∠ABE，∠CDE＝∠DEF
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF＝180°-n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=180°-n°+30°=-n°+210°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
故答案为：∠EAB，∠DAC.
【分析】（1）过点A作ED∥BC，根据平行线性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，据此填空即可；
（2）如图2，过C作CF∥AB，易得CF∥AB∥DE，从而得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，等量换即可得∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）分两种情况：①如图3，过点E作EF∥AB；②如图4，过点E作EF∥AB，根据平行线性质分别表示出∠BEF与∠ABE的关系，∠DEF与∠CDE的关系，再根据角平分线定义得∠ABE＝n°，∠CDE＝30°，从而求得∠BEF和∠DEF的度数，再由∠BED＝∠BEF+∠DEF，代入数据计算，即可求解.
21．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】（1）解：设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
，解得．
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．
（2）解：设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品（100- m）件，则
750≤10m+5（100-m）≤764，
解得50≤m≤52.8，
∵m为正整数，
∴m=50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）解：设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，
则y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．
∵商家出售的纪念品均不低于成本，
，即0≤a≤5．
①若2a-5＞0即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而增大．
此时购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大．
②若2a-5＜0，即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而减小．
此时购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大．
③若2a-5=0，即时，则y=250，为常数函数，
此时三种进货方案获利相同．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，根据题中的相等关系“A种纪念品8件的价格+B种纪念品3件的价格=95；A种纪念品5件的价格+B种纪念品6件的价格=80”可列关于x、y的方程组求解；
（2）设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品（100- m）件，根据题中的不等关系“购买m件A种纪念品的价格+购买（100- m）件B种纪念品的价格≤764，购买m件A种纪念品的价格+购买（100- m）件B种纪念品的价格≥750”可得关于m的不等式组，解之可求得m的取值范围，根据m取正整数可得进货方案；
（3）设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，根据所获利润=单件A种纪念品的获利×件数+单件B种纪念品的获利×件数可得y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a；由题意可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围0≤a≤5，结合已知可分三种情况讨论求解：①若2a-5＞0时，根据一次函数的性质可求解；②若2a-5＜0时，根据一次函数的性质可求解；③若2a-5=0时，则y=250，为常数函数，综合这三种情况可求解.
22．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）a2+ b2＝（a+b）2-2ab
（2）解：由（1）得，a2+ b2＝（a+b）2-2ab，∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+ b2＝72-2×10=29 ；
（3）解：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，∵AC+BC=8， S1+S2＝40，∴a+b＝8，a2+b2＝40，∵a2+ b2＝（a+b）2-2ab，∴40＝64-2ab，∴ab＝12， ∴阴影部分的面积为ab＝6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2-2ab．∴等量关系为a2+ b2＝（a+b）2-2ab；
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可得到答案；
（2）利用（1）的结论，将数据代入计算即可；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，可得a+b＝8，a2+b2＝40，再利用（1）的结论将数据代入计算即可。
23．已知：如图1，直线AB、CD被直线MN所截，且AB∥CD，点E在直线AB、CD之间的线段MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）小明探究发现：∠PEQ＝∠APE+∠CQE，请你帮小明说明理由；
（2）如图2，已知，若∠PEQ＝80°请你利用小明发现的结论求∠PFQ的度数；
（3）如图3，若，请你直接写出∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图 1，作EH∥AB．
∵AB∥CD，
∴EH∥AB∥CD．
∴∠1＝∠APE，∠2＝∠CQE，
∴∠1+∠2＝∠APE+∠CQE，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
（2）解：如图2，
由（1）的结论得∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝80°，
∴∠EPB+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝280°．
∵∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，
∴∠FPB+∠FQD＝（∠EPB+∠EQD）＝140°，
由（1）的结论得∠PFQ＝∠FPB+∠FQD＝140°；
（3）解：结论：∠PEQ+3∠PFQ＝360°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：结论：∠PEQ+3∠PFQ＝360°
证明：如图3中，设∠FPB＝y，∠FQD＝x．
∵∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，
∴∠EPB＝3x，∠EQD＝3y，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠EPB+∠EQD）＝360°﹣3（x+y），
由（1）的结论得∠PFQ＝∠FPB+∠FQD＝x+y，∠PEQ＝∠1+∠2，
∴∠PEQ＝360°﹣3∠PFQ，即∠PEQ+3∠PFQ＝360°．
【分析】(1)作EH∥AB，得到EH∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠1=∠APE，∠2=∠CQE，根据角的和差关系可得结论；
(2)根据(1)的结论得到∠PEQ= 80°，利用平行线的性质得到∠EPB+∠EQD=280°， 根据角平分线定义，结合利用(1)的结论，即可得出结果；
(3)设∠FPB=y，∠FQD=x，根据邻补角的定义得到∠1+2=360°-3 (x+y) ，再利用(1)的结论，即可得出结果.
24．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ▲ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ▲ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ▲ ．
（1）请补全小明的解法；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
（3）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
【答案】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）120类比研究
（3）解：设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝（22-2022）÷2=-1009．
拓伸延伸
（4）44
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（4）
∵
∴
∵，
∴
阴影部分的面积为：．
【分析】（1）由于两个代数式的积一定且和也是个定值，则其平方和可借助完全平方公式求得；
（2）反之，两个代数式的和与平方和都已知，也可借助完全平方公式求得；
（3）直接应用完全平方公式即可。
25．同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG， 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，延长AM交EG于M．
∠β+∠α＝90°，理由如下：
由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．
∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．
∵∠EGB和∠CGM是 对顶角，
∴∠β＝∠CGM．
∴∠β+∠α＝90°．
（2）解：如图2，延长AC交EG于N．
由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．
∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．
∴∠1+∠CGN＝90°．
∵QF平分∠DFC，
∴∠QFC＝ ．
同理可得：∠GQC＝90°﹣ ．
∵四边形QFCG的内角和等于360°．
∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB
＝360°﹣（90°﹣ ）﹣（90°﹣ ）﹣90°
＝
∴∠FQG＝135°．
（3）解：如图3，
由题意知：DF∥EG．
∴∠FOG＝∠EGO．
∴ ＝ ＝1．
∴ 的值不变．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）延长AM交EG于M，由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．可得∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°；
（2）延长AC交EG于N．由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．得出∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．故∠1+∠CGN＝90°．因为∠1=∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．故∠1+∠CGN＝90°．因为∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于Q点，所以可求出∠QFC的度数，同理可得∠GQC的度数，因为四边形QFCG的内角和等于360°，将数值代入∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB中，计算即可；
（3）由题意知：DF∥EG．得出∠FOG＝∠EGO．即可得出 ＝ ＝1
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