中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版八年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝ .下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 ；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+ .其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
2．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
3．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5 B． C．或3 D．5或
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则平行四边形是菱形
B．若，则平行四边形是矩形
C．若，则平行四边形是矩形
D．若且，则平行四边形是正方形
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
6．若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
7．如图，中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将 BCE沿BE翻折至 BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（ ）
A．平均数和中位数不变 B．平均数增加，中位数不变
C．平均数不变，中位数增加 D．平均数和中位数都增大
10．在数学课拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长是1，且一个内角是60°的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点，小新在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
12．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为 ．
13．如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，，以此类推，第次组成的三角形的周长 ．
14．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为 ．
15．如图，是一张等腰直角三角形纸板，，．在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为；在余下的和中，仿照第1次剪取，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为；继续操作下去…，则第2022次剪取时， ．
16．如图1是第32届夏季奥运会的会徽，它是由三种不同规格的全等矩形组成，代表了不同的国家、文化和思维方式，表达了多样性的融合．图2和图3为该会徽中的某一部分。如图2，三种矩形分别由三种不同的菱形依次连结各边中点得到，其中∠AOC=120°，∠AOB=90°．如图3，点D恰好在FE的延长线上，则∠IHE= 度．若AO=1，则点F，G之间的距离为
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
（1）填空： ， ；
（2）x满足什么条件时，；
（3）点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标．
18．若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：
如图1，在四边形中，，平分，则称四边形是半对称四边形，称为四边形的分割对角线．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是半对称四边形．
（3）如图3，在中，，，，是所在平面内一点，当四边形是半对称四边形且为分割对角线时，求四边形的面积．
19．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
20．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为 ，所抽查的学生人数为 ．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
21．综合与探究
如图1，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，点是线段上一动点，点的横坐标为．
（1）直接写出点A，B的坐标及直线的解析式；
（2）如图1，连接，当的面积等于的面积时，求点的坐标；
（3）如图2，过点作直线的平行线，在直线上是否存在一点，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，四边形是平行四边形，，以为边向下作等边，F是上一点，，连接，作且与交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，试判断，的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求平行四边形的面积
23．在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
24． 如图，在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线l∥AB. 设直线l交∠DAC的平分线于点M，交∠BAC的平分线于点N.
（1）求证PM=PN；
（2）若AN=2，AM=1，求MN的值；
（3）当点P为AC的中点时，连接CM，CN，判断四边形ANCM的形状，并说明理由.
25．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版八年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝ .下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 ；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+ .其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中， ，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝ ，
在△BEP中，PB＝ ，PE＝ ，由勾股定理得：BE＝ ，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝ ，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD＝ PD×BE＝ ，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+ ，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+ 所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故答案为：C.
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF＝ ，故②是错误的；③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD＝ PD×BE＝ ，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+ ，由此即可判定.
2．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数）
则a=n2-1，c=n2+1
当b=14即n=7时，a=48 b=50
a+b=x+y=48+50=98
故答案为：C
【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。
3．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5 B． C．或3 D．5或
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程，如果有2个相等的实数根，则=0，即 ，化简得，解得m1=+4-1=3 m2=-4-1=-5 故选D。
【分析】依据根的判别式，求出关于m的一元二次方程，再次求解。
4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则平行四边形是菱形
B．若，则平行四边形是矩形
C．若，则平行四边形是矩形
D．若且，则平行四边形是正方形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A ：对角线相等的平行四边形是菱形，原描述不正确，是假命题，不选；
B ：∠ABD=∠BDC(两直线平行内错角相等) ∴∠ABD=∠ACD=∠BDC ∴OC=OD ∴2OC=2OD 即AC=BD， ∴ 改平行四边形是矩形，描述正确，是真命题；
C ：对角线平分一组对角不能证明平行四边形是矩形，假命题；
D ：对角线互相垂直，且邻边相等的平行四边形是菱形不一定是正方形，假命题。
故答案为：B
【分析】准确记牢并灵活应用由平行四边形证明矩形、菱形、正方形的判定定理。
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
6．若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数据a1，a2，a3的平均数为4，
∴ （a1+a2+a3）=4，
∴ （a1+2+a2+2+a3+2）= （a1+a2+a3）+2=4+2=6，
∴数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数是6；
∵数据a1，a2，a3的方差为3，
∴ [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3，
∴a1+2，a2+2，a3+2的方差为： [（a1+2-6）2+（a2+2-6）2+（a3+2-6）2]
= [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]
=3.
故答案为：B.
【分析】根据数据a1，a2，a3的平均数为4可知 （a1+a2+a3）=4，据此可得出 （a1+2+a2+2+a3+2）的值；再由方差为3可得出数据a1+2，a2+2，a3+2的方差
7．如图，中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
四边形是平行四边形
，
是
的的中点，
，
，
，
故答案为：B
【分析】 取的中点G，连接，由平行四边形的性质可知△ADE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ADG，△AEG，△ABG是等腰三角形，然后利用角的关系求解。
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将 BCE沿BE翻折至 BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝ ，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝ ×BE×CH＝ ×BC×CE，
∴CH＝ ，
∴EH= ，
∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝ ，
故答案为：D.
【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝ ，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝ .
9．某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（ ）
A．平均数和中位数不变 B．平均数增加，中位数不变
C．平均数不变，中位数增加 D．平均数和中位数都增大
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是 元，今年工资的平均数是 元，显然
；
由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变．
故答案为：B．
【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
10．在数学课拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长是1，且一个内角是60°的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点，小新在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图据题意，剪痕是连接两个菱形的对角线的交点的直线，
作OH⊥AC，PG⊥BC，OM⊥PG，
∵在小菱形中，∠OAC=30°，∠AOC=90°，
∴OC=，又∵∠OCH=60°，
，
同理PG= ，
，
由图可得： ，
，
∵菱形是中心对称图形，
∴LO=JO， KP=JP，
∴LO+KP=JO+JP，
∴剪痕： .
故答案为：D
【分析】先根据题意找出折痕，因为折痕同时平分两个菱形的面积，则折痕是两个菱形对角线的交点连线。作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出有关线段的长，现知OP的长，由于菱形是中心对称图形，所以折痕是OP长的2倍，从而求出折痕的长。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过点B作BE⊥AD.
∵∠BCA+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠BCA+120°=180°，解得∠BCA=60°，
在Rt△BCE中，∵BC=20cm，∠CBE=30°，
∴，（cm），
在Rt△ABE中，（cm），
∴点A到地面的距离为cm.
【分析】利用平角的意义求得∠BCA，再在Rt△BCE根据含30°角的直角三角形的性质求得BE，接着在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，最后通过线段的和求得点A到地面的距离.
12．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：由题意可得：当x=0时，y=8
A点坐标为（0，8）
当y=0时，，解得：x=-6
B点坐标为（-6，0），OB=6
由折叠的性质可得：AB=A'B=10，AC=A'C
OA'=10-6=4
设OC=m，则AC=A'C=8-m
在Rt△A'OC中
，即
解得：m=3
点C的坐标为（0，3）
当BC=BP时，
点O是PC的中点
当，则
综上所述，点P的坐标为或
故答案为：或
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征可求出A，B的坐标，根据勾股定理求出AB的长度，设OC=m，在Rt△A'OC中，利用勾股定理求出m的值，可求出点C坐标，继而求出BC，分情况讨论即可求出答案。
13．如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，，以此类推，第次组成的三角形的周长 ．
【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：第1个 的周长为a+b+c
由三角形中位线定理可得：
第2个三角形的周长为（a+b+c），
第3个三角形的周长为×（a+b+c），
第4个三角形的周长为××（a+b+c），
······，
第n个三角形的周长为（a+b+c），
∴ 第次组成的三角形的周长 ；
故答案为： .
【分析】根据三角形中位线定理求解，可得规律第n个三角形的周长为（a+b+c），继而得解.
14．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，
，
，
，
在Rt中，
，
如图，连接OP，
于点E，于点F，
四边形OEPF是矩形，则EF=OP，
当时，OP的值最小，即EF的值最小，
，
，
EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，可证四边形OEPF是矩形，如图，连接OP，则EF=OP，当时，OP的值最小，即EF的值最小，再根据等面积法求高即可求解.
15．如图，是一张等腰直角三角形纸板，，．在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为；在余下的和中，仿照第1次剪取，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为；继续操作下去…，则第2022次剪取时， ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；探索图形规律；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ECFD是正方形，
∴DE＝EC＝CF＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴AE＝DE＝EC＝DF＝BF＝EC＝CF，
∵AC＝BC＝2，
∴DE＝DF＝1，
∴S△AED＋S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1；
同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，
Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，
∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2 S1＝1＝S1，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1 S2＝1 ＝＝S2，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2 S3＝ ＝＝S3，
…
第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn 1 Sn＝Sn＝．
则s2022＝＝．
故答案为：．
【分析】根据正方形及等腰直角三角形的性质可求出S△AED＋S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1，从而得出规律Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，据此即可求解；
16．如图1是第32届夏季奥运会的会徽，它是由三种不同规格的全等矩形组成，代表了不同的国家、文化和思维方式，表达了多样性的融合．图2和图3为该会徽中的某一部分。如图2，三种矩形分别由三种不同的菱形依次连结各边中点得到，其中∠AOC=120°，∠AOB=90°．如图3，点D恰好在FE的延长线上，则∠IHE= 度．若AO=1，则点F，G之间的距离为
【答案】30；
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∠BOC=360°-120°-90°=150°，
∴∠OCB=（180°-∠BOC）÷2=（180°-150°）÷2=15°，
∴∠IHE=2∠NOC=2×15°=30°；
∵如图2，三种矩形分别由三种不同的菱形依次连结各边中点得到，OA=1
∴菱形的边长为2
∴BT=MT=1，∠MBT=∠TBM=180°-90°-15°=75°，
过点M作MJ⊥BT于点J，
∴∠MJT=90°，∠T=30°，
∴MJ=MT=
∴；
∴
在Rt△BMJ中
∴；
过点E作ES⊥EG于点E，交FG于点S，
∵点D恰好在FE的延长线上，
∴∠FEG=360°-90°-90°-75°=105°，∠EFS=15°，
∴∠G=180°-105°-15°=60°，
∴∠ESG=90°-60°=30°=∠F+∠FES
∴∠F=∠FES=15°，
∴SF=ES，SG=2EG=
∴
∴FG=SF+SG=.
故答案为：30，.
【分析】利用已知条件求出∠BOC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠OCB的度数；然后结合图3和图2，可得到∠IHE的度数；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠MBT，∠TBM的度数，抽象图形，过点M作MJ⊥BT于点J，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出MJ的长，利用勾股定理求出TJ的长，从而可求出BJ的长；在Rt△BMJ中利用勾股定理求出BM的长，即可得到EG的长；过点E作ES⊥EG于点E，交FG于点S，根据点D恰好在FE的延长线上，可求出∠FEG和∠EFS的度数，利用三角形的内角和定理求出∠G的度数，同时可证得SF=ES，利用直角三角形的性质求出SG的长；利用勾股定理求出FS的长；然后根据FG=SF+SG，代入计算求出FG的长.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
（1）填空： ， ；
（2）x满足什么条件时，；
（3）点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）3；6
（2）解：当时，即有，
解得：，即，
∵，，，
∴结合图象可得；
（3）解：点P在线段AD上，∠CAP是锐角，若△ACP是直角三角形，则∠APC=90°或∠ACP=90°，
当y1=0时，即有x+2=0，
解得x=-2，
∴点A（-2，0）
设点，且，
∵，，
∴，，，
当时，轴，
∴点C与点P的横坐标相等，即，
∴，
∴点P坐标为；
当时，，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
综上所述，所有符合条件的点P坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理
【解析】【解答】解：将点C（m，5）代入y1=x+2得m+2=5，
解得m=3，
∴C（3，5），
将点C（3，5）代入 ，
得，
解得b=6；
故答案为：3，6；
【分析】（1）将点C（m，5）代入y1=x+2可求出m的值，从而可得点C的坐标，进而将点C的坐标代入可求出b的值；
（2）由（1）易得y2的解析式，进而令y2=0，可算出对应的x的值可得点D的坐标；从图象看求不等式0＜y2＜y1的解集，就是x轴上方且y2的图象在y1图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此可得答案；
（3）点P在线段AD上，∠CAP是锐角，若△ACP是直角三角形，则∠APC=90°或∠ACP=90°，令y1=0，可算出对应的x的值可得点A的坐标，设点P（p，0），且-2＜p≤18，根据两点间的距离公式分别表示出AC2、AP2、PC2，当∠APC=90°，PC⊥x轴，故点P与点C的横坐标相等，即xP=xC=3，从而可得点P的坐标；当∠ACP=90°，利用勾股定理 建立方程可求出p的坐标，综上即可得出答案.
18．若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：
如图1，在四边形中，，平分，则称四边形是半对称四边形，称为四边形的分割对角线．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，在四边形中，，，．求证：四边形是半对称四边形．
（3）如图3，在中，，，，是所在平面内一点，当四边形是半对称四边形且为分割对角线时，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
，
，
即为的平分线，
．
，
，
，
．
∴在四边形中，，平分，
四边形是半对称四边形
（3）解：过点作，交的延长线于点，如图，
，，，
，，
，，
，
，
，
．
．
．
①当，平分时，如图，
由题意：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
②当，平分时，如图，
由题意：，
，
，
，
过点作，交的延长线于点，
则，
，
．
设，则，，，
在中，
，
，
（不合题意，舍去）或，
，．
，
．
综上，四边形的面积为或．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形，角平分线的定义和平行线的判定定理，即可解答；
（2）利用半对称四边形的定义，解答即可；
（3）过点作，交的延长线于点，先计算出的面积，再分情况讨论：①当，平分时；②当，平分时，分别计算出的面积，进而算出四边形的面积.
19．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确。
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据二次根式的性质和化简，由分母有理化得出结论.
20．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：），精确到1h，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为 ，所抽查的学生人数为 ．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数分布直方图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于）8小时的学生数．
【答案】（1）；60
（2）解：平均睡眠时间为8小时的人数为：人；
补全频数分布直方图，如下图：
（3）解：根据题意得：平均睡眠时间为7小时的人数所占的百分比最大，
∴这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，
平均数小时；
（4）解：1200名学生中睡眠不足（少于8小时）的学生数人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得a=1-30%-20％-5％=45％，
∴所抽查的学生人数为，
故答案为：45%，60
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息结合题意即可求解；
（2）根据题意进行计算，进而即可补全条形统计图和扇形统计图；
（3）根据众数和平均数的定义即可求解；
（4）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
21．综合与探究
如图1，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，点是线段上一动点，点的横坐标为．
（1）直接写出点A，B的坐标及直线的解析式；
（2）如图1，连接，当的面积等于的面积时，求点的坐标；
（3）如图2，过点作直线的平行线，在直线上是否存在一点，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：，，直线的解析式：
（2）解：过点作轴的垂线，垂足为，
点在线段上，横坐标为，
纵坐标为，则，
，，
，
解得，，
点的坐标为
（3）解：存在．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
当y=0时，0=x+4，解得：x=-4，即A（-4，0）
当x=0时，y=0+4=4，即B（0，4）
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：
即 直线的解析式：
故答案为：，，直线的解析式：
（3）由题意可得：
BC=DC=BE=DE
设D（m，m+4）-4≤m<0
解得：m=-2或0（舍去）
即点D（-2，2）
四边形BCDE为菱形
点E坐标为（-2-2，2+4），即为（-4，6）
故答案为： 存在．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求出A，B坐标，假设直线BC的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求出答案。
（2） 过点作轴的垂线，垂足为， 根据，列出方程即可求出答案。
（3）根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
22．如图，四边形是平行四边形，，以为边向下作等边，F是上一点，，连接，作且与交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，试判断，的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求平行四边形的面积
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
，
∴，
∵，，，
∴；
（2）解：，的数量关系是，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设与交于点H，作于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，
在中，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，的数量关系是．
（3）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
过点C作于Q，
在中，
∴，
∴，，
∴平行四边形的面积为：
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD=AF， 由等边三角形的性质可得，， 从而推出，根据ASA证明△AFG≌△DCF；
（2），理由：根据AAS证明， 可得AG=CE， 设与交于点H，作于点P， 易得是等边三角形，可得，设，易得∠PGH=30°，是等腰直角三角形 ，则GH=2x，，， 从而求出DE=，据此即得结论；
（3）由（2）知，求出x=1，可得AD=DE=，利用全等三角形的性质可得 CD=EG=+1， 过点C作于Q ，易得∠DCQ=30°，利用直角三角形的性质求出DQ、CQ的长，根据平行四边形的面积=AD·DQ进行计算即可.
23．在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据SAS可证明△ABD和△AFE全等，从而得出对应边BD=FE，进而可得出DE=DF+EF=DF+BD=，再在等腰Rt△ADE中，根据三边之间的数量关系即可求得AD的长；
（2） 延长AB至H，使BH=AB，连接DH， 通过证明△ABG≌△HBD得出AG=HD，△AHD≌△ACE，可得CE=HD，从而得出AG=CE；
（3） 如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE'交于点O，通过证明△ABD≌△AME，得出对应角∠AME=∠ABC，进而可得∠CNM=∠BAC=120°，∠BNE'=∠BNE=60°，可得出当BE'⊥NE'时BE'最小，作BH⊥AC于点H，利用勾股定理和面积法可得出AG=，BG=4，利用含30°锐角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得答案。
24． 如图，在△ABC中，点P是边AC上一个动点，过点P作直线l∥AB. 设直线l交∠DAC的平分线于点M，交∠BAC的平分线于点N.
（1）求证PM=PN；
（2）若AN=2，AM=1，求MN的值；
（3）当点P为AC的中点时，连接CM，CN，判断四边形ANCM的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵l∥AB，
∴∠PMA=∠DAM.
∵AM平分∠DAP，
∴∠DAM=∠PAM.
∴∠PMA=∠PAM.
∴PM=PA .
同理可证PN=PA.
∴PM=PN；
（2）解：∵AM，AN分别是∠DAP，∠BAP平分线，
∴∠DAP=2∠PAM，∠BAP=2∠PAN.
∵∠DAP+∠BAP=180°，∴2∠PAM+2∠PAN=180°.
∴∠PAM+∠PAN=90°. ∴∠MAN=90°.
在Rt△MAN中，根据勾股定理，MN2=AM2+AN2=12+22=5.
∴
（3）解：四边形ANCM是矩形. 理由如下：
∵点P为AC的中点，∴PA=PC.
又∵PM=PN，∴四边形ANCM为平行四边形.
∵∠MAN=90°，∴平行四边形ANCM为矩形.
【知识点】平行线的性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ∠DAP=2∠PAM，∠BAP=2∠PAN，再求出 2∠PAM+2∠PAN=180°，最后计算求解即可；
（3）根据线段的中点求出PA=PC，再求出四边形ANCM为平行四边形，最后根据矩形的判定方法证明求解即可。
25．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）证明：矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，
，
当时，，
点，
，
对于，令，则，
点，
，
（2）解：点是线段上的一个动点，则设点，
三角形的面积，解得，
故点的坐标为
（3）解：点的坐标为或或或．
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；菱形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）设点，点，由、的坐标知，，
当是边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样，点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则且，
当且时，，解得或，
故点的坐标为或；
当且时，，
同理可得点的坐标为；
当是对角线时，
由中点公式得：且，
此时，，即，
联立并解得，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或. 或或
【分析】（1）由B的坐标可得AB=21，由 可求出 ， ， 从而求出BE=AB-AE=15，OD=15，继而得解；
（2） 设点 ，根据 三角形的面积 ，据此求出m值，即得结论；
（3）设点，点，由、的坐标，可求， 分两种情况：当是边时， 当是对角线时，利用平行四边形的性质中点坐标公式分别求解即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
