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第12章 全等三角形 单元过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
2．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
3．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
4．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
5．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
6．如图，射线OC平分∠AOB，点D、Q分别在射线OC、OB上，若OQ＝4，△ODQ的面积为10，过点D作DP⊥OA于点P，则DP的长为（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．E是AB上的一点，且BE＝BC．过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝4cm，则AD+DE等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
8．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
9．如图：在三角形ABC中，AB＝BC，BD＝CE，∠ABC＝∠C＝55°，则∠APE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
10．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝2，平移距离为4，则阴影部分面积为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
11．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝28°，∠3＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．28° C．25° D．86°
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长
是 cm．
14．如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝26°，则∠2＝ °．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为 ．
16．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，作线段AC与BD相交于点O．若AC＝BD，AO＝DO＝6m，CD＝15m，则A，B两点间的距离为 m．
17．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（1，2），A（﹣2，0），则点B坐标是 ．
18．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是 ．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE，BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝70°，求∠AEB的度数．
20．已知如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
21．如图，点E、F在AC上，AB∥DF，AB＝DF，AF＝CE，求证：BE∥CD．请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AB∥DF（已知），
∴∠A＝∠CFD（ ）
∵AF＝CE（已知），
∴AF+ ＝CE+ （ ）
即AE＝CF
在△ABE与△FDC中．
∴△ABE≌△FDC（ ）
∴ ＝∠C（ ）．
∴BE∥CD（ ）．
22．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，AB＝AD，E为△ABC外部一点，满足AC＝AE，连结DE，与AC交于点O，且∠CAE＝∠BAD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD＝25°，求∠EDC的度数．
23．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
24．如图，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BE＝DF．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）试猜想OA与OC的大小关系，并说明理由．
25．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上．
（1）若BC＝3，CD＝5，求AE的长；
（2）判断AB与DE所在直线的位置关系，并说明理由．
26．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．中小学教育资源及组卷应用平台
第12章 全等三角形 单元过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴∠α＝72°．
故选：A．
2．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
3．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【答案】C
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
故选：C．
4．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
5．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【答案】D
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
6．如图，射线OC平分∠AOB，点D、Q分别在射线OC、OB上，若OQ＝4，△ODQ的面积为10，过点D作DP⊥OA于点P，则DP的长为（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：过点D作DE⊥OB，垂足为E，
∵OQ＝4，△ODQ的面积为10，
∴OQ DE＝10，
∴DE＝5，
∵射线OC平分∠AOB，DE⊥OB，DP⊥OA，
∴DE＝DP＝5，
故选：B．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．E是AB上的一点，且BE＝BC．过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝4cm，则AD+DE等于（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴DE＝DC，
∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝4cm，
故选：A．
8．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】A
【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处，
故选：A．
9．如图：在三角形ABC中，AB＝BC，BD＝CE，∠ABC＝∠C＝55°，则∠APE的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】D
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝55°，
∴∠APE＝∠ABC＝55°．
故选：D．
10．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝2，平移距离为4，则阴影部分面积为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【答案】A
【解答】解：由平移性质得△ABC≌△DEF，BE＝4，DE＝AB＝6，AB∥DE，
∴S△ABC＝S△DEF，OE＝DE﹣DO＝4，∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴S阴影面积＝S△DEF﹣S△OEC
＝S△ABC﹣S△OEC
＝S梯形ABEO
＝
＝20，
故选：A．
11．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝28°，∠3＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．28° C．25° D．86°
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠1+∠ABD，
∴∠3＝∠1+∠2，
∵∠1＝28°，∠2＝58°，
∴∠2＝58°﹣28°＝30°，
故选：A．
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP＝OD＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABO＝AB OP＝，故②正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC） a＝ab，故④正确．
故选：C．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长是 5 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AE＝20cm，FC＝10cm，
∴AF+CE＝AE﹣FC＝10cm．
∵△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，
∴AC＝EF．
∴AC﹣FC＝EF﹣FC，
∴AF＝CE．
∴AF＝（AF+CE）＝5cm．
故答案为：5．
14．如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝26°，则∠2＝ 26 °．
【答案】26．
【解答】解：∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C，
又∠1＝26°，
∴∠AEC＝∠C＝（180°﹣∠1）＝77°，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠C＝∠AED＝77°，
∠2＝180°﹣（∠AED+∠AEC）＝180°﹣（77°+77°）＝26°．
故答案为：26．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为 15 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∵AB＝10，
∴S△ABD＝AB DE＝×3×10＝15．
故答案为：15．
16．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，作线段AC与BD相交于点O．若AC＝BD，AO＝DO＝6m，CD＝15m，则A，B两点间的距离为 15 m．
【答案】15．
【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO＝6m，
∴BO＝CO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝DC＝15m．
故答案为：15．
17．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（1，2），A（﹣2，0），则点B坐标是 （3，﹣1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（1，2），点A的坐标为（﹣2，0），
∴AD＝CE＝3，OD＝1，BE＝CD＝2，
∴则B点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）
18．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是 ①②③④ ．
【答案】①②③④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PD，
∵PM⊥BE，PD⊥AC，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△MAP，S△CPD＝S△NCP，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确，
故答案为：①②③④．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE，BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝70°，求∠AEB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠2+∠C＝∠1+∠BDE，∠1＝∠2，
∴∠BDE＝∠C，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴∠BED＝∠AEC，
∴∠BEA＝∠2，
∵∠2＝70°，
∴∠AEB＝70°．
20．已知如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC＝DE．
21．如图，点E、F在AC上，AB∥DF，AB＝DF，AF＝CE，求证：BE∥CD．请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AB∥DF（已知），
∴∠A＝∠CFD（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵AF＝CE（已知），
∴AF+ EF ＝CE+ EF （ 等式的性质 ）
即AE＝CF
在△ABE与△FDC中．
∴△ABE≌△FDC（ SAS ）
∴ ∠AEB ＝∠C（ 全等三角形的对应角相等 ）．
∴BE∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【答案】两直线平行，同位角相等；EF；EF；等式的性质；SAS；∠AEB；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行．
【解答】证明：∵AB∥DF（已知），
∴∠A＝∠CFD（两直线平行，同位角相等），
∵AF＝CE（已知），
∴AF+EF＝CE+EF（等式的性质），
即AE＝CF，
在△ABE与△FDC中．
，
∴△ABE≌△FDC（SAS），
∴∠AEB＝∠C（全等三角形的对应角相等），
∴BE∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；EF；EF；等式的性质；SAS；∠AEB；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行．
22．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，AB＝AD，E为△ABC外部一点，满足AC＝AE，连结DE，与AC交于点O，且∠CAE＝∠BAD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD＝25°，求∠EDC的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠EDC的度数是25°．
【解答】（1）证明：∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∴∠EDC＝∠COE﹣∠C＝∠COE﹣∠E＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠BAD＝25°，
∴∠EDC＝25°，
∴∠EDC的度数是25°．
23．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
24．如图，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BE＝DF．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）试猜想OA与OC的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）OA＝OC，理由见解析过程．
【解答】证明：（1）∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
（2）OA＝OC，
理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴AE＝CF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OA＝OC．
25．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，点E在AC上．
（1）若BC＝3，CD＝5，求AE的长；
（2）判断AB与DE所在直线的位置关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE＝3，AC＝DC＝5，
∵点E在AC上，
∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2；
（3）AB与DE所在直线的位置关系AB⊥DE，
理由：延长DE交AB于F，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°＝90°，
∴∠AED＝∠A+∠AFE＝∠D+∠DCE，
∴∠AFE＝∠DCE＝90°，
∴AB⊥DE．
26．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
