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第2章 实数 单元过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值可以是（ ）
A．5 B．0 C．1 D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．当，化简（ ）．
A． B． C． D．
5．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．3.2 B． C． D．
8．化简的正确结果是（ ）
A．4 B．2 C． D．
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．是的平方根 D．算术平方根等于本身的数有，
10．将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
11．若的小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知，，，则等于 ．
14．已知a、b为两个连续的整数，且，则 ．
15．一个正数的两个平方根为和，则a的值为 ．
16．已知，则的大小关系是 （用“”连接）
17．若，则 ．
18．运算※按如图表格定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）= ．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：．
20．（8分）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
21．（10分）已知的立方等于，的算术平方根为．求：
(1)，的值；
(2)的平方根．
22．（8分）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．并使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．（结果不用化简）
23．（10分）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
(1)长方体盒子的底面积；
(2)长方体盒子的体积．
24．（10分）观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
25．（10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…
（1）填空：＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值：．
26．（10分）【阅读下列材料】
我们知道：，
即，
（当且仅当时，）．
进一步得到当时，
，即，
（当且仅当时，）
【例】若，求的最小值．
解：，
的最小值为4．
【解决问题】
(1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________．
(2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 实数 单元过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：以及含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数（例（每两个1之间0的个数增加1））．
【详解】解：A，是无理数，符合题意；
B，是有理数，不合题意；
C，是有理数，不合题意；
D，是有理数，不合题意；
故选A．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值可以是（ ）
A．5 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，求出的取值范围，即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴的取值可以是；
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数为非负数，是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法对A、C、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断．
【详解】解：A选项：+＝2，故不正确；
B选项：×＝3，故不正确；
C选项：+=2，故是正确的；
D选项：2和不能直接合并，故不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
4．当，化简（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：∵
∴
∴
故选B.
考点: 二次根式的化简.
5．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用最简二次根式的概念即可得出答案．
【详解】A：被开方数含开的尽的因数，故错误，不符合题意；
B：属于最简二次根式，故正确，符合题意；
C：被开方数含有分母，故错误，不符合题意；
D：被开方数中含有开得尽的因式，故错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，掌握最简二次根式的定义是关键．
6．若，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由可得利用进行化简即可.
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为A
【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确运用公式进行化简是解题的关键.
7．如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．3.2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
8．化简的正确结果是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握．
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．是的平方根 D．算术平方根等于本身的数有，
【答案】B
【分析】本题考查了平方根，算术平方根；根据平方根与算术平方根的定义，分别计算，即可求解．
【详解】解：A. 的平方根是，故该选项正确，不符合题意；
B. 的平方根是，故该选项不正确，符合题意；
C. 是的平方根，故该选项正确，不符合题意；
D. 算术平方根等于本身的数有，
故选：B．
10．将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
11．若的小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：，
∴的整数部分是3，小数部分是，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
12．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．
首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案．
【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为，
则，
所以其面积，
的值为．
故选：A．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知，，，则等于 ．
【答案】7.94
【分析】将变形为，结合已知即可求解.
【详解】解：∵，，，
∴===10×=10×0.794=7.94.
故答案为：7.94.
【点睛】本题考查了立方根的概念，解题的关键是借助已知等式求解.
14．已知a、b为两个连续的整数，且，则 ．
【答案】3
【分析】根据无理数的估算可得，再根据算术平方根的定义即可得．
【详解】解：，
，
为两个连续的整数，且，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了无理数的估算、算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
15．一个正数的两个平方根为和，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据平方根的性质解决此题．
【详解】∵一个正数的两个平方根为和，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根互为相反数的性质．
16．已知，则的大小关系是 （用“”连接）
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．取特值法是解这类题的常用方法．
取特殊值，求出的值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：因为，
所以取，
则，，，
∵，
∴，
故选：．
17．若，则 ．
【答案】－1
【分析】利用算术平方根和平方式的非负性求出x和y的值．
【详解】解：∵，，且，
∴，，
即，，
∴．
故答案是：－1．
【点睛】本题考查算术平方根和平方式的非负性，解题的关键是掌握算术平方根和平方式的性质．
18．运算※按如图表格定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）= ．
【答案】4．
【分析】根据题目提供的运算找到运算方法，即：3※2=1就是第三列与第二行所对应的数或第二列与第三行所对应的数，按此规律先计算出（2※4）和（1※3）的值，再代入（2※4）※（1※3）中根据定义求出最后结果．
【详解】解：由题意可知，
（2※4）=3，（1※3）=3，
∴（2※4）※（1※3）=3※3=4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，考查学生们的阅读理解能力，通过观察例子，从中找到规律，进而利用此规律进行进一步的运算．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，算术平方根，立方根以及绝对值，解题的关键是掌握相关运算法则．
【详解】解：原式
．
20．（8分）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法解方程是解题的关键．
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可.
【详解】（1）解：
或，
解得或；
（2），
解得：．
21．（10分）已知的立方等于，的算术平方根为．求：
(1)，的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，根据一个数的算术平方根求这个数．
（1）根据，可求出a的值，根据，即可求出b的值；
（2）根据（1）所求得，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：的立方等于，
；
的算术平方根为，
∴．
（2），
，
，
的平方根是，
平方根是．
22．（8分）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．并使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．（结果不用化简）
【答案】小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片，此长方形纸片长宽分别为 ，
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形面积公式得到，求出，，则长方形纸片的长与正方形的边长相等，宽小于正方形的边长，由此即可得到结论．
【详解】解：长方形纸片的长宽之比为，
∴可设长方形纸片的长为，宽为，
，
，
∴，，
∵正方形纸片的面积为，即正方形的边长的平方等于，
∴长方形纸片的长与正方形的边长相等，宽小于正方形的边长
小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片，此长方形纸片的长的，宽的为．
23．（10分）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
(1)长方体盒子的底面积；
(2)长方体盒子的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解．
（1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案；
（2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案．
【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积
；
（2）解∶长方体盒子的体积
．
24．（10分）观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果；
（2）由规律得出答案，再验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想的第n个等式为：，
验证：
所写等式正确．
【点睛】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问题的关键．
25．（10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…
（1）填空：＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值：．
【答案】（1）；（2）（n为正整数），证明见解析；（3）2007
【分析】（1）根据公式得到两个被开方数相邻的二次根式的和的倒数等于这两个二次根式的差，即可得到答案；
（2）被开方数是两个相邻的数，它的分母有理化因式为，再利用平方差公式将分母化简；
（3）根据（2）将各数化简合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可.
【详解】解：（1）原式＝=；
故答案为：；
（2）规律为（n为正整数）．
证明如下：=＝=（n为正整数）；
（3）原式＝ ()
＝（﹣1）（+1）
＝2008﹣1
＝2007.
【点睛】此题考查二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，解决本题的关键是要熟练掌握运算的法则.
26．（10分）【阅读下列材料】
我们知道：，
即，
（当且仅当时，）．
进一步得到当时，
，即，
（当且仅当时，）
【例】若，求的最小值．
解：，
的最小值为4．
【解决问题】
(1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________．
(2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？
【答案】(1)，；
(2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，理解题意是关键．
（1）直接利用（当且仅当时，），再计算即可；
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用长方形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用求解即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
当时，则，
解得：（舍去），
即当时，，
故答案为：，
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
此时，
∴或（舍去）．
∴，
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
