2023-2024学年高中数学苏教版2019必修第二册期末质量检测卷（含解析）

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2023-2024学年高中数学苏教版2019必修第二册期末质量检测卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的中点，则的值为（ ）
A． B．6 C．8 D．12
7．已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）

A． B． C． D．
8．在棱长为3的正方体中，，在正方体中过、E、F三点作平面，平面下方截得几何体俯视图如图所示，则该几何体的侧视图面积为（ ）
A． B．6 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，与互为共轭复数
C．对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上
D．复数的实部为
10．某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有60人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
11．如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的正切值为
B．当时，为等腰梯形
C．当时，与交于点，则
D．当时，为四边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．把化成的形式： .
13．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 .
14．在中，，，的平分线交于点．若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数，.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在直线上，求的值.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
17．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点
①求与平面所成角的正弦值；
②求二面角的平面角的余弦值．
19．已知向量，，定义运算，同时定义.
(1)若，求实数的取值集合；
(2)已知，求；
(3)已知定义域为的函数满足为奇函数，为偶函数，且时，，是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解.
【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，
所以不一定成立，故A错误；
对于B，，显然不一定成立，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
2．B
【分析】首先代入实数根，即可求得的值，即可求解复数和其共轭复数.
【详解】由题意可知，，，
即，
则，得，
所以，.
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得.
【详解】依题意，原式.
故选：C
4．A
【分析】利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，
两式相减，得，
由正弦定理，得，即，
因为，所以.
故选：A.
5．C
【分析】根据平均数和方差的性质得到答案.
【详解】已知样本数据的平均数为，方差为，
则样本数据的方差为，所以，
又因为，所以．
样本数据的平均数为，所以，解得.
故选：C．
6．B
【分析】用基底表示所求向量，然后利用向量的运算律和数量积可求
【详解】由，，得，
由，，得，
，
，，
所以
故选：B
7．B
【分析】根据异面直线的定义逐项判断.
【详解】根据已知，可得，而，所以，A错误；
平面，平面，，
所以与是异面直线，B正确；
因为，所以四点共面，C错误；
，D错误.
故选：B
8．A
【分析】直接利用平面的性质对几何体进行切割，进一步利用三视图的应用求出结果．
【详解】解：棱长为3的正方体中，，，在正方体中过、E、F三点作平面，如图所示：
平面下方截得几何体，该几何体的侧视图为腰长为3的等腰直角三角形，
故．
故选：A．
9．BCD
【分析】由复数几何意义可判断A，由所给定义、诱导公式及共轭复数判断B，由复数的几何意义判断C，根据所给定义化简，即可判断D.
【详解】对于A：因为，
所以，故A错误；
对于B：，，
所以对任意，与互为共轭复数，故B正确；
对于C：因为，所以在复平面内对应的点为，
又，
所以在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，故C正确；
对于D：的实部为，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
故选：ABD
11．ABC
【分析】利用定义求出异面直线夹角正切判断A；作出截面计算判断B；作出点，计算判断C；作图说明判断D.
【详解】正方体的棱长为为的中点，
对于A，，直线与直线所成角为，则，A正确；
对于B，，即为中点，此时，，
，则截面为等腰梯形，B正确；
对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于，
由，得，由是的中点，，得，
因此，C正确；
对于D，，连接并延长交延长线于，直线交于，
交延长线于点，连接交于点，连接得截面，
过点的平面与正方体的5个表面相交，因此截面是五边形，D错误.
故选：ABC
12．
【分析】根据辅助角公式先将原式提取2，再利用两角和角的正弦公式化简即可．
【详解】.
故答案为：.
13．
【分析】先根据甲以获胜时，前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，再利用独立事件概率公式和互斥事件概率公式即可求解.
【详解】由题意可得，甲、乙的比分为后，甲、乙又进行了4场比赛，每场比赛结果相互独立，
前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜.
则甲以赢得比赛的概率为.
故答案为：
14．
【分析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可
【详解】因为在中，，，所以，
又因为的平分线交于点，
所以在中，由正弦定理可得：，
同理在中，
因为，，
所以，
则，
所以，，则
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的概念得出，解方程即可求解.
（2）将在复平面内对应的点代入直线方程即可求解.
【详解】（1）复数，实部为，虚部为，
若为纯虚数，则，解得.
（2）因为在复平面内对应的点为，
由题意可得：，解得.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到；
（2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案.
【详解】（1）因为，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）由正弦定理得，
所以，
由（1）得，
故
因为，所以，故，
所以，，
故，
则.
17．(1)，
(2)晋级分数线划为78分合理
(3)90；38.75
【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值；
（2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；
（3）根据平均数和方差的计算公式求出结果.
【详解】（1）由题意知，所以，解得，
又，解得．
所以，，
（2）成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，
解得，所以晋级分数线划为78分合理．
（3），故：．
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
方差：．
18．(1)证明见解析
(2)①；②．
【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再证明线线垂直，从而可证明线面垂直；
（2）因为线面垂直可证明更多的空间垂直关系，所以本题的线面角和二面角都可以通过作图，得到它们的平面角，从而解三角形即可得到平面角的三角函数值.
【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为,，，平面，所以平面．
（2）①过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面．因为平面，所以．
，所以平面，
所以就是与平面所成角的平面角．
由（1）知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以与平面所成角的正弦值为．
②取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面．
所以．
过点作，垂足为，连接，，，平面，
所以平面．平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，
所以
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，由（2）知，，
即，解得．
因为平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据二面角的定义找出二面角，再利用勾股定理定义求出相关线段，最后根据三角函数的定义即可得到答案.
19．(1)
(2)
(3)不存在实数，理由见解析
【分析】（1）根据新定义结合三角函数的性质运算即可；
（2）根据新定义及同角三角函数的基本关系求解；
（3）根据新定义运算化简后，分别分析抽象函数的奇偶性得出周期，再由三角函数的最大值，分析最大值不能同时取得即可得解.
【详解】（1），
所以，即，解得，，
所以实数的取值集合为.
（2），
所以
.
（3）不存在实数，使得.
因为，
所以
，
若，只需，
因为为奇函数，所以，即，
又因为为偶函数，所以，即，
所以，即，所以，
所以是周期为10的周期函数，
任取，则，由时，，及，
得时，，所以时，.
任取，则，，
故时，，
则当或5或10时，取最大值，
又，故时，取最大值；
对于函数，
当时，取最小值，当时，取最大值6，
故的最大值为6，此时，，，
即，虽然，但是与不能同时成立，
故不存在实数，使.
【点睛】关键点点睛：对于（3），根据新定义化简后可转化为是否有解，解决的关键之一在于对抽象函数性质的研究，通过所给条件得出函数周期为10是解题的关键，其次利用配方法得出的最大值为6，再推出对应的自变量也是解题的关键.
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