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1.1 认识三角形 同步题型归纳
◆三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
◆按边分类：三角形
◆按角分类：三角形
◆三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．
◆三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
◆三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
【注】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
◆三角形的高线：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
◆三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
◆三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【注】
（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
◆三角形的重心：三角形三条中线的交点叫重心．
◆三角形的内心：三角形三条角平分线的交点叫内心．
◆三角形的垂心：三角形三条高线所在直线的交点叫垂心．
题型一 认识三角形
解题技巧提炼 此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．
（2022秋 东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
（2023秋 临沭县期末）如图，在中，，，则为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
（2022秋 张店区期末）请同学们认真观察，图中共有 三角形．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
（2023秋 招远市期中）若三角形有两个内角的和是，那么这个三角形是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
题型二 三角形的内角和定理
解题技巧提炼 根据三角形内角和定理可知三角形内角和为180°．
（2024春 文登区月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是
A． B． C． D．
（2024 东昌府区二模）将一副三角板按如图放置，其中，，，如果，则
A． B． C． D．
（2024春 市中区期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
（2023秋 金乡县期末）如图，在中，，，于点，与交于点．
（1）求的度数；
（2）若平分，平分，试说明．
题型三 直角三角形的性质
解题技巧提炼 这类题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余．
（2024春 市中区期中）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为
A． B． C． D．
（2024春 市中区校级月考）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．
（2024春 市北区月考）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．
例如：，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是的“伙伴角”．
（1）已知和互为“伙伴角”，且，则 ．
（2）如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交，于，两点．
①若，且和互为“伙伴角”，求的度数；
②如图2所示，的平分线交于点，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数．
（2024春 潍城区期中）在中，，点为边的中点，点在边上．
（1）若，，（如图①，求的长；
（2）过点作与边所在的直线交于点（如图②，试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
题型四 三角形三条重要线段
解题技巧提炼 本类型题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（2023秋 钢城区期末）如图，在中，关于高的说法正确的是
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
（2023秋 河东区期末）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
（2024春 即墨区期中）下列各图中，正确画出边上的高线的是
A． B．
C． D．
（2024 德城区模拟）如图，于点，已知是钝角，则
A．线段是的边上的高线
B．线段是的边上的高线
C．线段是的边上的高线
D．线段是的边上的高线
（2024春 市中区校级期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是
A． B．
C． D．
题型五 有关三角形三条重要线段的计算问题
解题技巧提炼 考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到线段的长，题目难度中等．
（2024春 历下区期中）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为
A．14 B．1 C．2 D．7
（2024春 历城区期中）如图，为的中线，为△的中线，为△的中线，，按此规律，为△的中线．若的面积为16，则△的面积为
A． B． C． D．
（2024春 长清区期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为15，则的周长为 ．
（2024春 天桥区期中）如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，求的度数．
题型六 三角形的三边关系
解题技巧提炼 本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
（2023秋 岚山区期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为
A．11 B．12 C．13 D．11或13
（2024春 商河县期中）是中边上的中线，若，，则的取值范围是
A． B． C． D．
（2024 郓城县校级一模）已知四边形，，，，，则的取值范围为 ．
（2024春 薛城区期中）在中，，，若第三边的长是偶数，则的周长是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
1.1 认识三角形 同步题型归纳
◆三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
◆按边分类：三角形
◆按角分类：三角形
◆三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．
◆三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
◆三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
【注】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
◆三角形的高线：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
◆三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
◆三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【注】
（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
◆三角形的重心：三角形三条中线的交点叫重心．
◆三角形的内心：三角形三条角平分线的交点叫内心．
◆三角形的垂心：三角形三条高线所在直线的交点叫垂心．
题型一 认识三角形
解题技巧提炼 此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．
（2022秋 东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：．
【点评】此题考查了三角形的分类．
（2023秋 临沭县期末）如图，在中，，，则为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
【分析】先求得，再由得到，从而可得，最后可得结论．
【解答】解：在中，，
，
，
，
，
即为直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余．
（2022秋 张店区期末）请同学们认真观察，图中共有 三角形．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】由三角形的概念，即可得到答案．
【解答】解：图形中有三角形：，，，，，
图中共有5个三角形．
故选：．
【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．
（2023秋 招远市期中）若三角形有两个内角的和是，那么这个三角形是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【分析】由三角形有两个内角的和是，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定．
【解答】解：三角形有两个内角的和是，
这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，
这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，
这个三角形不能确定．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形按角分类可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是解题的关键．
题型二 三角形的内角和定理
解题技巧提炼 根据三角形内角和定理可知三角形内角和为180°．
（2024春 文登区月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是
A． B． C． D．
【分析】根据高线的定义可得，然后根据，求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
【解答】解：为的高，
，，
，
是角平分线，
，
在中，．
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
（2024 东昌府区二模）将一副三角板按如图放置，其中，，，如果，则
A． B． C． D．
【分析】先计算，根据对顶角相等得，根据三角形内角和得，即可得解．
【解答】解：如图，根据题意，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和是．
（2024春 市中区期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．
【解答】解：三角形三个内角度数的比为，
三个内角分别是，，．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：．
（2023秋 金乡县期末）如图，在中，，，于点，与交于点．
（1）求的度数；
（2）若平分，平分，试说明．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案；
（2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得．再根据平行线的判定方法可得结论．
【解答】解：（1），
．
，
，
．
（2）平分，
，
．
平分，
．
，
．
．
【点评】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
题型三 直角三角形的性质
解题技巧提炼 这类题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余．
（2024春 市中区期中）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为
A． B． C． D．
【分析】如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，作．
，，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
（2024春 市中区校级月考）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．
【分析】利用折叠及直角三角形的可求解的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：由折叠可知：，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，翻折问题，求解的度数是解题的关键．
（2024春 市北区月考）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．
例如：，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是的“伙伴角”．
（1）已知和互为“伙伴角”，且，则 ．
（2）如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交，于，两点．
①若，且和互为“伙伴角”，求的度数；
②如图2所示，的平分线交于点，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数．
【分析】（1）考虑两种情况，即，，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；
（2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用伙伴角的概念，列方程即可解答；
②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答．
【解答】解：（1）当时，，
，
；
当时，，
，
，
故答案为：或；
（2）①设的度数为，
，则，
的平分线分别交，于，两点，
，
，
，
，
，
可得，
解得，
；
②设的度数为，
，
，
平分，
，
根据①可得，
，
当时，可得；
当时，可得；
综上所述，的度数为或．
【点评】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键．
（2024春 潍城区期中）在中，，点为边的中点，点在边上．
（1）若，，（如图①，求的长；
（2）过点作与边所在的直线交于点（如图②，试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接，先求出，证为线段的垂直平分线，则，，设，则，先由勾股定理求出，进而再由勾股定理即可求出的长；
（2）在的延长线上取一点，使，连接，，，证和全等得，，，则，为线段的垂直平分线，由此得，然后即可得线段、、三者之间的数量关系．
【解答】解：（1）连接，如图①所示：
在中，，，，
有勾股定理得：，
点为边的中点，，
为线段的垂直平分线，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：；
（2）线段、、之间的数量关系是：，证明如下：
在的延长线上取一点，使，连接，，，如图②所示：
点为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，，
为线段的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，难点是正确的作出辅助线构造全等三角形．
题型四 三角形三条重要线段
解题技巧提炼 本类型题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（2023秋 钢城区期末）如图，在中，关于高的说法正确的是
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：于点，
中，是边上的高，故不符合题意，
，线段是边上的高，选项符合题意；
于点，
是边上的高，故选项不符合题意，选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
（2023秋 河东区期末）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
他所作的线段应该是的中线，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
（2024春 即墨区期中）下列各图中，正确画出边上的高线的是
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【解答】解：中边上的高即为过点作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
（2024 德城区模拟）如图，于点，已知是钝角，则
A．线段是的边上的高线
B．线段是的边上的高线
C．线段是的边上的高线
D．线段是的边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：、线段是的边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段是的边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
、线段不是的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段不是的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2024春 市中区校级期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：，，都不是的边上的高，
故选：．
【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
题型五 有关三角形三条重要线段的计算问题
解题技巧提炼 考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到线段的长，题目难度中等．
（2024春 历下区期中）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为
A．14 B．1 C．2 D．7
【分析】由三角形中线的定义推知；然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为．
【解答】解：如图，在中，是的中线，
．
的周长，的周长，
与的周长之差为：．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：的周长和的周长的差就是与的差．
（2024春 历城区期中）如图，为的中线，为△的中线，为△的中线，，按此规律，为△的中线．若的面积为16，则△的面积为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的面积公式，得△的面积是的面积的一半，△的面积是△的面积的一半．依此即可求解．
【解答】解：为的中线，
．
为△的中线，
．
为△的中线，
．
按此规律，为△的中线，则△的面积为：，
故选：．
【点评】考查了三角形的面积，此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
（2024春 长清区期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为15，则的周长为 ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：为边上的中线，
，
的周长为15，
，
，
，
的周长，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（2024春 天桥区期中）如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，求的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的性质可求出，而，然后利用进行计算即可．
【解答】解：在中，，
是的角平分线
，
是的高，
在中，
【点评】本题考查了三角形内角和定理．关键是利用三角形内角和定理求解．
题型六 三角形的三边关系
解题技巧提炼 本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
（2023秋 岚山区期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长，得到，由的第三边长是偶数，得到或6，于是得到此三角形的周长．
【解答】解：设第三边长，
，
，
的第三边长是偶数，
或6，
此三角形的周长为或．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
（2024春 商河县期中）是中边上的中线，若，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：为中线，
，
在中，，
即，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，是基础题．
（2024 郓城县校级一模）已知四边形，，，，，则的取值范围为 ．
【分析】连接可得、利用三角形的三边关系与绝对值，即可求解．
【解答】解：四边形，连接如图所示：
在中，，
即，
在中，，
即，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是将四边形分割为两个三角形．
（2024春 薛城区期中）在中，，，若第三边的长是偶数，则的周长是 ．
【分析】先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长．
【解答】解：在中，，，
，
即，
第三边的长是偶数，
，
的周长为，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边是解题的关键．
