北师大版2023-2024学年度下学期七年级期末质量检测数学卷（含解析）

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2023-2024学年数学七年级下册北师大版期末质量检测卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．十二生肖，又叫属相，是与中国十二地支相配以出生年份的十二种动物，2023年是中国传统的兔年．劳动课上，同学们学习了剪纸小兔子，以下剪纸作品中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8.5 D．10
3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
4．如图，直线，交于点，．若，平分，则下列角中，与互余的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．不相交的两条直线平行
B．相等的角是对顶角
C．如果，那么余角的度数为
D．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
6．若是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．24 B．14 C．24或 D．14或
7．如图，于点，于点，，，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，四边形和四边形均为正方形，连接，延长分别交于点I，J，延长交于点若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．长方形和长方形的面积之差
B．长方形和长方形的面积之差
C．正方形和正方形的面积之差
D．长方形和长方形的面积之差
10．如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．已知 是一个完全平方式，则
12．一个不透明的口袋中装有40个除颜色外都相同的小球，摇匀后从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回，发现摸到红球的频率在0.7左右摆动，则这个不透明的口袋中红球的个数大约为 ．
13．如图，直线、相交于点O，射线平分，．若，则的度数为 ．
14．如图，的两条中线，交于点O，若的面积为12，则四边形的面积是 ．

15．我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率\与温度的关系如表：
温度
导热率
根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ．
16．如图，，．，点在线段上以1的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为（），则当点的运动速度为 时，与有可能全等．
三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．用简便方法计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．为表彰在“纪念·五四运动”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买10个书包和若干个文具盒（不少于10个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的九折收费．已知每个书包定价为40元，每个文具盒定价为5元．
(1)设需要购买x个文具盒，选择第①种方案购买所需费用为元，选择第②种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式；
(2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？
20．一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数字，，，；另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的个扇形区域，分别标有数字，，如图所示．
(1)从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于的概率是______ ；
(2)小明和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加比赛，游戏规则为：小明从口袋中摸出一个小球，小东转动圆盘，如果所摸球上的数字小于，那么小明去；圆盘上转出数字小于，则让小东去，你认为游戏公平吗？请说明理由．
21．如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点A，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点．
(1)若，求的度数．
(2)设，．
①请用含的代数式表示．
②当恰好平分时，求的度数．
22．如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）．
(1)如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由；
(2)如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）．
23．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．

24．如图，的两条高与交于点O，，．
(1)求的长；
(2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A，C，D选项中的剪纸作品都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的剪纸作品能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解．
【详解】解：设第三边的长为x，根据题意得：
，
即，
∴第三边的长不可能是10．
故选：D
3．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意；
B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的；
D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了余角、补角、角平分线，正确运用余角、补角的定义和角平分线的定义是解题的关键．
由垂直的定义可得，；由余角的定义可得，由等角的余角相等可得，，因为平分，所以，则与互余的角是．
【详解】解：∵，
平分
∴与互余的角是，
故选：B．
5．D
【分析】
本题主要考查平面内直线的位置关系，对顶角的定义，余角与补角，根据平面内直线的位置关系，对顶角的定义，余角与补角进行分析即可．
【详解】解：A． 同一平面内，不相交的两条直线平行，故该选项不正确，不符合题意；
B． 相等的角不一定是对顶角，故该选项不正确，不符合题意；
C． 如果，那么余角的度数为，故该选项不正确，不符合题意；
D． 如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了完全平方公式，根据是完全平方式，可得，可解得m的值．
【详解】解：，
∵是完全平方式，
是完全平方公式，
，
解得：或，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，结合图形以及垂线段最短的性质得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
9．B
【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，用代数式表示图形中各个部分的面积，根据各个部分面积之间的关系得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，
阴影三角形是等腰直角三角形，
阴影部分的面积等于正方形的一半，
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的面积为，
长方形的长为a，宽为b，因此面积为，
长方形的长为，宽为b，因此面积为，
，
故选：B
【点睛】本题考查多项式乘法与几何图形的面积问题，准确表示出各部分图形的面积是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或；根据全等三角形的性质得到．
【详解】解：①，
，
，，
，
故①正确；
②为中点，，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
；
或为等腰三角形，
，
，
，
，
故③错误；
④，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
综上所述正确的有①②④．
故选：．
11．
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据题意可得，求k的值即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为．
12．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据题意得：当实验的次数逐渐增大时，摸到红球的频率在0.7左右摆动，
因此摸到红球的概率为0.7，
∴这个不透明的口袋中红球的个数为（个）．
故答案为：．
13．/55度
【分析】本题考查了图形中角的计算，涉及到角平分线的定义、垂直的定义，根据角平分线与垂直的概念结合图形中角之间的关系即可求解．
【详解】解：∵，射线平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．4
【分析】此题主要考查了三角形的中线，连接，，设，先证，，再由得，进而得，则，然后证，则，据此即可得出答案．解答此题的关键是理解平行线间的距离；同底（或等底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等．
【详解】解：连接，，设，如图所示：
、为的两条中线，
，，
和等底同高，和等底同高，
，，
，
和同底等高，
，
即：，
，
，
，
，
和等底同高，
，
，
，
．
故答案为：4．
15．
【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加，
所以当导热率为时，温度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．
16．1或1.5
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．设点的运动速度是，则有，，，若与全等，有两种情况：①，；②，．分别求解即可．
【详解】解：设点的运动速度是，
则有，，，
∵，
∴与全等，有两种情况：
①，，
则，
解得，
则，
解得；
②，，
则，，
解得，．
故答案为：1或1.5．
17．1
【分析】本题考查的是平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
18．；12．
【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．利用乘法公式进行整式的运算，然后再代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
19．(1)；
(2)购买20个文具盒时，两种方案所需费用相同
【分析】（1）第一种方案购买所需费用等于10个书包的费用与个文具盒的费用之和；第二种方案购买所需费用等于10个书包的费用与个文具盒的费用之和的9折，由此即可得；
（2）求出时，的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
，即．
（2）解：令，则，
解得，符合题意，
答：购买20个文具盒时，两种方案所需费用相同．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键．
20．(1)
(2)游戏不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）分别求出所摸球上的数字小于的概率和圆盘上转出数字小于的概率，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：口袋中小球上数字大于的有，，
则．
故答案为：；
（2）解：游戏不公平，理由如下：
，，
游戏不公平．
21．(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质：
（1）根据平行线的性质即可得到；
（2）①由（1）得：，根据折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案；
②直接根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∵，
．
（2）解：①由（1）得：，
又，
．
②恰好平分，
．
22．(1)，理由见解析
(2)①在点左边时，；②在点右边时，
【分析】本题主要考查了两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解题的关键．
（）根据平行线的性质可求出它们的关系，从点作平行线，平行于，根据两直线平行内错角相等可得出．
（）分类讨论，①点在点左边，②点在点右边．
【详解】（1）解：（）如图，过点作的平行线，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：①在点左边时，如下图，，理由如下：
过点作，则，
∴,,
∴；
同理：②在点右边时，如下图，．
23．
【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
【详解】解：扶手与底座都平行于地面，
，
，
又，
，
，
，
．
24．(1)6
(2)1.2或2．
【分析】本题考查全等三角形的判定．
（1）由证明，根据对应边相等求得的长；
（2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值．
【详解】（1）解： ，，
，
．
又，，
，
．
（2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
综上，或2．
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