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21.3实际问题与一元二次方程 题型专练
题型一、传播传染问题
1．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
4．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
5．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
题型二、增长率问题
6．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
8．（2024年重庆市中考数学试题B卷）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
9．（2024八年级下·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
10．（2024·山东聊城·二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
题型三、面积问题
11．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当的长是时，的长为；
②这两个正方形的面积之和可以是；
③这两个正方形的面积之和可以是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（23-24八年级下·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．
14．（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
15．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
图1 图2
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
题型四、动态几何问题
16．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
17．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．
（1）当点和点距离是3cm时， ．
（2）当 ，为直角三角形（）．
19．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．
(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？
20．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
题型五、营销问题
21．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
23．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
24．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过
(1)若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？
(2)在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？
25．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）每年5月上旬，广阳岛回龙枇杷基地都会举办“江南枇杷节”．去年，果农小王自产自销了白玉枇杷800千克、五星枇杷200千克，且白玉枇杷的单价是五星枇杷的单价的2倍，全部售出后，销售总额为45000元．
(1)去年，果农小王销售的白玉枇杷、五星枇杷的单价分别是多少？
(2)因白玉枇杷成熟期较晚，汁多味甜，是广阳岛主力推出的新兴品种．今年，小王扩大果园的规模，并加强了科学管理，白玉枇杷、五星枇杷的产销量分别增加了和，为了推广白玉枇杷，小王决定大力降价促销，将白玉枇杷的单价下调了，五星枇杷的单价不变，全部售出后，销售总额和去年持平，求a的值．
题型六、数字问题
26．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ．
29．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
30．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（）第个图案中“”的个数为______；
（）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示）
【规律应用】
（）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多．
题型七 、行程问题
31．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
32．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（ ）秒．
A． B． C． D．
33．（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ．
34．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
35．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
题型八、图表信息问题
36．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
37．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
38．（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（）
A．雕像的上部高度与下部高度的关系为：
B．依题意可以列方程
C．依题意可以列方程
D．雕塑下部高度为
3．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易 系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
4．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是( )
A． B．或 C． D．或
5．（2024八年级·全国·竞赛）如图，点是一次函数的图象上一点，过点作轴于点，轴于点，使得矩形的面积为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
7．（23-24九年级上·山东德州·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元
8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ．
9．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．
(1)为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？
(2)在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？
10．（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
12．（2024·安徽合肥·三模）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率．
(1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为，依题意填写下列表格：
亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克）
原来 200 50 100
现在 132
(2)求新品种花生亩产量的增长率．中小学教育资源及组卷应用平台
21.3实际问题与一元二次方程 题型专练
题型一、传播传染问题
1．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可．
【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，
根据题意可得：，
整理得：，
故选：D．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
故选：C．
3．（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
4．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)三轮传染后患病的共有512人
【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，得．
【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，
解方程，得（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）根据题意，得 (人)
答：三轮传染后患病的共有512人．
5．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
题型二、增长率问题
6．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．首先根据3月份售价为21万元，月均下降率是可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为18万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：月份售价为21万元，月均下降率是，5月份售价为18万元，
．
故选：D．
7．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
8．（2024年重庆市中考数学试题B卷）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可．
【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，
由题意得，，
故答案为：．
9．（2024八年级下·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为
(2)至少还需增加2名业务员
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得
，
解得：，（舍去）．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为．
（2）4月：（万件），
，
该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
，
至少还需增加2名业务员．
10．（2024·山东聊城·二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
(2)最多可购买电脑8台
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答．
（2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
设购买电脑台，则购买实物投影仪台，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可购买电脑8台．
题型三、面积问题
11．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【详解】解：由题意得，．
故选：C．
12．（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当的长是时，的长为；
②这两个正方形的面积之和可以是；
③这两个正方形的面积之和可以是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①利用的长（绳子的长度的长），即可求出的长；②假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是；③假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，解之可得出的值，结合，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：①当的长是时，的长是，结论①正确；
②假设这两个正方形的面积之和可以是，
设的长为，则的长为，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是，结论②不正确；
③假设这两个正方形的面积之和可以是，
设的长为，则的长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
符合题意，
假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是，结论③正确．
正确的结论有2个．
故选：C．
13．（23-24八年级下·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是．
故答案为：．
14．（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完）
【答案】的长是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形的面积公式及矩形的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可求出的长．
【详解】解：设的长为，则的长为，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：
，
答：的长是
15．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
图1 图2
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【答案】(1)2cm
(2)不能，详见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解；
（2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形，
根据题意得，
整理得：，
解得（不合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为．
（2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
理由如下：
设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为，
根据题意得，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
，
折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为，
，
不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
题型四、动态几何问题
16．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键．
【详解】
解：设t秒后，的面积等于4
由题意得：，，则
整理得：
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故选：A．
17．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键．
设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2．
则，，，
则．
∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为
故选：C．
18．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为．
（1）当点和点距离是3cm时， ．
（2）当 ，为直角三角形（）．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
（1）作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（2）分情况讨论，当时，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程可以得出结论．
【详解】解：（1）如图1，作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
如图2，作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
综上：或．
（2）如图，连接，过点作，
点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．
① 当时，即，
在中，，，
，
由（2）知，，
，
（舍去）或，
② 当时，即，
，
（舍去）或，
综上：或．
19．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．
(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)秒或秒或秒或秒
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形的面积；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，
∵，
∴，
①当时，
如图1，过作于，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，可有，
∴，
解得，；
②当时，
如图2，过作于，
由①可知四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得；
③当时，
∴，
∴，
在中，可有，
∴，
∴．
综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形．
20．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
【答案】(1)①秒或秒；②秒
(2)秒或秒或秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于，
由题意，，，
∴，
∴，
解得：，，
∴经过秒或秒钟，的面积等于；
②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：
1），即：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），；
2），即：，
∴，
∵，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；
（2）设经过秒，的面积为，可分三种情况：
①点在线段上，点在线段上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：（舍去），；
②点在线段上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：；
③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．
题型五、营销问题
21．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系．
设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程．
【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：
，
故选：D．
22．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
23．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可．
【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元．
故答案为：．
24．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过
(1)若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？
(2)在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？
【答案】(1)需要进货100件，每件商品应定价25元
(2)至少先卖出60件商品后再甩货才能保证利润不低于300元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利润的计算方法是解题的关键．
（1）利润=售价-进价，总利润=单件利润×总件数，注意限制条件的作用．
（2）设先卖出m件商品后再甩货才能保证利润不低于300元，根据题意列出不等式解决即可．
【详解】（1）解：依题意，
整理得，
解得，．
因为，
所以不合题意，舍去．
所以（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
（2）设先卖出m件商品后再甩货才能保证利润不低于300元，由题意得：
，
解得：，
至少先卖出60件商品后再甩货才能保证利润不低于300元．
25．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）每年5月上旬，广阳岛回龙枇杷基地都会举办“江南枇杷节”．去年，果农小王自产自销了白玉枇杷800千克、五星枇杷200千克，且白玉枇杷的单价是五星枇杷的单价的2倍，全部售出后，销售总额为45000元．
(1)去年，果农小王销售的白玉枇杷、五星枇杷的单价分别是多少？
(2)因白玉枇杷成熟期较晚，汁多味甜，是广阳岛主力推出的新兴品种．今年，小王扩大果园的规模，并加强了科学管理，白玉枇杷、五星枇杷的产销量分别增加了和，为了推广白玉枇杷，小王决定大力降价促销，将白玉枇杷的单价下调了，五星枇杷的单价不变，全部售出后，销售总额和去年持平，求a的值．
【答案】(1)五星枇杷的单价为25元，白玉枇杷的单价为50元
(2)a的值为12.5
【分析】本题考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．
（1）设五星枇杷的单价为x元，则白玉枇杷的单价为元，根据题意列方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）设五星枇杷的单价为x元，则白玉枇杷的单价为元，
根据题意可得，，
解得，
∴，
∴五星枇杷的单价为25元，白玉枇杷的单价为50元．
（2）根据题意可知，，
令，整理得，
解得（舍去）或，
∴．
即a的值为12.5．
题型六、数字问题
26．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程．
【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，
根据题意有：，
故选：A．
27．（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：D．
28．（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，
即
∴
∴
解得：或
故答案为：或．
29．（2024八年级下·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【答案】257
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则：
，
整理，得：，
所以．
所以或，
解得，或（舍去），
则，，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
30．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（）第个图案中“”的个数为______；
（）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示）
【规律应用】
（）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多．
【答案】（）；（），；（）．
【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解；
（）根据题意，结合图形规律，即可求解；
（）根据题意，列出方程，解方程即可求解；
本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键．
【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
∴第个图案中“”的个数是个，
故答案为：；
（）第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中“”的个数是个，
∴第个图案中“”的个数可表示为，
第个图案中有个○，
第个图案中有个○，
第个图案中有个○，
第个图案中有个○，
第个图案中“○”的个数是，
∴第个图案中“○”的个数是，
故答案为：，；
由题意可得，，
整理得，，
解得：（舍去）或．
题型七 、行程问题
31．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
【答案】C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数．
【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，
甲共行走：，
，
，
又，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
即甲走了步，
故选：C．
32．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（ ）秒．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答．
【详解】解：时速108千米30米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得：
，解得秒，
平均每秒减速米/秒；
设刹车后汽车滑行10米时用了秒，
依题意列方程：，即，解方程得，（舍去），
秒，
故选：D．
【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符．
33．（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题．
【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则
，
整理得，
解得（舍去）或．
则王老师的速度与望望的速度之比为，
故答案为：
34．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
35．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
题型八、图表信息问题
36．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
38．（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设这个最小的数为x，则最大的数为．依题意得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为．
依题意得．
解得，（不合题意，舍去）．
∴这个最小的数为8．
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设矩形的长为，宽为，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求值，再求图③的面积即可．
【详解】解：设矩形的长为，宽为，依题意，得：
整理得：，
把②代入①，得：③．
将③代入①，得：，
整理，得：，
解得：，
当时，（不合题意，舍去），
∴．
∴长方形的长为，宽为，
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故选：D
2．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（）
A．雕像的上部高度与下部高度的关系为：
B．依题意可以列方程
C．依题意可以列方程
D．雕塑下部高度为
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
雕塑下部高度为，
故A、C、D都正确，B不正确，
故选：B
3．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易 系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
4．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是( )
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解一元二次方程组，设运动时间为，根据题意列出关于的方程，是解题的关键．设运动时间为，则，，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：设运动时间为，
∵在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，
∴，，
∵的面积为，
∴，
解得：，，
∵点在上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
∴点的运动时间为，的面积为，故正确，符合题意．
故选：A．
5．（2024八年级·全国·竞赛）如图，点是一次函数的图象上一点，过点作轴于点，轴于点，使得矩形的面积为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，解一元二次方程，根据题意列出方程得出第一象限有一个点，第二、四象限各有一个点，共个点．
【详解】解：①当时，设点，，
矩形的面积为 ，
，化简，
解得，
，
②当时，设点，，
矩形的面积为，
，
化简，
解得或 舍去，
，
③当时，设点，，
矩形的面积为，
，
化简，
解得舍去或，
，
第一象限有一个点，第二、四象限各有一个点，共个点．
故选：C．
6．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程．
【详解】解：全班有名同学，依题意有：．
故答案为：．
7．（23-24九年级上·山东德州·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元
【答案】50
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
答：商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故答案为：50．
8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解
【详解】如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．
故答案为：
9．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．
(1)为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？
(2)在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？
【答案】(1)长为10米，宽为8米
(2)1米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
（1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为80列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，（舍去）；
当时，；
答：长为10米，宽为8米；
（2）解：设宽为米，根据题意得：，
即，
解得：（舍去），，
答：小路的宽为1米．
10．（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
【答案】(1)超过人
(2)该单位这次共有名员工去旅游
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
（1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围；
（2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元，
∴，
∴员工人数一定超过人，
∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；
（2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得：
，
整理得，
即，
解得，，
当时，，故舍去；
当时，，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
【答案】(1)销售价格应定为90元千克
(2)平均每次降价的百分比是
【分析】本题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为把，代入即可求出，再根据“销售利润达到1400元”列出方程求解，最后分别求出两个销售成本的值，舍去不符合题意的值即可得出答案；
（2）设平均每次降价的百分比是m，根据“经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完”列出方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为把，
代入得，
解得，
y与x之间的函数关系式为，
根据题意得，
解得，．
当时，销售成本为：，
当时，销售成本为：，
答：销售价格应定为90元/千克．
（2）解：设平均每次降价的百分比是m，根据题意得，
解得，（舍去）．
答：平均每次降价的百分比是．
12．（2024·安徽合肥·三模）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率．
(1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为，依题意填写下列表格：
亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克）
原来 200 50 100
现在 132
(2)求新品种花生亩产量的增长率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）根据“增长后的量增长前的量（增长率）”，即可获得答案；
（2）结合（1）列出关于的一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意填写表格如下，
亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克）
原来 200 50 100
现在 132
故答案为：，；
（2）解：设新品种花生亩产量的增长率为，
根据题意，可得，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
答：新品种花生亩产量的增长率为．
