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2.1认识一元二次方程 同步题型专练
题型一 根据定义判定一元二次方程
1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（21-22九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
4．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
（1）；
（2）．
题型二 根据一元二次方程的定义确定参数的值
5．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
6．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ．
7．（23-24九年级上·四川自贡·期末）若是关于的一元二次方程，则的值是 ．
8．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
题型三 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围
9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
11．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
12．简答题：
（1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？
（2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值．
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
题型四 一元二次方程的一般形式
13．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
14．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程的一次项系数是0，则的值是( )
A． B．1 C． D．0
16．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
题型五 根据一元二次方程的解求参数的值
17．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．
18．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（ ）
A． B． C． D．或
19．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
20．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
题型六 根据一元二次方程的解求代数式的值
21．（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）．
A． B．2023 C．2024 D．2025
22．（23-24九年级上·山东聊城·期末）是方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
23．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为
24．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值．
题型七 一元二次方程的解的估算
25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（）
－ － －
A．0 B．1 C．1.5 D．2
26．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（ ）
1 2 3 4
2
A． B． C． D．
27．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ．
x 1
题型八 根据实际问题抽象出一元二次方程
29．（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）某超市一月份的营业额为300万元，三月份时营业额增长到363万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．300（1+x）2＝363 B．300x2＝363
C．300（1+2x）2＝363 D．300[1+（1+x）+（1+x）2]
30．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．（23-24九年级上·陕西延安·期中）如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，有一张矩形纸片， 长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成 一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如果是多项式的一个因式，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东韶关·二模）若是方程的根，则的值是 ．
7．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ．
8．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ．
9．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
10．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知方程配方后为，则 ．
11．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程：
(1)，且a＋b＋c＝12；
(2)．
12．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）
(1)化简T；
(2)若a是方程的一个根，求T的值．
14．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
2.1认识一元二次方程 同步题型专练
题型一 根据定义判定一元二次方程
1．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有1个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式；
①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程；
②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程；
③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程；
④有2个未知数，故④不是一元二次方程；
⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程，
综上所述，共有2个一元二次方程，
故选：B．
3．（21-22九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是
【解析】略
4．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）是；（2）不一定是
【分析】（1）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可；
（2）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可；
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程；
（2）∵
∴
∴
当时，二次项系数为0，此时不是一元二次方程，当时，二次项系数为0，此时是一元二次方程，
∴原方程不一定是一元二次方程.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义.
题型二 根据一元二次方程的定义确定参数的值
5．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得．
故选：B．
6．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，或，
故，
故答案为：．
7．（23-24九年级上·四川自贡·期末）若是关于的一元二次方程，则的值是 ．
【答案】1
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
∴，解得，
故答案为：1．
8．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，
解得．
即时，此方程是一元一次方程；
（2）∵是一元二次方程，
∴，
解得．
即时，此方程是一元二次方程．
题型三 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围
9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键．根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
．
故选：B
10．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，以及二次根式有意义的条件得出且，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得且，
故选：D．
11．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
【答案】（1）1 （2），；，
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得
解得．
（2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程．
此时方程为，解得；
当即时，方程为一元一次方程，
此时方程为，解得．
【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面．
12．简答题：
（1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？
（2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值．
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
【答案】（1）；（2）m=-3；（3）m=±2.
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知当时该方程是一元二次方程；
（2）根据一元二次方程根的意义将x=0代入方程中求出m即可；
（3）根据一元二次方程根的意义将x=1代入方程中求出m即可；
【详解】解：（1）∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得：；
（2）∵关于的一元二次方程有一个根是0，
∴将x=0代入可得：，解得：m=-3；
（3）∵关于的一元二次方程有一个根是1，
∴将x=1代入可得：，解得：m=±2.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
题型四 一元二次方程的一般形式
13．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键．
【详解】解：∵可化为，
∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7，
故选：C．
14．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（ ）
A．，1， B．，1，
C．，， D．，1，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选；C．
15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）关于的一元二次方程的一次项系数是0，则的值是( )
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一次项系数是0，
∴，
解得：，
故选：C．
16．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为
(2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0
(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
移项，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
（2），
去括号，得；
移项、合并同类项，得，
整理，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0．
（3）
移项、合并同类项，得．
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
题型五 根据一元二次方程的解求参数的值
17．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于b的方程，
把代入方程的出新方程，解方程即可．
【详解】解：把是一元二次方程得：
，
解得：，
故选：D．
18．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，取舍得出的值即可，正确计算、根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键．
【详解】解：把代入中，得，
∴，
∴；
∵是一元二次方程，
∴，
∴．
综上，的值是，
故选：B．
19．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得或，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴．
∴a的值为0．
故答案为：0．
20．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
【答案】(1)存在，时；时
(2)存在，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．
【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程，
当时，解得，此时程为，解得；
当时，解得，此时方程为，解得．
当时，方程无解；
（2）存在．
根据一元二次方程的定义可得，解得．
【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
题型六 根据一元二次方程的解求代数式的值
21．（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）．
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
即，
∴．
故选：D
22．（23-24九年级上·山东聊城·期末）是方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意可得，将代数式变形得，再整体代入即可求解，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
∵，
∴原式，
故选：A．
23．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
【详解】∵为方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
24．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，，
∴．
题型七 一元二次方程的解的估算
25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（）
－ － －
A．0 B．1 C．1.5 D．2
【答案】C
【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
根据表格得：
当时，，
当时，，
∵，
∴方程的一个解最接近．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
26．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知代数式与的部分对应值如下表．根据表格中的数据，估算一元二次方程的一个解的取值范围是（ ）
1 2 3 4
2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
则关于的一元二次方程的一个解的范围是．
故选：C．
27．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据表格可知，当时，的值小于零，当时，的值大于零，可知当，会有一个的值使得的值为零，即可得出结论．
【详解】解：由表格可知：当时，的值小于零，当时，的值大于零，
∴，为常数的一个解x的范围是；
故选A．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
28．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ．
x 1
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足．
【详解】解：时，，
时，，
时，存在，
即方程必有一个解x满足，
故答案为：．
题型八 根据实际问题抽象出一元二次方程
29．（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）某超市一月份的营业额为300万元，三月份时营业额增长到363万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．300（1+x）2＝363 B．300x2＝363
C．300（1+2x）2＝363 D．300[1+（1+x）+（1+x）2]
【答案】A
【分析】根据增长率公式，列出方程即可．
【详解】解：增长基数为300，两年后达到363万，由题意得：
300（1+x）2＝363
故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率，关键是明确增长的基数，增长次数，增长后的值．
30．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x 1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x 1)张，即可列出方程．
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x 1)张.
∴可列方程为：x(x 1)=1035．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
31．（23-24九年级上·陕西延安·期中）如图，有一块长，宽的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，若草坪的面积是．设小路宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽，根据利用平移的性质得出草坪的面积=长为，宽为的长方形的面积，由长方形面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽，根据题意，得
故选：D．
32．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，有一张矩形纸片， 长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成 一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据长方形面积公式即可得到答案．
【详解】解：由题意得：做成的纸盒的底面长，宽为，
故．
故选B．
1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
∴，
则，
故选：．
2．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可．
【详解】解：
，
，
故选：B．
3．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算．
【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，，
∴方程变形为：，
即或，
解得：或，
故选：D．
4．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如果是多项式的一个因式，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程中其各个因式与其方程本身的关系，是多项式的一个因式，即方程的一个解是，代入方程求出的值，熟练掌握其中关系是解题的关键．
【详解】∵是多项式的一个因式，
∴方程的一个解是，
则把代入方程中得，
解得，
故选：．
5．（2023·贵州黔东南·二模）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解不等式组，根据题意可得，则由乘法的性质可得或，由，得到或，即方程的两个根一个大于m，一个小于n，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴或，
∵，（）是关于的一元二次方程的两实根，
∴，
∴，
故选：D．
6．（2024·广东韶关·二模）若是方程的根，则的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想．
根据一元二次方程的根的定义，将代入，求出，即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：1．
7．（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可．
【详解】解：根据题意得：，
．
故答案为：9．
8．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
当时，原式．
故答案为：3．
9．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∵是关于的一元二次方程，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键．
10．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知方程配方后为，则 ．
【答案】
【分析】分析题目，由已知得，可化为 ，可得，，解方程可得，的值，然后把字母的值代入进行计算可得结果．
【详解】由已知得：可化为 ，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程一配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程：
(1)，且a＋b＋c＝12；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12，
解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴该一元二次方程为．
（2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5，
∴该一元二次方程为．
12．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵x是方程的根，
∴，
∴原式．
13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）
(1)化简T；
(2)若a是方程的一个根，求T的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）利用乘法公式进行计算即可；
（2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵a是方程的一个根，
∴，即：，
∴．
14．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可．
【详解】解：由题意，将代入方程，
得，
∴，，
∴
∴的值为2．
