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1.6特殊平行四边形 解答题专项练习
题型一、有关矩形的性质的解答题
1．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线分别与交于点，点是对角线上一点，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点是的中点，且，求的长．
2．（2024年北京市西城区中考二模数学试题）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
3．（23-24九年级·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结．
(1)当点F在下方时（如图1），求证：．
(2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长．
(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
题型二、有关矩形的判定的解答题
4．（2024·云南昭通·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E、F、G、H分别在、上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若点M、N、P分别是的中点，连接分别经过点H、G、O，且H、G、O分别为的中点，若的面积是矩形面积的m倍，求m的值．
5．（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，．
(1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形；
(3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形；
6．（2024·江苏镇江·二模）如图，平行四边形中，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)连接，当与满足条件________时，四边形是矩形．
题型三、有关矩形的性质与判定的解答题
7．（23-24九年级·湖南娄底·期中）如图，在中，，点P是上（不与A，B重合）的一动点，过P作，垂足分别是E，F，连接，M为的中点．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由．
(2)随着P点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，请求出的长度，若有变化，请求出的变化范围．
8．（22-23九年级·贵州黔南·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，
(1)求证：；
(2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积．
9．（22-23九年级·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，是边上的高，，，，点是边上一动点，设的长为．
(1)当的值为________时，四边形为平行四边形；
(2)当的值为________时，四边形为矩形；
(3)当是以边为腰的等腰三角形时，求的值．
题型四、有关菱形的性质的解答题
10．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）学行四边形后，小芳进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中特别容易出现全等三角形，这样就可以利用平行四边形的性质构造全等来解决“仅用无刻度的直尺画出与已知线段相等的线段”的问题．在解决问题“如图，在菱形中，点是上一点，请仅用无刻度的直尺在线段上画点，使得”的过程中，小芳的作图过程是：连接交于点，连接并延长与相交于一点即为点．请你判断她画的是否正确，并说明理由．
11．（22-23九年级·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
12．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，已知四边形是菱形，，．
(1)求证：；
(2)当 时，的面积是四边形面积的四分之一．
题型五、有关菱形的判定的解答题
13．（20-21九年级·湖南株洲·期末）如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
14．（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，在矩形中，是对角线．
(1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状．
15．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等；
②作点D关于直线的对称点E，连接，，．
(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
题型六、有关菱形的性质与判定的解答题
16．（23-24九年级·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点．
（1）求证：；
【问题探究】
（2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由．
17．（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)若点E、F同时运动，当t为何值时，四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下， 当为何值时， 四边形是菱形？
(3)在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？
18．（20-21九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，．
(1)在图①中，P是上一点，垂直平分，分别交边于点E、F，求证：四边形是菱形；
(2)若菱形的四个顶点都在矩形的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 ．
题型七 、有关正方形的性质的解答题
19．（2024九年级·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
(1)求证：．
(2)延长交于F，当时，求的度数．
20．（23-24九年级·辽宁大连·期中）如图，矩形中，点在边上，，点在上，于点．
(1)求证：；
(2)若，探究线段，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，，，求的长．
21．（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图1，点在线段上，分别以、为边在线段的同侧作正方形和，连接、．
(1)若，则_________；
(2)如果点在线段的延长线上，如图2，其他条件不变，求证：．
题型八、有关正方形的判定的解答题
22．（23-24九年级·广东汕尾·期中）如图，在中，，的平分线交于D，过点B作交的外角平分线于E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
23．（23-24九年级·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，．
(1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由．
(2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？
题型九、有关正方形的性质与判定的解答题
24．（23-24九年级·辽宁营口·期中）【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题）
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
25．（23-24九年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接．
初步探究：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由．
题型十、有关四边形综合问题的解答题
26．（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为．
(1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示）
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值．
27．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：
（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ；
问题探究：
（2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长；
拓展延伸：
（3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长．
1．（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
2．（23-24九年级·辽宁大连·期中）如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，．
(1)如图1，若，则的度数为______
(2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积．
3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积
4．（23-24九年级·河南漯河·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)[思想探究]
已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小亮想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含a的代数式表示______，用含b的代数式表示______；
②据此写出的最小值：______；
(2)[类比应用]
根据上述方法，求代数式的最小值．
5．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．如图1在边上取一点D，将沿折叠，使点C恰好落在边上，记作E点．
(1)求点E的坐标及折痕的长；
(2)如图2，在边上选取适当的点F、G，将沿折叠，使点C落在上，记为H点，设，，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且，取线段段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
6．（22-23九年级·河北沧州·阶段练习）在矩形中，，，P是直线上一动点，连接．
(1)如图，当点P在边上，且时，求的长度；
(2)连接，过点A，D分别作，，与交于点E，连接．当取得最小值时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)以、为邻边作平行四边形，当平行四边形是菱形时，直接写出的长度．
7．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在四边形中，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积；
(2)如图2，若，连接，，，直接写出的长度为______；
(3)如图3，在（2）的条件下，求四边形的周长______．
9．（22-23九年级·河南南阳·阶段练习）综合与实践
问题情境：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
动手操作：
步骤一：将边长为的正方形纸片对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1．
步骤二：将图中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图．
步骤三：在图的基础上，延长与边交于点，得到图．
问题解决：
(1)在图中，连接．①求的度数．②求的值．
(2)在图的基础上延长与边交于点，如图，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
10．（22-23九年级·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，动点从出发，沿射线方向移动，作关于直线的对称．
(1)若四边形是正方形，直线与直线相交于点，连接．
①如图，当点在线段上不包括和，说明结论“”成立的理由．
②当点在线段延长线上，试探究：结论是否总是成立？请说明理由．
(2)在矩形中，，，当点在线段延长线上，当为直角三角形时，直接写出的长 ．中小学教育资源及组卷应用平台
1.6特殊平行四边形 解答题专项练习
题型一、有关矩形的性质的解答题
1．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线分别与交于点，点是对角线上一点，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点是的中点，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接与交于点，证明，即可得证；
（2）过点作于点，由平行四边形的性质及中位线的性质得，，，证和均为等腰直角三角形得，在中，由勾股定理可得解．
【详解】（1）解：连接与交于点
四边形是矩形
即
四边形是平行四边形
（2）解：过点作于点
四边形是平行四边形
点是中点，
∴，
∴，
，
，
平分，
，
和均为等腰直角三角形
在中，由勾股定理可得：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
2．（2024年北京市西城区中考二模数学试题）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由全等三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（23-24九年级·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结．
(1)当点F在下方时（如图1），求证：．
(2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长．
(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的长为或6或10
【分析】（1）由外角性质，折叠的性质可得，，，能够推导出，从而可证明结论；
（2）当点F落在矩形的对称轴上时，即，交于点M，由勾股定理，折叠性质，中位线的定义求出的长，利用勾股定理即可求解；
（3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时．
【详解】（1）证明：由折叠性质可知：，，
点D为对角线中点，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，当点F落在矩形的对称轴上时，即，交于点M，
在中，
，且为中点，
为中位线，
， ，
由折叠性质，，则
设，则，
在中，
，即，
解得：，
的长为；
（3）存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
如图，当四边形为平行四边形时，
，且，
，
；
如图，当四边形为平行四边形时，
，，
，
，
在中，，
；
如图，当四边形为平行四边形时，
，
，
，
在中，，
，
综上所述，的长为或6或10．
【点睛】本题是四边形的综合题，图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，中位线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
题型二、有关矩形的判定的解答题
4．（2024·云南昭通·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E、F、G、H分别在、上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若点M、N、P分别是的中点，连接分别经过点H、G、O，且H、G、O分别为的中点，若的面积是矩形面积的m倍，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）先由矩形的性质得，证明四边形是平行四边形，再由可得四边形是矩形；
（2）连接，证明，故可得结论．
【详解】（1）证明： 在矩形中，对角线与相交于点，
∴
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，即，
∴四边形是矩形；
（2）解： 由题知分别为的中点，
∴
∵四边形是矩形，
∴
∵分别是的中点，
∴
∴
如图， 连接，
在矩形中，点O是对角线的交点，由中心对称性可得：
∴，
∵是的中点，是的中点，
由（1）可得， ，
∴
∴
∴是的中点，是的中点．
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定与性质，平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
5．（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，．
(1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形；
(3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形；
【答案】(1)见解析；
(2)或；
(3)．
【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想．
（1）根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，利用内错角相等得，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）如图1，连接，分、两种情况，列方程计算即可；
（3）连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，
、分别是、的中点，
，，
，
、是对角线上的两个动点，分别从A、同时出发，相向而行，速度均为，
，
，
，
，，
，
以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接，由（1）可知四边形是平行四边形，
、分别是、的中点，
，
当时，四边形是矩形，分两种情况：
①∵，则，
解得：，
②
∵，则，
解得：，
即当为秒或秒时，四边形是矩形；
（3）如图2，连接、，
四边形是菱形，
，，，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
即为秒时，四边形是菱形．
6．（2024·江苏镇江·二模）如图，平行四边形中，、分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)连接，当与满足条件________时，四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，，由、分别是、的中点，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，，，由、分别是、的中点，得到，推出四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，，
、分别是、的中点，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：当与满足条件时，四边形是矩形．
在平行四边形中，，，，
、分别是、的中点，
，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
题型三、有关矩形的性质与判定的解答题
7．（23-24九年级·湖南娄底·期中）如图，在中，，点P是上（不与A，B重合）的一动点，过P作，垂足分别是E，F，连接，M为的中点．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由．
(2)随着P点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，请求出的长度，若有变化，请求出的变化范围．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)的长度会改变；
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，矩形的判定和性质：
（1）根据勾股定理逆定理可得，即可；
（2）连接，则必过点M，根据矩形的性质可得， ，过C作于点D，当点P与点D重合时，最小，此时最小，最小值为，再由，可得，从而得到的最小值为，然后根据点P是上（不与A，B重合）的一动点，可得，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：的长度会改变．
如图，连接，则必过点M，
由（1）得：四边形是矩形，
∴， ，
过C作于点D，当点P与点D重合时，最小，此时最小，最小值为，
∵，
即，
解得：，
即的最小值为，
∵点P是上（不与A，B重合）的一动点，
∴，
∴，
∴的长变化范围是．
8．（22-23九年级·贵州黔南·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，
(1)求证：；
(2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6，48
【分析】（1）证明四边形是矩形，即可；
（2）根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
（2）解：∵点E、F分别为线段的中点，，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
9．（22-23九年级·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，是边上的高，，，，点是边上一动点，设的长为．
(1)当的值为________时，四边形为平行四边形；
(2)当的值为________时，四边形为矩形；
(3)当是以边为腰的等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为
【分析】（1）运用，的判定方法即可求解；
（2）运用“三个角是直角的四边形是矩形”的判定方法即可求解；
（3）如图所示，是以边为腰的等腰三角形，过点作于点，由（2）可知四边形是矩形，可求出，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
∴，即，解得，，
∴当时，四边形为平行四边形，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴当时，即时，四边形为矩形，
∴，
在中，，，，根据勾股定理得，，
∴，且，
∴，
∴当时，，四边形为矩形，
故答案为：．
（3）解：如图所示，是以边为腰的等腰三角形，过点作于点，
由（2）可知，四边形是矩形，
∴，
∵是以边为腰的等腰三角形，
∴，，
在中，，
∴，解得，，
∴当是以边为腰的等腰三角形时，的值为．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
题型四、有关菱形的性质的解答题
10．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）学行四边形后，小芳进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中特别容易出现全等三角形，这样就可以利用平行四边形的性质构造全等来解决“仅用无刻度的直尺画出与已知线段相等的线段”的问题．在解决问题“如图，在菱形中，点是上一点，请仅用无刻度的直尺在线段上画点，使得”的过程中，小芳的作图过程是：连接交于点，连接并延长与相交于一点即为点．请你判断她画的是否正确，并说明理由．
【答案】正确，见解析
【分析】本题考查菱形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质；根据题意，则，，根据全等三角的判定和性质，则得到
，推出，，再根据全等三角形的判定和性质，则，即可．
【详解】正确，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
11．（22-23九年级·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形的面积为
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
12．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，已知四边形是菱形，，．
(1)求证：；
(2)当 时，的面积是四边形面积的四分之一．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由菱形的性质得出，，，再证明，得出，即可得出结论；
（2）连接，先求出，则当的面积是四边形面积的四分之一时，，即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，的面积是四边形面积的四分之一，
过程如下：
如图，连接，
四边形是菱形，
，
由（1）得：，
，
，
即，
，
当的面积是四边形面积的四分之一时，，
即，
，
故答案为：．
题型五、有关菱形的判定的解答题
13．（20-21九年级·湖南株洲·期末）如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)当时，四边形是菱形，理由见详解
【分析】（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；
（2）由，，得到，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．
【详解】（1）证明：在中，是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：满足条件时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
为中线，
，
即，
平行四边形为菱形．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，在矩形中，是对角线．
(1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形．理由见解析
【分析】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明．
【详解】（1）解：所作的图形如下：
（2）证明：四边形是菱形．理由如下，
∵四边形为矩形，
∴，
由翻折知，，
由作图知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
15．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等；
②作点D关于直线的对称点E，连接，，．
(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图：
（1）①根据垂直平分线的画法作图即可；②以点O为圆心，长为半径画弧，交于点E，连线即可；
（2）由线段垂直平分线的定义可得，，再由轴对称的性质可得，由此即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）解：①如图所示，点D即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵点D和点E关于直线的对称，
∴，
∴四边形是菱形．
题型六、有关菱形的性质与判定的解答题
16．（23-24九年级·山东菏泽·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点．
（1）求证：；
【问题探究】
（2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由菱形性质得出，，再证明，结合边的等量代换，即可作答．
（2）由全等三角形的性质得出以及等边对等角，得出，结合菱形性质，则，即可证明是等边三角形，则．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
17．（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)若点E、F同时运动，当t为何值时，四边形是平行四边形；
(2)在（1）的条件下， 当为何值时， 四边形是菱形？
(3)在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？
【答案】(1)2
(2)
(3)不能；理由见解析
【分析】本题综合考查平行四边形的判定和菱形的判定．考查学生综合运用数学知识的能力．
（1）根据要使四边形为平行四边形时，得出，即可求得t值；
（2）若是菱形，则垂直于，即有，故可求；
（3）若是矩形，，则此时E在O上，所以四边形不可以是矩形．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
若四边形为平行四边形，
∴，，
∵E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，
∴，，
∴，
∴，
∴当t的值为2时，四边形是平行四边形．
（2）解：若四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不可以．
若是矩形，，
∴，
∴，
则此时E在点B上，F在O上，
显然四边形不是矩形．
18．（20-21九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，．
(1)在图①中，P是上一点，垂直平分，分别交边于点E、F，求证：四边形是菱形；
(2)若菱形的四个顶点都在矩形的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）当P与C重合时，菱形面积最大，然后在 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明∶如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解∶如图2中，当P与C重合时，菱形面积最大．
设，
在 中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型七 、有关正方形的性质的解答题
19．（2024九年级·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．
(1)求证：．
(2)延长交于F，当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．（23-24九年级·辽宁大连·期中）如图，矩形中，点在边上，，点在上，于点．
(1)求证：；
(2)若，探究线段，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（2）过点作于点．证明．得出．则可得出结论；
（3）证明，得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
矩形中，，
，
；
（2）解：过点作于点．
．
矩形中，，
．
由（1）知，
．
，，
．
，，
，
矩形中，，，
，
由（1）知，
又，
，，
．
，，
．
．
．
；
（3）解：由（2）知，，
又，
，
，
，，
．
在中，，
由（2）知，．
，
在中，，
，
，
解得．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
21．（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图1，点在线段上，分别以、为边在线段的同侧作正方形和，连接、．
(1)若，则_________；
(2)如果点在线段的延长线上，如图2，其他条件不变，求证：．
【答案】(1)5
(2)详见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用证明即可求解；
（2）连接，利用证明即可推出结论．
【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
；
故答案为：5；
（2）证明：连接，
四边形、是正方形，
，，
∴，
．
题型八、有关正方形的判定的解答题
22．（23-24九年级·广东汕尾·期中）如图，在中，，的平分线交于D，过点B作交的外角平分线于E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，四边形是正方形．理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三线合一：
（1）先根据平分，得，然后根据是的外角平分线，可求出，再根据平行线的性质得到得到，即可证明四边形ADBE为矩形；
（2）根据矩形的性质可知当时，则°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边，再运用邻边相等的矩形是正方形，问题得证．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，，
∵是的外角平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：当时，四边形是正方形．理由如下：
∵，平分，，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴矩形为正方形．
23．（23-24九年级·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，．
(1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由．
(2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？
【答案】(1)矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解
(2)当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解
【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形；
（2） 若点为的中点， 则为等腰三角形的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ．
本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ．
【详解】（1）解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下：
，点为的中点，
，
和为全等的等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
四边形为矩形；
（2）解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下：
点为的中点，
为等腰三角形的顶角的平分线，
，
矩形变为正方形 ．
题型九、有关正方形的性质与判定的解答题
24．（23-24九年级·辽宁营口·期中）【问题提出】：如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图2．当时，求出的大小；（提示：可在边上取点，使．连接，构造全等三角形来解答问题）
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等：
（1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到．
（2）在上截取，使，连接，证明，得到，由菱形的性质得到，，则．再由即可得到结论．
【详解】（1）解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
，
，
∴
．
（2）解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
∵四边形是菱形，
∴，，
，，
，
．
．
25．（23-24九年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接．
初步探究：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）（1）中的结论不成立，理由见解析；（3）四边形是正方形，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定方法．
（1）根据矩形的性质和菱形的判定方法进行证明即可；
（2）根据菱形的性质和矩形的判定方法进行证明即可；
（3）根据正方形的性质和判断进行证明即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形
理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
所以四边形是菱形 ；
（2）（1）中的结论不成立；
理由如下：
同（1），得四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（3）四边形是正方形；
理由如下：
同（1），得四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是正方形．
题型十、有关四边形综合问题的解答题
26．（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为．
(1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示）
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）证，得出即可；
（2）证，分别列出，，，，再用正方形面积减去即可；
（3）先确定四边形是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得，，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵点是对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）根据题意，得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵点是对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
；；，
∴，
综上，；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是轴对称图形，
①当四边形是矩形时，如图，
只需即可，
则此时只需即可，
∴，
解得；
②当四边形是菱形时，，
∴，
解得（舍去）；
综上，当四边形是轴对称图形时，的值是．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，动点问题，矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
27．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：
（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ；
问题探究：
（2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长；
拓展延伸：
（3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长．
【答案】观察发现：（1）45；；问题探究：（2）在；；拓展延伸：（3）的长为15
【分析】（1）四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案；
（2）延长交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，即可求解；
（3）当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，设，，根据，即可求解．
【详解】（1）∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵F为边的中点，
∴，
将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H，
∴，
∵，
∴；
故答案为：45；；
（2）延长交于点M，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴
∴和均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴；
∵，
∴，
由折叠性质得：，
∴点G在边上；
故答案为：在；
（3）当时，
过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设,
∵，
∴，
解得：，
∴；
综上，的长为15．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
1．（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定及性质，以及勾股定理，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，解方程即可求解；
（2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程即可求解；
（3）四边形为平行四边形，四边形的面积，，解得，，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可求解．
【详解】（1） 在矩形中，，，
，，
设经过后四边形是正方形，
则，，
在矩形中，，，
当时，四边形是正方形，
，解得，
故当时，四边形是正方形；
（2），，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
，
由（1）知，
，解得，
故当时，；
（3） 四边形为平行四边形，
四边形的面积，
，解得，
，，
四边形的周长，
矩形的周长，
矩形的周长与四边形的周长的比值为．
2．（23-24九年级·辽宁大连·期中）如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，．
(1)如图1，若，则的度数为______
(2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)四边形的面积为．
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，利用完全平方公式求面积是解题的关键．
（1）设根据菱形的性质和等腰三角形的性质，得出三个角的度数，列方程得出，即可得到的度数；
（2）连接，求出对角线的长度，从而得出四边形的边长，求出面积．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
设， 则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点，如图：
设，则，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，
，
∴四边形的面积为．
3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积
【答案】(1)
(2)
(3)15，
【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解；
（2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解；
（3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
由已知可得，，
在矩形中，，
当时，四边形为矩形，
∴，得，
故当时，四边形为矩形；
（2）∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当，即时，四边形为菱形
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）当时，，
则周长为；
面积为．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
4．（23-24九年级·河南漯河·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)[思想探究]
已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小亮想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含a的代数式表示______，用含b的代数式表示______；
②据此写出的最小值：______；
(2)[类比应用]
根据上述方法，求代数式的最小值．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
（1）①用勾股定理求解；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作的延长线于点H，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可；
（2）可变形为，仿照（1）中方法画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】（1）解：①，，，
，
，，，
，
故答案为：，；
②如图，连接，延长，作的延长线于点H，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
的最小值为，
即的最小值为，
故答案为：；
（2）解：如图，设，，，，则，
在中，，
在中，，
，
同（1）可证四边形是矩形，
，，
，
，
，
的最小值为，
即的最小值为．
5．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．如图1在边上取一点D，将沿折叠，使点C恰好落在边上，记作E点．
(1)求点E的坐标及折痕的长；
(2)如图2，在边上选取适当的点F、G，将沿折叠，使点C落在上，记为H点，设，，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且，取线段段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
【答案】(1)；
(2)
(3)图见解析，周长最小值为22
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，易得，则，即可得到点坐标；在中，设，则，利用勾股定理可计算出，再在中，利用勾股定理计算出；
（2）过点作于，则，从而在中可用表示出的长，利用梯形的面积公式可用表示出，点与点重合时是取得最大值的点；
（3）如图所示，过点B作，且，作F关于x轴的对称点，从而推出四边形的周长，则要使四边形的周长最小，即最小，即最小，故当，N，三点共线时，有最小值，即，根据两点距离公式即可求出，然后求出直线的解析式，即可求出N点坐标，从而得到M点坐标．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿折叠，使点恰好落在边点上，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴点坐标为；
在中，设，则，
∵
∴，
解得，
∴
在中，；
（2）解：过点作于，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形
∴，，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
在中，，即，
解得：，
即；
（3）解：如图所示，过点B作，且，作F关于x轴的对称点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，F为中点，
∴B点坐标为，F坐标为，，
∴的坐标为，的坐标为，
∴四边形的周长，
∴要使四边形的周长最小，即最小，即最小，
∴当，N，三点共线时，有最小值，即，
∵的坐标为，的坐标为，
∴，
∴四边形的周长的最小值，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
令，，
∴N点坐标为，
∴M点坐标为，
∴当M运动到时，四边形的周长最小，最小值为22．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，在求自变量范围的时候，要注意寻找极限点，不要想当然的判断．
6．（22-23九年级·河北沧州·阶段练习）在矩形中，，，P是直线上一动点，连接．
(1)如图，当点P在边上，且时，求的长度；
(2)连接，过点A，D分别作，，与交于点E，连接．当取得最小值时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)以、为邻边作平行四边形，当平行四边形是菱形时，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)四边形是正方形，理由见解析
(3)的长度为或
【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可；
（2）先证明四边形是平行四边形得到；当时，取得最小值，则四边形是菱形．再证明四边形是矩形，则，然后根据等腰三角形的性质证得，，则，进而可得结论；
（3）分当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，两种情况，利用勾股定理和菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
在中，根据勾股定理可得；
（2）解：四边形是正方形；
理由：如图，设与交于点O，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
当时，取得最小值，即，
∴四边形是菱形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴在中，．
同理可得，
∴，
∴菱形是正方形；
（3）解：的长度为或．
如图1，当点P在点B的左侧时，
∵平行四边形是菱形，
∴，，
根据勾股定理可得，
∴；
如图2，当点P在点B的右侧时，，，根据勾股定理可得，
∴．
综上所述，的长度为或．
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形、矩形和菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答的关键．
7．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）作于P，于Q，证明，即可；
（2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果；
（3）分与的夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
（3）解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．
8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在四边形中，．
(1)如图1，若，，，求四边形的面积；
(2)如图2，若，连接，，，直接写出的长度为______；
(3)如图3，在（2）的条件下，求四边形的周长______．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形与正方形的判定和性质等，针对等腰直角三角形构造全等三角形是解题的关键．
（1）由勾股定理依次求得的长，然后再计算两个直角三角形的面积并相加．
（2）自点C分别引的垂线，构造，可证四边形为正方形，得，即，求得，于是在直角中利用勾股定理可求得的长．
（3）利用勾股定理先求得的长，再在等腰直角三角形中求得的长，最后可求得四边形的周长．
【详解】（1）解：解：∵，，
∴，．
∴，
即四边形的面积为．
（2）过点作于，过点作，交的延长线于，
则，
∴四边形是矩形，
，
，则，
又，
∴，则，
∴四边形为正方形，
，
∵ ，即，
，
，即，
故答案为：；
（3），
∴根据勾股定理得，
为等腰直角三角形，
，
设为，
根据勾股定理得：，
解得，
即四边形的周长为：；
故答案为．
9．（22-23九年级·河南南阳·阶段练习）综合与实践
问题情境：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
动手操作：
步骤一：将边长为的正方形纸片对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1．
步骤二：将图中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图．
步骤三：在图的基础上，延长与边交于点，得到图．
问题解决：
(1)在图中，连接．①求的度数．②求的值．
(2)在图的基础上延长与边交于点，如图，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
【分析】（1）由翻折性质可知，，，，推出，证明，推出，，进而得出，设则，，利用勾股定理求出的值即可；
（2）结论：，证明，推出，设则，在中，由勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）解：如图中，
四边形为正方形，
，，
由翻折性质可知，，，，，
，
，，
，
，，
，
四边形的边长为，则，
设则，，
在中，
，
，
解得：，
，，
，
故答案为：，；
（2）结论：，
理由：如图，连接，
由折叠可知，，，
，
，，
，
，
设则，
在中，
，
，
，
解得：，
，，
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
10．（22-23九年级·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，动点从出发，沿射线方向移动，作关于直线的对称．
(1)若四边形是正方形，直线与直线相交于点，连接．
①如图，当点在线段上不包括和，说明结论“”成立的理由．
②当点在线段延长线上，试探究：结论是否总是成立？请说明理由．
(2)在矩形中，，，当点在线段延长线上，当为直角三角形时，直接写出的长 ．
【答案】(1)①成立，理由见解析；②成立，理由见解析；
(2)或或
【分析】（1）①证明，得到，而，则，即可求解；②方法同①，即可；
（2）当为直角时，由，即可求解；当、同理可解．
【详解】（1）解：和关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
，
则；
成立，理由：
如下图，
同理可得：，
，
设，，
则，
则，
，
；
（2）解：如图，当为直角时，
在中，，
由勾股定理得：，
设，则，
由对称知：，，
，
又，
，
在中，，
，
解得：，
即；
如下图，当，在的延长线上时，
在中，，
，
在中，则有：，
解得；
如下图，当时，
，，
四边形为正方形，
，
综上所述，或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
