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1.3.2 探索三角形全等的条件：“SSS”、“HL” 同步练习
题型一 写出全等三角形的判定依据
1．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可判断．判断这两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
2．过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是
A． B． C． D．
题型二 添加适当的条件，使三角形全等
1．如图，，垂足为，且，若用“”证明，则需添加的条件是
A． B． C． D．
2．如图，于，，增加下列一个条件：（1）；（2）；（3），其中能判定的条件有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图在和中，，当添加条件 时，可由“边边边”判定．
4．如图，在和中，，，当添加 条件时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件）
5．如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可）
题型三 确定网格中全等三角形的个数
1．如图，在的正方形网格，的三个顶点均在格点上，点也在格上（不与重合），则能使与全等所有的点的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
题型四 证明两个三角形全等
1．如图，已知，，，是上的两点，且，，那么图中全等三角形有
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2．如图，，，，求证：．
3．如图，，点，，，在同一直线上，，，求证：．
4．已知：如图，，为的高，为上一点，交于且有．求证：．
题型五 全等三角形的判定与性质
1．如图，在和中，点在边上，边交边于点．若，，，则等于
A． B． C． D．
2．如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则是
A．4 B．3 C．3.5 D．2.5
3．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
4．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：．
5．在四边形中，，于，于，，．求证：．
6．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，．
求证：．
7．如图，在直角三角形中，，，，，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，且点不与点，重合，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？
题型六 全等三角形的应用
1．某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，，分别是，的中点，，那么的依据是
A． B． C． D．
2．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是
A． B． C． D．
3．为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是
A． B． C． D．
题型七 尺规作图
1．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是
A． B． C． D．
2．如图，已知，用尺规作图如下：
①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点
②以点为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点
③作射线
那么下列角的关系不正确的是
A． B． C． D．
3．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是
A． B．
C． D．以上结论都不对
1．已知：如图，在中，，是过点的直线，于点，于点，且．
（1）若在的同侧（如图①）求证：．
（2）若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
2．已知：点到的两边，所在直线的距离相等，且．
（1）如图1，若点在边上，过点分别作，，，分别是垂足．求证：；
（2）如图2，若点在的内部，求证：；
（3）若点在的外部，成立吗？请画图表示．中小学教育资源及组卷应用平台
1.3.2 探索三角形全等的条件：“SSS”、“HL” 同步练习
题型一 写出全等三角形的判定依据
1．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可判断．判断这两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
【详解】解：在和中，
，
．
故本题选：．
2．过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是
A． B． C． D．
【详解】解：，，
，
与是直角三角形，
在与中，
，
．
故本题选：．
题型二 添加适当的条件，使三角形全等
1．如图，，垂足为，且，若用“”证明，则需添加的条件是
A． B． C． D．
【详解】解：，理由如下：
，
，
在和中，
，
．
故本题选：．
2．如图，于，，增加下列一个条件：（1）；（2）；（3），其中能判定的条件有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【详解】解：（1）若增加的条件是，则可用证明；
（2）若增加的条件是，则可用证明；
（3）若增加的条件是，则可用证明．
故本题选：．
3．如图在和中，，当添加条件 时，可由“边边边”判定．
【详解】解：，，
当时，可由“边边边”判定．
故本题答案为：．
4．如图，在和中，，，当添加 条件时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件）
【详解】解：，理由如下：
，
，即，
在和中，
．
故本题答案为：．
5．如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【详解】解：，理由如下：
，是的两条高线，
，
在和中，
，
．
故本题答案为：（答案不唯一）．
题型三 确定网格中全等三角形的个数
1．如图，在的正方形网格，的三个顶点均在格点上，点也在格上（不与重合），则能使与全等所有的点的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：如图，能使与全等所有的点的个数是3个．
故本题选：．
2．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【详解】解：如图，观察图象可知：满足条件的三角形有5个．
故本题选：．
3．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
故本题答案为：4．
题型四 证明两个三角形全等
1．如图，已知，，，是上的两点，且，，那么图中全等三角形有
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【详解】解：在和中，
，
；
在和中，
，
；
，
，
，
在和中，
，
；
综上，共3对全等三角形．
故本题选：．
2．如图，，，，求证：．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
．
3．如图，，点，，，在同一直线上，，，求证：．
【详解】证明：，
，即，
，
在和中，
，
．
4．已知：如图，，为的高，为上一点，交于且有．求证：．
【详解】证明：是的高，
，
，
，
，
在和中，
，
．
题型五 全等三角形的判定与性质
1．如图，在和中，点在边上，边交边于点．若，，，则等于
A． B． C． D．
【详解】解：在和中，，
，
．
是的外角，
，
．
故本题选：．
2．如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则是
A．4 B．3 C．3.5 D．2.5
【详解】解：如图，连接，
，，
和是直角三角形，
在△和中，
，
△，
，
，
．
故本题选：．
3．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
由（1）可知：，
，
．
4．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：．
【详解】证明：如图，在和中，
，
，
，
，
，
．
5．在四边形中，，于，于，，．求证：．
【详解】解：在与中，
，
，
，
又于，于，
，
在与中，
，
．
6．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，．
求证：．
【详解】证明：在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即．
7．如图，在直角三角形中，，，，，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，且点不与点，重合，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？
【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知：
①当运动到时，
，
在与中，
，
，
即；
②当运动到时，、重合，与题意矛盾，舍去；
综上，当点运动到线段中点时，与全等．
题型六 全等三角形的应用
1．某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，，分别是，的中点，，那么的依据是
A． B． C． D．
【详解】解：，分别是，的中点，，
，
在与中，
，
．
故本题选：．
2．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是
A． B． C． D．
【详解】解：移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，
，
在和中，
，
，
，即是的平分线．
故本题选：．
3．为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是
A． B． C． D．
【详解】解：由题意可得：，
在与中，
，
，
．
故本题选：．
题型七 尺规作图
1．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是
A． B． C． D．
【详解】解：由作法可知：，，，
，
．
故本题选：．
2．如图，已知，用尺规作图如下：
①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点
②以点为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点
③作射线
那么下列角的关系不正确的是
A． B． C． D．
【详解】解：由作图可知：，，故正确；
在与中，
，
，故正确；
，
，故正确，
无法得出，故不正确．
故本题选：．
3．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是
A． B．
C． D．以上结论都不对
【详解】解：由尺规作图:可知：为的角平分线，为的垂线，
，，
在和中，
，
，
，
，故正确；
无法得出，，故、、错误．
故本题选：．
1．已知：如图，在中，，是过点的直线，于点，于点，且．
（1）若在的同侧（如图①）求证：．
（2）若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
【详解】证明：于，于，
，
在和中，
，
，
，
又，
，即；
（2），理由如下：
于，于，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，即．
2．已知：点到的两边，所在直线的距离相等，且．
（1）如图1，若点在边上，过点分别作，，，分别是垂足．求证：；
（2）如图2，若点在的内部，求证：；
（3）若点在的外部，成立吗？请画图表示．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：如图1，过点作于，于，
则，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：不一定成立，理由如下：
分两种情况：
①如图2，过点作的延长线于点，作的延长线于点，
则，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3，过点作于点，作的延长线于点，连接，
则，，
在和中，
，
，
，
．
