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1.3.3 探索三角形全等的条件：5种判定定理综合练习
题型一 5种判定定理的概念辨析
1．如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明
A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等
【详解】解：在和中，，，，
此时和不全等，
∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故本题选：．
2．下列说法正确的是
A．在中，若，则是直角三角形
B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．所有正方形都是全等图形
D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
【详解】解：、在中，若，则是直角三角形，说法正确；
、每条边和每个内角都相等的多边形是正多边形，原命题是假命题；
、所有正方形是相似图形，不一定是全等图形，原命题是假命题；
、如果两个三角形有两边和其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，原命题是假命题．
故本题选：．
3．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
【详解】解：．两条直角边对应相等可利用证明两直角三角形全等；
．两组锐角对应相等不能证明两直角三角形全等；
．一条直角边和斜边对应相等可利用证明两直角三角形全等；
．一条直角边和一锐角对应相等可利用或证明两直角三角形全等．
故本题选：．
题型二 添加适当的条件，使三角形全等
1．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是
A． B． C． D．
【详解】解：、添加，不能判定；
、添加，可根据判定；
、添加，可根据判定；
、添加，可根据判定．
故本题选：．
2．如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是
A．， B．，
C．， D．，
【详解】解：、添加，，，利用能使和全等；
、添加，，不能使和全等；
、添加，，利用能使和全等；
、添加，，利用能使和全等．
故本题选：．
3．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【详解】解：①，，，
和不一定全等；
②，，，
；
③，
，
，
，，
；
④，，，
；
综上，能使的条件有3个．
故本题选：．
4．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【详解】解：③，
，
、①②③根据“”可判断；
、②③④根据“”可判断；
、③④⑤根据“”可判断；
、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断．
故本题选：．
题型三 5种判定定理的综合
1．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，、交于点．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④四边形的面积．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：在与中，
，
，故③正确；
，
在与中，
，
，
，，
，故①②正确；
四边形的面积，故④错误．
故本题选：．
2．如图1，已知，为的角平分线上面一点，连接，；如图2，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，；如图3，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是
A． B． C． D．
【详解】解：是的平分线，
，
在与中，
，
，
图1中有1对三角形全等；
同理：图2中，，
，
，
，
在与中，
，
，
又，
，
图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
……；
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是．
故本题选：．
3．求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．
要求：根据给出的和△，
（1）在此图形上用尺规作出与边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，
（2）写出已知、求证和证明过程．
【详解】解：（1）所作的图形如下：
；
（2）已知：在和△中，，，与分别为与边上的中线，且．
求证：△．
证明：，
在和△中，
，
△，
，
与分别为与边上的中线，
，，
，
在和△中，
，
△．
4．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．
【详解】解：，，，，，，理由如下：
在与中，，
，
；
，，
在与中，
，
；
，，
，即，
，
，，
在与中，，
，
；
在与中，，
，
；
在与中，
，
；
在与中，，
，
．
5．数学兴趣小组在完成一道数学题：
如图，，，．求证：．
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明．
【详解】解：都可行，
证明1：，，
．
在和中，
，
，
，，
，即；
证明2：如图，连接，
，，
．
在和中，
，
，
；
证明3：如图，连接，由证明1可知：，
，
，即，
又，，
，
，
．
题型四 判断三角形是否唯一确定
1．根据下列条件能画出唯一确定的的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【详解】解：、，不能唯一确定三角形；
、，不满足三边关系，不能唯一确定三角形；
、满足，能唯一确定三角形；
、角角角，不能确定唯一三角形．
故本题选：．
2．根据下列条件不能唯一画出的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【详解】解：．满足，能唯一画出；
．满足，能唯一画出；
．满足，可唯一画出；
．由于是，不能唯一画出．
故本题选：．
3．在中，，，所对的边分别记为，，，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【详解】解：、不能确定三角形；
、能确定三角形；
、能确定三角形；
、只能是钝角三角形，能唯一确定．
故本题选：．
4．如图，为锐角，，使点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．
【详解】解：如图，过作于，
点到射线的距离为，
，
①如图，
当点和点重合时，，此时是一个直角三角形；
②如图，
当时，此时点的位置有两个，即有两个；
③如图，
当时，此时是一个三角形；
综上，的范围是或．
故本题答案为：或．
1．如图，在中，平分，于点，已知的面积为，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【详解】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
阴影部分的面积．
故本题选：．
2．如图，在中，，直线经过边的中点，与交于点，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则的最大值为
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，即，
当点、、、共线时，有最大值，最大值为的长，
，
的最大值为．
故本题选：．
3．如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点在边上，点在边上，且，，则的度数是
A． B． C． D．
【详解】解：如图，作交用，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
4．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：于点，于点，
，
，故①正确；
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，故②正确；
，，
，
，故③正确；
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，故④正确．
故本题选：．中小学教育资源及组卷应用平台
1.3.3 探索三角形全等的条件：5种判定定理综合练习
题型一 5种判定定理的概念辨析
1．如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明
A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等
2．下列说法正确的是
A．在中，若，则是直角三角形
B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．所有正方形都是全等图形
D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
3．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
题型二 添加适当的条件，使三角形全等
1．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是
A． B． C． D．
2．如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
题型三 5种判定定理的综合
1．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，、交于点．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④四边形的面积．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，已知，为的角平分线上面一点，连接，；如图2，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，；如图3，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是
A． B． C． D．
3．求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．
要求：根据给出的和△，
（1）在此图形上用尺规作出与边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，
（2）写出已知、求证和证明过程．
4．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．
5．数学兴趣小组在完成一道数学题：
如图，，，．求证：．
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明．
题型四 判断三角形是否唯一确定
1．根据下列条件能画出唯一确定的的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．根据下列条件不能唯一画出的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．在中，，，所对的边分别记为，，，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图，为锐角，，使点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．
1．如图，在中，平分，于点，已知的面积为，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
2．如图，在中，，直线经过边的中点，与交于点，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则的最大值为
A． B． C． D．
3．如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点在边上，点在边上，且，，则的度数是
A． B． C． D．
4．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
