中小学教育资源及组卷应用平台
1.3.4 探索三角形全等的条件：倍长中线、截长补短模型 题型专练
题型一 倍长中线模型
1．如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为
A． B． C． D．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，
在与中，
，
，
，
在中，，
即，．
故本题选：．
2．如图，在四边形中，，，，延长交于点，若，，则四边形的面积等于
A．10 B．20 C．30 D．40
【详解】解：如图，延长到使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即∠BAK=90°，
的面积，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积．
故本题选：．
3．如图，为的中线，在上，交于，且．
求证：．
【详解】证明：如图，延长至，使，连接，
在与中
，
，
，，
，
，
，
，
．
4．如图，中，，是的中点，求证：平分．
【详解】证明：如图，延长到，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，，
又，，
，
在和中，
，
，
，
即平分．
题型二 截长补短模型
1．如图，在中，为一个钝角，交于点，点在上，且，．则下列结论错误的是
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，
，，故，正确；
如图，延长至点，使，连接，
则，
，
，
，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，故错误；
是的一个外角，
，故正确．
故本题选：．
2．已知：平分，，．求证：．
【详解】解：如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
．
3．如图，在中，，，是的平分线，延长至，使．求证：．
【详解】解：在上截取，连接，
是的平分线，
．
则在与中，
，
，
，
又，，
，，
，
，
，
，
，
，即．
4．如图，在中，，
（1）若，，求的度数；
（2）若，求证：平分．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：如图，延长到点，使，连接，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
1．如图，，点是线段的中点，连接，恰好平分，下列说法不正确的是
A． B．线段是的中线
C． D．
【详解】解：，
，故正确；
点是线段的中点，
线段是的中线，故正确；
该题没有或这样的条件，
不一定成立，故不正确；
如图，延长、交于点，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，故正确．
故本题选：．
2．如图，在中，，是的角平分线．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，求证：．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，
当时，
，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
．
当时，的度数为；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故本题答案为：；
（2），理由如下：
如图②，延长至点，使，连接、，
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3），理由如下：
如图③，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
1.3.4 探索三角形全等的条件：倍长中线、截长补短模型 题型专练
题型一 倍长中线模型
1．如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，，，延长交于点，若，，则四边形的面积等于
A．10 B．20 C．30 D．40
3．如图，为的中线，在上，交于，且．
求证：．
4．如图，中，，是的中点，求证：平分．
题型二 截长补短模型
1．如图，在中，为一个钝角，交于点，点在上，且，．则下列结论错误的是
A． B． C． D．
2．已知：平分，，．求证：．
3．如图，在中，，，是的平分线，延长至，使．求证：．
4．如图，在中，，
（1）若，，求的度数；
（2）若，求证：平分．
1．如图，，点是线段的中点，连接，恰好平分，下列说法不正确的是
A． B．线段是的中线
C． D．
2．如图，在中，，是的角平分线．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，求证：．
3．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
