3.1 椭圆 拓展课 椭圆的“垂径定理” 教学设计（表格式）

教学设计
课 题 椭圆的“垂径定理”
课时安排 2课时 课前准备 备学生，备教材，课件
教材内容 分 析 本节课出自人教A版高中数学选择性必修一第三章第一节的拓展课，讲解了椭圆的简单几何性质，是学生接触三角形，平行四边形，圆这些简单图形外的第一个几何图形，在高考中占有重要地位，椭圆性质的学习也为后面圆锥曲线的学习打下基础，类比学习的思想可以贯穿圆锥曲线学习的始终。
设计理念 遵循“三教”理念：创设情境，发现定理→合作交流，证明定理→变式拓展，巩固定理→回顾反思，知识拓展→师生小结，纳入系统．
学情分析 学生在上一章中学习了圆的有关知识，掌握了圆的方程，体会了方程不是函数，学习了直线与圆，圆与圆的位置关系，这些都是本章学习的基础。通过椭圆及其标准方程的学习，学生知道了什么是椭圆，但只停留在方程上，还没有达到像了解圆一样感受到椭圆的魅力。通过本节课的学习，学生将更加深刻的了解椭圆。
教学目标 1. 类比圆的垂径定理，利用椭圆的轴对称和中心对称探索弦中点有关性质，掌握椭圆中的垂径定理．运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图． 2. 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，激发学生的好奇心和求知欲，促进学生观察分析、归纳问题和解决问题的能力的培养． 3. 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和探索未知事物的兴趣.同时培养学生勇于探索的精神．
教学重难点 重点：椭圆的垂径定理及其应用． 难点：证明椭圆的垂径定理和椭圆垂径定理的应用．
教学过程
教学环节（一） 师生活动 片段1动手实践，发现定理 学生活动一:折纸实验（1），圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，沿着圆纸片的任意一条直径对折，你能通过对折2次找到圆心吗？ 学生1：能，两条不同直径的折痕的交点就是圆心． 师：很好！ 学生活动一:折纸实验（2），根据前面学习的椭圆的简单性质知道，椭圆也是轴对称图形，你也能通过对折2次找到中心吗？ 学生2：能．分别沿着椭圆的长轴和短轴对折，两条对称轴的折痕的交点是椭圆的中心. 师：太棒了！ 学生活动二:（1）利用我们在初中阶段学习的圆的垂径定理，借助尺规作图，如何快捷有效地作出圆纸片的圆心呢？ 学生1：（展示自己的成果：圆纸片）作两组平行弦（非直径），分别取平行弦的中点连线，两条连线的交点就是它的圆心. 师：很好！抓住了平行弦的中点连线必过圆心,从而精准地确定了圆的圆心.请问同学们还有别的做法吗？ 学生2：（展示自己的成果：圆纸片）作一组相交弦（非直径），利用尺规分别作出相交弦的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心. 师：很厉害，直接了当！利用垂直于弦的直径必过圆心，原理还是利用圆的垂径定理． 学生活动二:（2）结合前面研究的椭圆及其简单的几何性质，类比作圆心的方法，借助尺规作图，能不能迅速地作出椭圆纸片的中心呢？ 学生3：（展示自己的椭圆纸片）作两组平行弦，分别取平行弦的中点连线，两条连线的交点就是椭圆的中心. 师：其他同学也是这样做的吗？ 大部分学生都纷纷示意也是如此作出了椭圆的中心. 师：很好.让我们通过折纸实验验证一下是否找对了椭圆的中心呢？（沿着椭圆的长轴和短轴对折，两条对称轴的折痕的交点果然和其重合.）
设计意图 通过活动1能让学生回忆起圆的垂径定理，通过类比圆的学习，发现椭圆的垂径定理，也为椭圆的垂径定理的证明做好铺垫，但此活动对高二年级学生来说过于简单，缺乏挑战性．通过活动2引导学生去发现椭圆的平行弦中点的连线必过椭圆的中心.让学生在经历观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展过程．
教学环节（二） 师生活动 片段2合作讨论，证明定理 师：通过活动2我们能感知椭圆的平行弦中点的连线必过椭圆的中心，而活动一对折实验是一种实验验证，你们还能通过演绎推理论证方式来证明该结论吗？ 学生：学生一下子陷入沉思（或是茫然）． 师：不妨设中心为原点，焦点在轴的椭圆，同学们先对椭圆的任意两条平行弦进行分类？怎么分类讨论呢？ 学生1：两条平行弦中包括一条过中心的弦（即椭圆的直径）和两条平行弦皆不过中心的弦（即非直径）． 师：这样一分类，包括一条过中心的弦（即椭圆的直径）的两条平行弦的中点连线必过椭圆的中心吗？ 学生2：其中过中心的弦（即椭圆的直径）的中点就是中心，显然这两条平行弦的中点连线必过椭圆的. 师：很好.那另一类：两条平行弦皆不过中心的弦（即非直径）的中点连线必过椭圆的中心怎么证呢？有没有比较特殊的平行弦呢？ 这时爱动脑筋的学生3高高举起了手，说道：平行与坐标轴的弦.边说边跑到黑板前给学生画了两组分别平行于轴和轴的平行弦. 学生3：而且容易根据椭圆关于坐标轴对称得到平行于坐标轴的平行弦的中点连线必过椭圆的中心. 师：真棒！平行于坐标轴的平行弦，换言之，也就是分别平行于轴的平行弦（所在直线斜率为）和平行于轴的平行弦（所在直线斜率不存在）.那不平行于坐标轴的平行弦（即弦所在直线斜率存在，且）的中点连线必过椭圆的中心怎么证呢？请同学们回忆处理直线和圆锥曲线位置关系相关问题的主要处理方法是什么？ 学生4：联立方程组法和点差法．只需证明不平行于坐标轴的平行弦中，任意一条弦的中点都在过原点直线上即可. 师：那我们一起尝试下如何去证明？ 学生们进行了小组讨论，学生2，学生3分别给出了不同的证明. 学生2：（联立方程组法）不妨设不平行于坐标轴的平行弦的任意一条弦所在直线的方程为：，与椭圆相交于两点. 设点，中点，则， 联立方程组得：，消去整理得：， ，故弦中点必在过原点直线上. 学生3：（点差法：取点代入，然后作差）设点，中点，则，联立方程组得：，两式相减得： 故弦中点必在过原点直线上. 师：很好.熟练掌握了解析几何中联立方程组法（设而不求法）和点差法的思想方法，解决了弦中点有关问题.从刚才的证明我们可以引导出如下结论: 若是椭圆的一条不平行于坐标轴的非直径弦，是弦的中点，则. 师：同学们我们知道，圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴长无限趋近于长半轴长 时，椭圆近似可看作圆.椭圆中，若趋近于，椭圆趋近于圆，则，则结论变为圆中的垂径定理.我们可以认为，这是圆的垂径定理的推广，所以我们形象地把这个结论称为椭圆的垂径定理. 师：除了上面我们证明椭圆的垂径定理的两种方法，我们是否可以建立在圆的垂径定理的基础上来推导呢？ 学生1：在同一直角坐标系下，椭圆可以看作由圆：作伸缩变换得到. 师：补充道：也就是，圆上的任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的而得到椭圆对应点.好，继续阐述你的推导. 学生1：由圆的垂径定理知： ， ，即证得椭圆的垂径定理. 师：很好，利用伸缩变换巧妙地证明了椭圆的垂径定理.无论在圆中，还是在椭圆中两条直线都是“垂直的”，只是由于图形在同一直角坐标系中做了伸缩变换使得原先的斜率的乘积发生了改变.事实上，对于椭圆问题，我们可以将其统一写成，若非直径弦所在直线斜率存在，点是弦的中点，则有关椭圆的垂径定理的统一表达式：. 当时，则有；（圆） 当时，则有；（焦点在轴的椭圆） 当时，则有.（焦点在轴的椭圆）
设计意图 通过折纸活动只是让学生能感知椭圆的平行弦中点的连线必过椭圆的中心，而对折是一种实验验证，证明椭圆垂径定理之前必须要用推理论证的方法来证明椭圆的平行弦中点的连线必过椭圆的中心．如何去突破这个教学难点呢？是懦弱的避开，还是勇敢的前行，为了体现数学的严谨性，更为了学生今后的发展，我通过不断的启发，引导，在师生，生生不断的互动下，终于顺利的完成了证明，引导出椭圆的垂径定理，为椭圆的垂径定理证明铺平了道路．所谓“条条大路通罗马”，先后分别利用联立方程组法、点差法和伸缩变换法对椭圆的垂径定理作出了证明.类比圆的垂径定理，探索发现，充分体现了特殊到一般的关系，着重凸显了新知识建立在旧知识的基础上的思想方法.感谢于都中学充满智慧的学生，正因为他们优秀的表现才成就了美丽的课堂．当然倘若我们面对的学生是很一般的，那么避开这一环节也是一种选择．
教学环节 （三） 师生活动 片段3由浅入深，体验定理 问题一 过点作斜率为的直线与椭圆 相交于两点，若是弦的中点，求椭圆的离心率. （问题一给出不到1分钟，马上就有学生举手了．） 学生甲：椭圆的离心率，利用椭圆的垂径定理这道题就显得太简单了． 师：的确，此问题不难，利用椭圆的垂径定理就能确定间的关系，再来确定椭圆的离心率. 变式1：如图，已知椭圆，请在图中作出斜率为的平行弦的中点轨迹，并判断轨迹形状，求出其轨迹方程. （此变式一给出，大部分学生迅速地画出了一条直线.） 学生乙：由椭圆的垂径定理可知：椭圆的平行弦中点的连线必过椭圆的中心．所以斜率为的平行弦的中点轨迹就是一条过椭圆的中心的直线，且斜率为1，所以它的轨迹方程为：. 师：其他同学都赞同他的观点吗？ 学生丙反驳：我不赞同，我认为它的轨迹应该是一条不包括端点的线段，而不是完整的直线. 师：为什么呢？ 学生丙补充：因为椭圆弦的中点一定在椭圆内部. （同学们恍然大悟，纷纷赞同此观点,此时班级里响起了热烈的掌声．） 师：很好.那我们一起进一步确定轨迹方程中的取值范围吧. 请了学生丙，学生丁上台来展示解答过程. 学生丙：设平行弦中任意一条的弦的中点，由椭圆的垂径定理得：，所在直线， 又椭圆弦的中点只能在椭圆的内部，，解得： ，故斜率为的平行弦的中点轨迹方程为：，形状为线段（不包括端点）. 学生丁：（点差法）设平行弦中任意一条的弦的中点，，则两式相减得： 又解得：或， 故斜率为的平行弦的中点轨迹方程为：，形状为线段（不包括端点）. 师：我们解决问题时不能只知道答案，要知道解决问题的方法，更要总结解决同一类问题的一般思维方法，做到“解决一题，熟悉一类”．
设计意图 从一个简单的问题由浅入深，一步一步引导学生掌握解决问题的方法和策略，从而让学生充分体验椭圆的垂径定理的应用价值．在解决问题的过程中注重解决问题后的归纳与整理．在解决问题的过程中更注重培养学生合作交流与逻辑推理意识和能力,让学生在合作讨论过程中去体验椭圆的垂径定理，数学教学始终应把培养学生的数学素养放在第一位，这样的设计符合“三教”理念．
教学环节 （四） 师生活动 片段4注重思想，巩固定理 问题二 点为椭圆上一点，为椭圆的任意一条不过点的直径（即过椭圆中心的弦），请你判断：是否为定值？若是，请求出其定值；若不是，请说明理由. 学生1：是为定值. （点差法）设点，则 为椭圆的任意一条不过点的直径，由椭圆的对称性：关于中心对称得:点A与点B关于原点对称，即， ，又， . 学生2：是为定值. 如图1，取的中点，连接，则，， 图1 由椭圆的垂径定理知：，. 学生3：是为定值. 如图2，取的中点，连接，则，， 图2 由椭圆的垂径定理知：，. 变式2：点为椭圆上一动点，为椭圆的任意一条不过点的直径（即过椭圆中心的弦），请你判断：是否为定值？ 学生4：仍是为定值，.证法类似. 师：同学们自己尝试对题干中的动点，或椭圆的方程，或动弦稍作变式，继续判断是否为定值？ …… 问题三 点为椭圆上一动点，为椭圆的任意一条不过点的直径（即过椭圆中心的弦），请你判断：是否为定值？ 学生5：仍是为定值，.证法类似. 师生共同归纳总结出： 椭圆的垂径定理的推论：（椭圆的直径性质）点为椭圆上一动点，为椭圆的任意一条不过点的直径（即椭圆上关于原点对称的两点），当点分别与点连线的斜率存在时，则满足关系：. 师：类比圆的性质，你发现什么？ 学生6：我们知道圆的直径性质：直径所对的圆周角等于，即圆上异于直径端点的动点，当点分别与点连线的斜率存在时，则. 学生7补充：也可以通过圆的伸缩变换来证明上述椭圆的垂径定理的推论. 学生们进行了小组讨论，最后学生给出了多种证明思路．(具体的证明过程留在课外解决） ……
设计意图 在解决问题二、三的过程中不仅让学生再次感受垂径定理的应用价值，再次体会从特殊到一般、具体到抽象的思维策略，进而体味研究问题的一般方法.更让学生体验在解决问题过程中感悟其中蕴含的“变与不变”数学思想方法，目的是不仅要让学生知道结论，还要让学生知道为什么．通过类比到椭圆中自主探究，采用问题链的形式引导学生从不同视觉思考问题进行探索活动，培养学生思维的深度与广度，使每位学生都能在精心设计的问题探讨过程中，不断体验获得阶段性成果的满足感.因为这节课所授学生的素质较高，能较好的完成教师预设的目标．但是我认为作为新授课此环节的问题难度还是偏高．
教学环节 （五） 师生活动 片段5：回顾反思，深挖定理 问题四 前面我们一直在研究椭圆的垂径定理： 若是椭圆的一条不平行于坐标轴的非直径弦，是弦的中点，则.对于该结论成立的条件我们怎么理解呢？ 学生A：弦所在直线和弦中点与椭圆中心的连线的斜率存在． 师：那么一定存在吗？ 学生B:由于弦是不平行坐标轴的弦，显然斜率必存在，且. 师：斜率是否也一定存在呢？ 学生B答不上来，学生C高高举起了手. 学生C:如果弦过椭圆中心的话，弦中点与椭圆中心重合，斜率就不存在了.但是条件中限定了弦是非直径弦，所以斜率也一定存在. 师：同学们，这就是利用椭圆的垂径定理的前提条件，非常微妙.请同学们通过小组讨论，探讨分析椭圆的垂径定理的推论中“当点分别与点连线的斜率存在时”的情形，看看哪个小组思考的情形最有条理又严密、既准确又清晰. …… 师：椭圆的垂径定理中的关系式非常美观，是否能推广到一般的二次曲线呢？ 师：由于时间的关系，希望同学们在课后进一步去思索相关问题．
设计意图 椭圆垂径定理的进一步推广发现与研究在本节课究竟处在什么地位一直是我在教学设计时思考的问题，倘若放在垂径定理研究好后顺势而下，务必会给垂径定理的学习产生干扰，同样也很难保证有足够的时间对垂径定理进行巩固．但若放在巩固好垂径定理之后再学习垂径定理的推论又显得有些不流畅．在权衡利弊之后我最终选择了巩固好椭圆的垂径定理之后再来研究它的推广并让学生带着问题离开课堂，让学有余力的学生在课外进一步去研究，同时也为下一节课的学习做好了铺垫，将课堂由课内延伸到课外，引导学生进行研究性学习．
板书设计 椭圆性质回顾 椭圆中点弦性质——垂径定理 点差法 例1 例2 小结
教学反思 本节课遵循“三教”理念，把“提出问题——解决问题——再提出问题”的学习链贯穿始终，不断引导学生提出问题，解决问题，再产生深层次的问题并带着问题离开课堂．教学中问题一：利用椭圆的垂径定理就能确定间的关系，再来确定椭圆的离心率的问题，在解决问题后引导学生提对问题进行变式，求椭圆的平行弦中点的轨迹问题，接在再对问题进行变式判断是否为定值，不断引导学生阶梯型地层层对题干中的动点，或椭圆C的方程，或动弦变式稍作变式，继续判断是否为定值，提出新的问题，从而让学生在提出问题的过程中，推导出椭圆直径的性质（即椭圆垂径定理的推论）．设置问题一的目的就是在引导学生提出问题，环环相扣，最终让学生体验到“椭圆的垂径定理”的应用价值．对于一些学生课堂上一下子未能提出的问题，可以由教师提出来，然后引导学生去解决，再让学生去提出问题．如在研究椭圆垂径定理成立条件时，教师先引导学生一定存在吗？鼓励学生自主探究去解决问题．再引导学生去提出新的问题，并带着问题离开课堂．希尔伯特关于数学问题的论述对我们的数学教学有一定的指导意义：“一个数学问题应该是困难的，但却不应是完全不可解决而致使我们白费力气.在通往那隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，最终并以成功的喜悦作为对我们的补偿.”我们把产生的新问题作为教学的生成性资源或后续研究的起点，把探究的触角延展到课外，让核心问题成为学生学习知识、习得能力的纽带，从而让学生在提出问题，解决问题，再提出问题的体验中，促进学生问题意识的培养．