八年级数学上册人教版 第14章《整式乘法与因式分解》单元测试卷（含解析）

第14章《整式乘法与因式分解》单元测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则的结果是（ ）
A．9 B．7 C．3 D．6
5．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
7．若是完全平方式．则的值是（ ）
A．或1 B．7 C． D．7或
8．某家具生产厂一月份生产沙发a件，生产椅子4a件．已知沙发产量每月平均增长率为x，椅子产量每月平均降低率为y．若该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，且，则为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
9．从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排列，则第个数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列算式是小明的作业，那么小明做对的题数为（ ）
（1）若，，则； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．因式分解 ．
12．计算： ．
13．已知，，则 ．
14．若，则的值为 ．
15．已知，则代数式的值为 ．
16．如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，例如：，，，那么展开式中系数分别为 ．
17．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为 ．
18．一片草地辟出一块长方形场地后，还修建了一条宽为1米的羊肠小道，如图（单位：米），根据图示信息，草地剩余部分（图中阴影部分）的面积可用代数式表示为 米．（保留最简结果）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1)； (2)．
20．（8分）运用乘法公式计算：
(1)； (2)
21．（10分）因式分解：
(1)； (2)．
22．（10分）先化简，再求值：，其中，．
23．（10分）【材料阅读】
若，求m和n的值．
解：由题意得．
．
解得，．
【问题解决】
（1）对于代数式，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
（2）已知的边长a，b，c满足，若c是最长边且为偶数，求的周长．
24．（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果．
【形成结论】
（1）探究2中 ；
【应用结论】
（2）利用（1）问所得到的结论求解：
已知，，求的值；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，求的值．
答案解析：
一、单选题
1．B
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．
【详解】解：，
故选B．
2．B
【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，本题即，解得结果．
【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查平方差公式，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．利用平方差公式、完全平方公式逐一分析即可．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
4．B
【分析】本题考查了分式的基本性质以及完全平方公式，能熟练应用相关性质是解题的关键．将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．
【详解】解：，
故选B．
5．C
【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义“把一个整式化为几个因式的积的形式”是解题关键．
【详解】解：A. ，原式分解不完全，故不正确；
B. ，原式分解有分式，故不正确；
C. ，分解正确；
D. ，原式分解左右不相等，故不正确；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查找公因式，根据系数找最大公因数，字母找相同字母最低指数即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
的公式为：，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．完全平方公式：这里首末两项是和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和4积的2倍，据此求解即可．
【详解】解：，
在中，，
解得：或．
故选：D．
8．A
【分析】先表示出三月份生产椅子数量为，生产沙发的数量为，根据该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，列出等式，即，整理变形为，最后将代入求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：该生产厂三月份生产椅子数量为，生产沙发的数量为，
∵该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得：，
把代入得：，
解得：，故A正确．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了数字的变化类，首先将符合条件的整数分解成两整数的和与这两整数的差的积，再由整数的奇偶性，判断这个符合条件的整数，是奇数或是能被4整除的数，从而找出符合条件的整数的个数，每20个数中有5个4的倍数，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律是解题关键．
【详解】解：对 为整数
∵与同奇同偶，
∴是奇数或是4的倍数，
∴
解得
∴第个数是
故选：．
10．A
【分析】本题考查了整式的运算问题，分别利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方法则、多项式的除法、乘法法则计算各式进行判断即可．
【详解】（1）若，，则； 小明计算正确；
（2）；小明计算正确；
（3）；小明计算错误；
（4）；小明计算错误；
（5）．小明计算错误；
故正确的有2个
故答案为：A．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查整式的乘法，代入求值，先运用整式的乘法展开，然后整体代入是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．4
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值．
【详解】解：解：，
，
．
故答案为：4．
15．
【分析】先化简代数式，再用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．1、4、6、4、1
【分析】本题考查了与完全平方公式相关的系数类的变化规律，读懂题意并根据所给的式子寻找系数之间的规律，是快速解题的关键．由，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1．
【详解】解：由杨辉三角系数表可以发现：
展开式中各项的系数除首尾两项都是1外，
其余各项系数都等于的展开式中相邻两项系数的和，
则展开式的各项系数依次为1、4、6、4、1．
故答案为：1、4、6、4、1．
17．4
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：根据题意得：，
则她还需取丙纸片的块数为4．
故答案为：4．
18．
【分析】本题考查了平移性质应用，列代数式，整式混合运算，以及数形结合思想，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．
把两条路平移到草地的最上边和最左边，则草地余下部分是长方形，再用草地余下部分长方形的面积减去辟出一块长方形场地面积得草地剩余部分面积，即可求出结果．
【详解】解：
．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）
．
（2）
．
20．（1）解：
（2）
21．（1）解：
（2）解：
22．解：
，
当，时，原式．
23．（1）解：代数存在最小值，
，
，
，
代数式，存在最小值，
当代数式取最小值时，，
代数式的最小值为4，
答：代数式存在最小值，，代数式存在最小值为4；
（2）解：，
，
解得：
的边长a，b，c，
，
是最长边且为偶数，
，
的周长为，
答：的周长为14．
24．解：（1）由图可得：
大正方形的边长为，故大正方形的面积为，
大正方形的面积还可以表示为，
，
故答案为：；
（2），，
，
；
（3） ，
，
，
，
，
，即，
，
．