八年级数学上册人教版 第14章《整式乘法与因式分解》单元测试（含解析）

第14章《整式乘法与因式分解》单元测试
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若的计算结果中项的系数为，则为（ ）
A． B．3 C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算：（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式能用平力差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，（ ）
A．2028 B．2023 C．2022 D．2020
7．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
8．下列各式使用乘法公式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则的值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
10．有一张长为，宽为的长方形纸片，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将剩下部分折起，制成一个无盖的纸盒（如图），已知纸盒的高度为，则纸盒的底面积为（单位：）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．因式分解： ．
13．已知，则代数式 ．
14．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ．
15．已知a、b为正整数，且满足，则满足条件的有序实数对的组数是 ．
16．如图，用四个长为，宽为的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多时，大正方形的面积就比小正方形的面积多，那么中间小正方形的边长为 ．
17．下列说法： 若，则的值是； 是完全平方式，则； 若，则；若，则，其中正确的有
18．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．计算题：
(1)； (2)．
20．（8分）计算：
(1)； (2)
21．（10分）式分解：
(1)； (2)
22．（10分）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ________；
（2）因式分解：；
（3）求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．
23．（10分）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：
【基础公式】请写出完全平方公式______；
【公式变形】公式可以变形为______；
【基础应用】
（1）已知：，，求的值；
（2）已知：，求的值；
【拓展拔高】
若，求的值．
24．（12分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）

数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）．
答案解析：
一、单选题
1．D
【分析】本题考查了因式分解．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解答本题的关键．根据多项式乘以多项式的法则，计算含项的系数之和，得到方程并求解，即得答案．
【详解】在的计算过程中含项有和，
所以
解得．
故选B．
3．D
【分析】本题考查了整式的运算，涉及同底数相乘，同底数相除，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则、正确计算是解题的关键．
【详解】解：A、，原计算错误，故该选项不符合题意；
B、，原计算错误，故该选项不符合题意；
C、，原计算错误，故该选项不符合题意；
D、，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
依据平方差公式进行判断即可，
【详解】A、，故A不符合题意；
B、，符合平方差公式，故B符合题意；
C、不符合平方差公式，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将转化为，再根据即可得到2023．
【详解】解：
，
∵，
∴2023．
故选：B
7．C
【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【详解】解：根据题意设，
∴-p=-a-2，2a=-6，
解得：a=-3，p=-1．
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的结构特征进行判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A不符合题意；
B. ，计算正确，故选项B不符合题意；
C. ，计算错误，故选项C符合题意；
D. ，计算正确，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查完全平方公式，把所给的条件进行整理，从而可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
整理得，，
∴．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查整式乘除的应用．先表示出纸盒底面的长为，宽为，根据矩形的面积公式和整式的乘法法则即可解答．
【详解】纸盒底面的长为，宽为，
∴底面积为（）．
故选：D
二、填空题
11．
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则，准确计算．
【详解】解：．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
【详解】原式
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据题意可得，再根据平方差公式计算并化简，然后把代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
14．
【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方．
符合形式的式子叫完全平方式，要明确，常数项是一次项系数一半的平方．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
故答案为：．
15．4
【分析】本题主要考查因式分解的应用，将变形为，
根据a、b为正整数得，再分类讨论即可求解
【详解】解：∵，
∴，
又a、b为正整数，
∴，
，共4组，
即有序实数对共有4组．
16．2
【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出是解题关键．
分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解．
【详解】解：每个长方形石板的面积为，中间小正方形的边长为，面积为；
大正方形的边长为，面积为，
所以；
当时，解得，
∴，
故答案为：2．
17．
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，根据完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则逐项运算即可判断，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则及乘法公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故正确；
∵是完全平方式，
∴，
故错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
故错误；
∵，
∴，
∴，，
∴，
故正确；
∴正确，
故答案为：．
18．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：
；
（2）解：
．
21．（1）解：原式=
（2）解：原式
22．（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
故答案为：；
（2）解：令，
原式
，
将“”还原，得：
原式；
（3）证明：令，
原式
，
将 还原，
原式，
因为无论为何值，
所以．
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
23．解：基础公式：请写出完全平方公式；
故答案为：；
公式变形：公式可以变形为或；
故答案为：或；
基础应用：
（1）∵，
又∵，
∴；
（2）∵，
拓展拔高：
方程两边同除以a得
即
24．解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1:；图2:；
故答案为：；；
数学思考：
（1），，
，
的值为25；
（2）设，，
，
，
，
，
的值为4050；
拓展运用：的面积，
理由：设，，
，
，
，
，
的面积
．