最新华师版八上数学 13.1 命题、定理与证明 上课课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
华东师大版·八年级上册
第13章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明
1. 命题
新课导入
问题：
说一说，下面哪些句子具有判断功能？
（1）两点之间，线段最短;
（2）画直线 AB;
（3）对顶角相等吗？
（4）同位角相等，两直线平行．
√
√
探究新知
说一说，我们已经学习了哪些图形的特性？
（1）三角形的内角和等于 180°；
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）直角都相等.
它们都是判断某一件事情的语句。
像这样表示判断的语句叫做命题.
命题的两层含义:
1. 命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，
包括肯定句和否定句；
2. 命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断．
判断下列语句是不是命题？
（1）你饭吃了吗？
（2）请画出两条互相平行的直线。
（3）如果两个角的和是 90 ，那么这两个角互余。
×
×
√
命题的构成:
1. 命题是由条件和结论两部分组成的，条件是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项．
2. 命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用
“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部
分就是结论．
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件
结论
命题改写的原则
如果命题不是“如果……，那么……”的形式，可将其进行改写，改写的原则是不改变命题的原意，必要时可添加一些“修饰”成分使句子完整、语言通顺．
改写：直角都相等.
如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
例1
解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.该命题的条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.
把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出该命题的条件与结论.
命题的分类
命题分为真命题和假命题.
有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题称为真命题；
而有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立，像这样的命题，称为假命题．
两直线平行，内错角相等.
同位角相等.
真命题
假命题
真假命题的判断:
（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证．
（2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.
在数学中，这种方法称为“举反例”.
例如，要说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例 (某一锐角与某一钝角的和不是180°) :
___________________________________________
锐角是30°，钝角是120，和为150°.
判断下列命题是真命题还是假命题.
试
一
试
1.（1）如果一个数是偶数，那么这个数是 4 的倍数；
（2）等角的余角相等；（3）同位角相等；（4）
若 xy＝0，则 x＝0．
分析: 对于（1），这个数若是 2，那么它就不是 4 的倍数，结论不正确，故是假命题.
判断下列命题是真命题还是假命题.
试
一
试
1.（1）如果一个数是偶数，那么这个数是 4 的倍数；
（2）等角的余角相等；（3）同位角相等；（4）
若 xy＝0，则 x＝0．
对于（3），要对构成同位角的几条直线的位置关系分类讨论，如果两直线不平行，那么这个判断是错误的，故是假命题.
判断下列命题是真命题还是假命题.
试
一
试
1.（1）如果一个数是偶数，那么这个数是 4 的倍数；
（2）等角的余角相等；（3）同位角相等；（4）
若 xy＝0，则 x＝0．
对于（4），有可能 y＝0，结论不正确，故是假命题．
解: （1）（3）（4）是假命题；（2）是真命题．
2. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
（1）如果 a＋b ≥ 0，那么 ab＞0；
（2）两个锐角的和是锐角．
解: （1）取 a＝2，b＝－1，
则 a＋b＝2＋(－1)＝1＞0，
但是 ab＝2×(－1)＝－2＜0，
所以此命题是假命题．
2. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
（1）如果 a＋b ≥ 0，那么 ab＞0；
（2）两个锐角的和是锐角．
（2）取两个锐角的度数分别为30°,60°,
则30°＋60°＝90°是直角，而不是锐角,
所以此命题是假命题．
把下列命题改写成“如果……，那么…….”的形式，并分别指出它们的条件和结论:
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解: （1）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边相等．
条件：“两个三角形全等”，结论：“对应边相等”.
随堂练习
把下列命题改写成“如果……，那么…….”的形式，并分别指出它们的条件和结论:
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
随堂练习
解: （2）如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
条件：“同一平面内两条直线垂直于同一条直线”，结论：“两条直线互相平行”.
指出下列命题中的真命题和假命题:
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于 180°；
（3）三角形的外角和等于 360°；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
真命题
四边形的内角和是 360°.
假命题
真命题
真命题
如图,从① ∠1＝ ∠2；②∠C＝∠D ；③∠A ＝∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A. 0　　　　　B. 1　　　　　C. 2　　　　　D. 3
D
课堂小结
命题
概念：
组成
条件：已知事项
结论：由已知事项推出的事项
分类
表示判断得语句
真命题：条件成立时，结论一定成立
假命题：条件成立时，结论不一定成立
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
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2.定理与证明
新课导入
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
探究新知
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
回忆一下，我们学过哪些真命题？
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
1. 下列命题中属于基本事实的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行　　　
B. 三角形的外角和等于 360°
C. 两点确定一条直线
D. 直角三角形两锐角互余
试
一
试
C
2. 下列命题是定理的是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两直线平行，内错角相等
C. 两点确定一条直线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：
命题
真命题
定理
从基本事实或其他真命题出发
可以作为进一步判断其他命题真假的依据
基本事实与定理的联系与区别：
定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，
它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；
定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
2 + 1 =3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
证明的依据：
已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
求证: ∠A +∠B = 90°.
直角三角形的两个锐角互余.
证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
又∵ ∠C = 90°(已知)，
∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90°
(等式的性质).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论;
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;
③用数学语言写出“已知”“求证”;
④找出证明思路;
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;
⑥检查表达过程是否正确、完整．
求证: 平行线的内错角的平分线互相平行．
解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC．
求证: EM ∥FN ．
证明:∵AB∥CD (已知)，
∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)．
∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)，
∴∠2＝ ∠BEF，∠1＝ ∠CFE(角平分线的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)．
把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题（1）所示的定理:
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的外角和等于 360°.
练 习
解: （1）如果同旁内角互补，那么两条直线平行．条件是“同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”．
已知: 如图，直线 AB、CD 和直线 EF 交于点G、H ，∠BGH ＋ ∠GHD ＝ 180°，
求证: AB∥CD ．
证明: ∵ ∠BGH＋∠GHD ＝180°，
∠1＋ ∠BGH ＝180°,
∴∠1＝∠GHD (等角的补角相等)，
∴AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的外角和等于 360°.
已知:如图，△ABC 中，∠DAC，∠EBA ，∠BCF 为△ABC 的外角．
求证:∠DAC ＋ ∠EBA ＋∠BCF＝360°．
证明:由题意，可得 ∠BAC＋∠CAD ＝180°，
∠ABC＋∠EBA ＝180°，∠BCA ＋∠BCF＝180°，
∴∠BAC ＋ ∠CAD ＋ ∠ABC ＋ ∠EBA ＋ ∠BCA ＋
∠BCF＝540°．
由三角形内角和定理知
∠BAC ＋ ∠ABC ＋∠ACB＝180°，
∴∠DAC＋∠EBA ＋∠FCB＝ 540°－180°＝ 360°．
即三角形外角和等于 360°．
习题13.1
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明:
（1）两个锐角的和等于直角;
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角，
但50°＋20°＝70°≠ 90°．
（2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF
所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，∠EMB≠∠END ．
2. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式:
（1）全等三角形的对应角相等;
（2）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
解: （1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
（2）如果一个等腰三角形有一个角等于 60°，那么它是等边三角形．
3.如图，已知 AB⊥MN，CD⊥MN ，垂足分别为点 E、F，直线 PQ 分别交 AB、CD 于点 S、T. 求证: ∠AST = ∠STD. 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.证明 AB ⊥ MN，CD ⊥ MN (已知)，
∴AB∥CD (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，
______________________________________________________________
______________________________________________________________
∵AB 和 CD 被 PQ 所截,
∴∠AST ＝∠STD (两直线平行,内错角相等)．
课堂小结
定理与证明
基本事实
定理
定义
常见的几条基本事实
证明
定义
与基本事实的区别
定义
证明的一般步骤
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.