最新华师版八上数学 13.3 等腰三角形 上课课件(共39张PPT)

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华东师大版·八年级数学上册
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法国巴黎的卢浮宫
城市大桥建筑
探究新知
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
A
B
C
如图，AB＝AC，△ABC 是等腰三角形。
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
做一做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗
A
B
C
D
折叠的两个部分互相重合。
轴对称图形
对称轴
∠B＝∠C
A
B
C
D
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等.
（简写成“等边对等角”）
你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B ＝∠C
证明：画∠BAC的平分线AD.
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
从这里你还可以得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
A
B
C
D
1
2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。
等腰三角形的性质：
（简称“三线合一”）
已知：在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝80°. 求∠C和∠A的大小.
∵ AB =AC（已知）
∴ ∠B = ∠C = 80°（等边对等角）
又 ∵ ∠A + ∠ B + ∠C = 180°（三角形的内角和等于180°）
∴ ∠A ＝180°－∠B－∠C（等式的性质）
＝180°－80°－80°= 20°
如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°. 求：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠1的大小.
2
（1）∵ AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）
∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°. 求：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠1的大小.
2
（2）∵∠1＋∠B＋∠ADB＝180°（三角形的内角和等于180°），
∠B＝30°（已知），
∴ ∠1＝180°－∠B－∠ADB（等式的性质）
＝180°－30°－90°= 60°
A
B
C
等腰三角形
AB＝AC
A
B
C
AB＝AC＝BC
等边三角形
A
B
C
AB＝AC＝BC
三条边都相等的三角形是等边三角形.
在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？
A
B
C
显然，AB＝AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B＝∠C
同理可得∠A＝∠B
∴∠A＝∠B＝∠C
而∠A＋∠B＋∠C＝180°
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
A
B
C
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质：
正三角形
随堂练习
1.填空：
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的大小分别为_____和______；
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角的大小为______.
50°
80°
50°
2. 如图，点E在BC上，AE// DC， AB = AE. 求证：∠B = ∠C.
A
D
C
E
B
证明：∵AE//DC，
∴∠C=∠AEB.
又∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠C.
3. 如图，在△ABC中，AB = AC，BD ⊥AC，CE ⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在△BEC和△CDB中，
∠BEC＝∠CDB，∠EBC＝∠DCB，BC＝CB
∴△BEC≌△CDB（A.A.S.），
∴BD＝CE .
4. 如图，AB =AC，∠B = 40°，点D在BC上，且 ∠DAC = 50°．求证：BD = CD.
A
B
C
D
证明：∵AB＝AC，∠B＝40°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝100°.
∵∠DAC＝50°
∴∠BAD＝∠CAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD（等腰三角形的“三线合一”）
课堂小结
等腰三角形
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°
华东师大版·八年级数学上册
复习导入
A
B
C
等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰相等。
等腰三角形两底角相等（等边对等角）。
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。
等腰三角形是轴对称图形。
探究新知
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢？
按定义，看它是否有两条边相等。
你还能找到其他的判定方法吗？
探索
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
探索
如何证明这一结论？
A
B
C
设法构造两个全等三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C .
求证：AB=AC
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C .
求证：AB=AC
A
B
C
证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
1
2
D
在△BAD和△CAD中，
∵∠B＝∠C（已知），
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △BAD ≌ △CAD （A.A.S.）
∴ AB＝ AC
A
B
C
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
（简写成“等角对等边”)。
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.
A
B
C
40°
70°
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A＝40°，∠B＝70°
∴∠C＝180°－∠A－∠B
＝180°－40°－70°＝70°
∴∠C＝∠B
∴ AB＝AC（等角对等边）
A
B
C
由“等角对等边”可知：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
顶角、底角都可判定
如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC.
A
B
C
D
2
1
证明：∵AB∥CD
∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2 （已知）
∴∠B＝∠1 （等量代换）
∴AB＝AC（等角对等边）
如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
B′
C′
A′
B
A
B
C
C′(C )
A′(A )
证明：由于直角边AC＝A′C′，我们移动Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A'C'的两侧.
∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，
C′(C )
A′(A )
如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
B′
B
∴∠B′C′B＝∠A′C′B′ ＋∠A′C′B＝180°，
即点B′、C′、B在同一条直线上.
在△A′B′B中，
∵ A′B′＝AB＝A′B，
∴∠B＝∠B′（等边对等角）
C′(C )
A′(A )
如图，在 Rt △ABC和 Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
B′
B
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠ B＝∠B′
∠ACB＝∠A′C′B′
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. （A.A.S.）
AC＝A′C′
随堂练习
1. 如图，∠A = 72°，∠B = 36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.
A
B
C
D
72°
36°
72°
36°
36°
∠ACB＝72°
∠BCD＝∠ACD＝36°
△ACD，△BCD，△ABC都是等腰三角形。
2. 如图，AB = DC，∠ABC = ∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB =EC.
B
A
E
D
C
证明: 在△ABC和△DCB中，
∵ AB=DC，
∠ABC=∠DCB，
BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB（S.A.S.），
∴ ∠ECB＝∠EBC，
∴ EB=EC.
3. 如图，∠A = ∠B，CE∥DA. 求证：CE = CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形
B
A
D
C
E
证明: ∵CE∥DA，
∴∠A＝∠CEB .
∵∠A=∠B，
∴∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB .
再增加∠B＝60°，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）
课堂小结
等腰三角形
判定→等角对等边
应用→证明同一个三角形中两边相等
等边三角形→判定方法
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°