最新华师版八上数学 13.4 尺规作图 上课课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
华东师大版·八年级数学上册
1.尺规作图（1）
新课导入
刻度尺
三角尺
量角器
圆规
探究新知
没有刻度的直尺
圆规
只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法叫做尺规作图.
基本的尺规作图：
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作已知角的平分线
经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线
尺规作图时通常保留作图痕迹.
如图，已知：线段a.
求作：线段AB﹐使AB＝a .
a
作法：
（1）作射线AC
A
C
（2）以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B .
B
线段AB就是所求作的线段
作线段的和与差：
如图，已知线段a 、b，求作一条线段AB，使AB=2a－b.（保留作图痕迹）
A
M
C
a
D
a
B
b
线段AB就是所求作的线段 .
作线段的和与差的方法：先画一条射线，然后在这条射线上顺次截取相应的线段，求和时顺次截取叠加，求差时从所画的线段中截去．
如图，已知：∠AOB .
求作：∠A′O′B′，使∠AOB=∠A′O′B′ .
还记得如何作吗？试一试.
A
O
B
A
O
B
O′
A′
（1）首先作射线O′A′；
作法：
（2）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交∠AOB的两边于点E、D；
D
E
A
O
B
O′
A′
（3）以点O′为圆心、OD的长为半径画弧﹐交O′A′于点N ；
作法：
（4）以点N为圆心、DE的长为半径画弧﹐交前一条弧于点M ;
N
M
（5）过点M作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角.
B′
D
E
作角的和与差：
如图，已知∠1和∠2.
求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1＋∠2.
作角的和与差：
分析：先作一个角等于∠1 ，再以∠1一条边作一个角等于∠2.
①在一个角的外部以这个角的一边为边作另外一个角，则两个角的另一边组成的角就是这两个角的和.
②在较大的角的内部以较大角的一边为边作较小的角﹐则两个角的另一边组成的角就是这两个角的差.
利用尺规作图作三角形
已知：线段a及∠1，∠2（如图）.
求作：△ABC，使∠B=∠1，∠C=∠2，BC＝a .
先作一个角等于∠1，再在∠1的一边上截取长度为a的线段，然后在线段另一端作一个角等于∠2，即可得.
随堂练习
1. 任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB+2CD.
M
N
AB
CD
CD
H
线段MH就是所求作的线段 .
2. 任意画出两个角∠1和∠2，其中∠1＞∠2，再作一个角，使它等于∠1－∠2.
1
2
1
2
1
2
课堂小结
尺规作图
工具→没有刻度的直尺、圆规
作图
1.作一条线段等于已知线段→作线段的和与差
2.作一个角等于已知角→作角的和与差
3.作三角形
华东师大版·八年级数学上册
2.尺规作图（2）
新课导入
数学家欧几里得
用圆规和直尺能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢
两千年来，这一直是个未解之谜.
新课导入
高斯
出乎人意料之外的是，这个难题竞被年仅19岁的高斯解决了. 他用直尺和圆规作出了正十七边形.
探究新知
A
O
B
如图，已知∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
A
O
B
作法：
（1）在射线OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；
D
E
（2）分别以点D，E为圆心、大于线段DE长的一半为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
C
（3）作射线OC.
则射线OC就是所求作的∠AOB的平分线.
否则得不到点C或交点C不明显.
A
O
B
D
E
C
如何证明∠AOC＝∠BOC？
A
O
B
D
E
C
如图，连结EC、DC.
∵OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC
∴△OCD≌△OCE（S.S.S.），
∴∠AOC＝∠BOC .
练 习
1. 如图，已知∠A，试作∠B＝ ∠A（不写作法，保留作图痕迹）
A
B
2. 做出图中三角形的三个角的平分线。
内心
如何过一点 C 作已知直线 AB 的垂线呢？
C
点C与已知直线 AB 的位置关系有两种：点C在直线 AB 上或点C在直线 AB 外.
（1）当点 C 在直线 AB 上
C
B
A
① 做平角ACB的平分线CD；
D
② 反向延长射线CD.
直线CD就是要求作的垂线.
（2）当点 C 在直线 AB 外
C
B
A
① 以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧；
D
E
②作∠DCE的平分线.
F
直线CF就是要求作的垂线.
△CDE为等腰三角形. 由“三线合一”可知，只需作出∠DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法：
（1）作直线AB；
B
A
（2）过点A作直线AB的垂线AC；
C
（3）作∠CAB的平分线AD.
D
∠DAB就是要求作的角.
练 习
1. 如图，点P在∠O的一边上，试过点P作该角两边的垂线.
O
P
A
B
2. 如图，作△ABC边BC上的高.
A
B
C
D
AD就是要求作的高.
思考
如图，已知直线l是线段AB的垂直平分线，则直线l是线段AB的对称轴，
对l上的任意两点C、D，总有：
A
B
D
C
l
CA＝CB，DA＝DB
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗
已知：如图，线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线CD.
B
A
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；
C
D
（2）作直线CD.
直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.
如何证明直线CD垂直平分线段AB？
B
A
C
D
B
A
C
D
如图，连结CA、CB、DA、DB.
∵AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD，
∴△ACD≌△BCD（S.S.S.），
∴∠ACD＝∠BCD .
∴CD垂直平分线段AB（等腰三角形的“三线合一”）.
B
A
C
D
线段AB的中点
①找线段中点
②作任意三角形的三边的中线
B
A
练 习
1. 四等分已知线段AB.
2.如图，作△ABC的边BC的垂直平分线.
A
B
C
E
F
直线EF就是要求作的垂直平分线.
课堂小结
（1）以已知角的顶点为圆心、适当长为半径作弧交已知角的两边于两点
（2）再分别以这两个交点为圆心、大于这两点的距离的一半为半径作弧，两弧交于一点
（3）以已知角的顶点为顶点过两弧交点作射线,射线就是已知角的平分线
课堂小结
过直线上一点作垂线
过直线外一点作垂线
课堂小结
（1）分别以已知线段的两个端点为圆心、大于这两点的距离的一半为半径画弧,两弧相交于两点
（2）过这两个交点作直线
（3）该直线就是线段的垂直平分线