【沪科版九上同步练习】 22.2 相似三角形的判定（含答案）
文档属性
| 名称 | 【沪科版九上同步练习】 22.2 相似三角形的判定（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 11.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-22 17:50:21 | ||
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文档简介
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【沪科版九上同步练习】
22.2相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似
2．如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
4．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．1对； B．2对； C．3对； D．4对.
5．已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
二、填空题
6．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
7．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加条件 ，能确定△ABC和△ADE相似．
8．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加 即可（只需添加一个条件）.
9．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 .（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 ．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为 ．
三、计算题
12．如图，在 与 中， ，且 .
求证： .
四、解答题
13．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．
14．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
五、综合题
16．如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
17．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E， ，点F在AD上，且 .求证：
（1） ；
（2） ∽ .
18．如图1，在等边中，，动点P从点A出发以的速度沿匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为，过点P作于E，交边于D，线段的中点为M，连接．
（1）当时，求t的值；
（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求的长；
（3）连接，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）如图2，将沿直线翻折，得，连接，当t为何值时，的值最小？并求出最小值．
六、实践探究题
19．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
6．【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】∠B=∠D(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
8．【答案】∠ADE＝∠C
【知识点】相似三角形的判定
9．【答案】∠B=∠DEC（不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
10．【答案】4或
【知识点】相似三角形的判定
11．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
12．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定
13．【答案】解答：∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴Rt△ADC∽Rt△CDB．
【知识点】相似三角形的判定
14．【答案】证明：∵∠B=90°， ∴∠A+∠ACB=90°，∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE．
【知识点】相似三角形的判定
15．【答案】（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；相似三角形的判定
17．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
18．【答案】（1）解：是等边三角形，
∴，
，
，，
∴只有当时，，
则，
是的中点，
是的中点，
即，
时，；
（2）解：不变化．理由如下：
如图，作交于K．
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，
，
（3）解：如图所示，过点P作于点N，
∵，则，
∴，
∴
由（2）可知，
∴，
∴
∴，
∴
（4）解：如图，连接，，
则，
而，
∴当A，，M在一条直线上时，最小，
，，
，
，
，
的最小值为．
由折叠知，，，
∴，
∴，
∴，
即：t为时，的值最小，最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
19．【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
（3）可以，如下图，
设，
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【知识点】相似三角形的判定
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【沪科版九上同步练习】
22.2相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似
2．如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列两个图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
4．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．1对； B．2对； C．3对； D．4对.
5．已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
二、填空题
6．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
7．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加条件 ，能确定△ABC和△ADE相似．
8．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加 即可（只需添加一个条件）.
9．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 .（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 ．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为 ．
三、计算题
12．如图，在 与 中， ，且 .
求证： .
四、解答题
13．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．
14．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
五、综合题
16．如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
17．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E， ，点F在AD上，且 .求证：
（1） ；
（2） ∽ .
18．如图1，在等边中，，动点P从点A出发以的速度沿匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为，过点P作于E，交边于D，线段的中点为M，连接．
（1）当时，求t的值；
（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求的长；
（3）连接，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）如图2，将沿直线翻折，得，连接，当t为何值时，的值最小？并求出最小值．
六、实践探究题
19．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
6．【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】∠B=∠D(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
8．【答案】∠ADE＝∠C
【知识点】相似三角形的判定
9．【答案】∠B=∠DEC（不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
10．【答案】4或
【知识点】相似三角形的判定
11．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
12．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定
13．【答案】解答：∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴Rt△ADC∽Rt△CDB．
【知识点】相似三角形的判定
14．【答案】证明：∵∠B=90°， ∴∠A+∠ACB=90°，∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE．
【知识点】相似三角形的判定
15．【答案】（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；相似三角形的判定
17．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
18．【答案】（1）解：是等边三角形，
∴，
，
，，
∴只有当时，，
则，
是的中点，
是的中点，
即，
时，；
（2）解：不变化．理由如下：
如图，作交于K．
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，
，
（3）解：如图所示，过点P作于点N，
∵，则，
∴，
∴
由（2）可知，
∴，
∴
∴，
∴
（4）解：如图，连接，，
则，
而，
∴当A，，M在一条直线上时，最小，
，，
，
，
，
的最小值为．
由折叠知，，，
∴，
∴，
∴，
即：t为时，的值最小，最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
19．【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
（3）可以，如下图，
设，
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【知识点】相似三角形的判定
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