【沪科版九上同步练习】 22.3 相似三角形的性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 【沪科版九上同步练习】 22.3 相似三角形的性质（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 11.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-22 17:51:45 | ||
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文档简介
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【沪科版九上同步练习】 22.3相似三角形的性质
一、填空题
1．如图，在 中， ， ，垂足为 ， ，则 的长为 .
2．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝ ．
3．已知 ∽ ，AB： ：5，那么 ： .
4．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是 ．
5．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为 cm．
6．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝ a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为 ．
二、单选题
7．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
9． 若两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
10．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：1
11．已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
13．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线移动，如图，当小聪正好站在广场的点（距点5块地砖长）时，其影长恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点（距点9块地砖长）时，其影长恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高为1.6米，，，.请你根据以上信息求出小军身高的长.（精确到0.01）
14．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？；
（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．
四、计算题
15．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
16．如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE=2、EC=3、AC=4，求AD的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0）在轴负半轴上，点C（2，0）在正半轴上，点B（0，）在轴正半轴上，并且、是方程组的解，连接AB、BC.
（1）=________，=________；
（2）经过计算AB=10，动点M从点A出发，沿射线AB以每秒2个单位长度的速度匀速运动，连接MC，设点M的运动时间为t（t>0）秒，用含t的式子表示△BCM的面积S，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点N在线段BC上，且BN=2CN，连接MN.当三角形BMN的面积为8时，求t值，并直接写出点M的坐标.
五、综合题
18．作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
19．已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
20．如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
（3）如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小
六、实践探究题
21．（探究）如图①，在 中，点D、E、F分别在边 、 、 上， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 、 的面积分别为 和 ，则 的值为 ．
（3）（拓展）
如图②，在 中，点D、E分别在边 、 上，点F、G在边 上，且 ， ．若 、 、 的面积分别为3，7，5，则 的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
2．【答案】8
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
3．【答案】16：25
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】64
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】3
【知识点】相似三角形的应用
6．【答案】 或 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
7．【答案】D
【知识点】图形的相似；相似三角形的性质
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
12．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA
（2）解：设DC＝x，
∵△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
解得，x＝9；
即CD＝7
【知识点】相似三角形的判定与性质
13．【答案】解：，，，
，
米，米，米
又米，米
，.
米，米，米
米
答：小军的身高约为1.75米.
【知识点】相似三角形的应用
14．【答案】解：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE=∠MFE，
∴FM=BM，
∵BM=DN，
∴FM=DN，
在△EFM和△EDN中，
，
∴△EFM≌△EDN，
∴EF=ED，
∴BD-2DE=BF，
根据勾股定理得：BF=BM，
即BD-2DE=BM．
（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=BM，
（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，
∵DE=，
∴CM=2，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND，
∵AF：FD=1：2，
∴AB：ND=1：2，
∴CD：ND=1：2，
CD：（CD+2）=1：2，
∴CD=2，∴FD=，
∴FD：BM=1：3，
∴DG：BG=1：3，
∴DG=．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】树的高度AB为15米
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
16．【答案】解：
，
，，
平分
等腰三角形
【知识点】相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）、；（2）①（）②（）（3）3或，或
【知识点】二元一次方程的解；坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）解：△OB′C′是所求的三角形；
（2）解：B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；作图﹣相似变换
19．【答案】（1）证明：∵BD平分，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵（BD是平分线），
∴，
∴，
∵，∴，
则，即，
∴，
∴．
∴．
即的面积是9．
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，
∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中，
，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）解：如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AP=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等边三角形；
（3）解：如图3中，
由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，
∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
∵△ARB∽△PEQ，
∴∠ARB=∠PEQ=90°，
∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，
∴∠MON=180°﹣∠CRD=135°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
21．【答案】（1）证明：∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C，
∴BF=DE，
∵EF∥AB，
∴ ，
∴ ，
∵∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC（SAS）．
（2）
（3）27
【知识点】相似三角形的判定与性质
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【沪科版九上同步练习】 22.3相似三角形的性质
一、填空题
1．如图，在 中， ， ，垂足为 ， ，则 的长为 .
2．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝ ．
3．已知 ∽ ，AB： ：5，那么 ： .
4．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是 ．
5．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为 cm．
6．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝ a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为 ．
二、单选题
7．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
9． 若两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
10．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：1
11．已知：如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
13．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线移动，如图，当小聪正好站在广场的点（距点5块地砖长）时，其影长恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点（距点9块地砖长）时，其影长恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高为1.6米，，，.请你根据以上信息求出小军身高的长.（精确到0.01）
14．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？；
（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．
四、计算题
15．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
16．如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE=2、EC=3、AC=4，求AD的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0）在轴负半轴上，点C（2，0）在正半轴上，点B（0，）在轴正半轴上，并且、是方程组的解，连接AB、BC.
（1）=________，=________；
（2）经过计算AB=10，动点M从点A出发，沿射线AB以每秒2个单位长度的速度匀速运动，连接MC，设点M的运动时间为t（t>0）秒，用含t的式子表示△BCM的面积S，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点N在线段BC上，且BN=2CN，连接MN.当三角形BMN的面积为8时，求t值，并直接写出点M的坐标.
五、综合题
18．作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
19．已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
20．如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；
（3）如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小
六、实践探究题
21．（探究）如图①，在 中，点D、E、F分别在边 、 、 上， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 、 的面积分别为 和 ，则 的值为 ．
（3）（拓展）
如图②，在 中，点D、E分别在边 、 上，点F、G在边 上，且 ， ．若 、 、 的面积分别为3，7，5，则 的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
2．【答案】8
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
3．【答案】16：25
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】64
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】3
【知识点】相似三角形的应用
6．【答案】 或 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
7．【答案】D
【知识点】图形的相似；相似三角形的性质
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
12．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA
（2）解：设DC＝x，
∵△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
解得，x＝9；
即CD＝7
【知识点】相似三角形的判定与性质
13．【答案】解：，，，
，
米，米，米
又米，米
，.
米，米，米
米
答：小军的身高约为1.75米.
【知识点】相似三角形的应用
14．【答案】解：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE=∠MFE，
∴FM=BM，
∵BM=DN，
∴FM=DN，
在△EFM和△EDN中，
，
∴△EFM≌△EDN，
∴EF=ED，
∴BD-2DE=BF，
根据勾股定理得：BF=BM，
即BD-2DE=BM．
（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=BM，
（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，
∵DE=，
∴CM=2，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND，
∵AF：FD=1：2，
∴AB：ND=1：2，
∴CD：ND=1：2，
CD：（CD+2）=1：2，
∴CD=2，∴FD=，
∴FD：BM=1：3，
∴DG：BG=1：3，
∴DG=．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】树的高度AB为15米
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
16．【答案】解：
，
，，
平分
等腰三角形
【知识点】相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）、；（2）①（）②（）（3）3或，或
【知识点】二元一次方程的解；坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）解：△OB′C′是所求的三角形；
（2）解：B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；作图﹣相似变换
19．【答案】（1）证明：∵BD平分，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵（BD是平分线），
∴，
∴，
∵，∴，
则，即，
∴，
∴．
∴．
即的面积是9．
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，
∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中，
，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）解：如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AP=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等边三角形；
（3）解：如图3中，
由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，
∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
∵△ARB∽△PEQ，
∴∠ARB=∠PEQ=90°，
∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，
∴∠MON=180°﹣∠CRD=135°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
21．【答案】（1）证明：∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C，
∴BF=DE，
∵EF∥AB，
∴ ，
∴ ，
∵∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC（SAS）．
（2）
（3）27
【知识点】相似三角形的判定与性质
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