四川省遂宁市2024年中考数学试卷
一、单选题
1．（2024·遂宁）下列各数中，无理数是( )
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2024·遂宁）古代中国诸多技艺均领先世界.榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该“榫”的主视图为：.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此求解即可.
3．（2024·遂宁）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2024·遂宁）下列运算结果正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a-2a=a，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a2×a3=a2+3=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(-a)4=a4，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a+3)(a-3)=a2-9，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断B选项；由负数的偶数次幂为正，可判断C选项；由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2即可判断D选项.
5．（2024·遂宁）不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＜3，
由②得x≥2，
∴该不等式组的解集为：2≤x＜3，
A、此选项数轴上表示的解集是x≤2，故此选项不符合题意；
B、此选项数轴上表示的解集是2≤x＜3，故此选项符合题意；
C、此选项数轴上表示的解集是x＞3，故此选项不符合题意；
D、此选项数轴上表示的解集是2＜x≤3，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”读出各个选项数轴所表示的不等式，即可判断得出答案.
6．（2024·遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n-2)×180°=1080°，
解得n=8，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，由多边形的内角和公式(n-2)×180°并结合该多边形的内角和为1080°列出方程，求解得出n的值，进而根据正多边形的每一个外角度数都相等且外角和为360°可算出每一个外角的度数.
7．（2024·遂宁）分式方程的解为正数，则m的取值范围( )
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
8．（2024·遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 排污管道的横截面是直径为2米的圆，
∴OA=OB=1米，
又∵AB=1米，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=，
∴，
∴S阴影=S扇形OAB-S△AOB=（平方米）.
故答案为：A.
【分析】由三边相等的三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，过点O作OC⊥AB于点C，由等边三角形的三线合一及勾股定理算出OC的长，进而根据S阴影=S扇形OAB-S△AOB结合三角形及扇形面积计算公式计算可得答案.
9．（2024·遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”
如图2，在中，，点D，E在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD=AE，∠BAE=∠CAD，
在△ABD与△ABE中，
∵∠B=∠B，AB=AB，AD=AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ABD与△ACD中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AD=AD，∠BAD≠∠DAC，
∴△ABD与△ACD为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ABE中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AE=AE，∠BAE≠∠CAE，
∴△ACE与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ACD中，
∵∠C=∠C，AC=ACAD=AE，∠CAE≠∠CAD，
∴△ACE与△ACD为“伪全等三角形”，
综上，图中“伪全等三角形”有4对.
故答案为：D.
【分析】首先由等边对等角得∠B=∠C，从而由SAS判断出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质得AD=AE，∠BAE=∠CAD，从而再根据“伪全等三角形”的定义即可找出图中的“伪全等三角形”.
10．（2024·遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( )
①
②
③
④若方程两根为m，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可知，
抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，，
则，
抛物线与y轴的交点B在，之间，
，
则，故①错误；
设抛物线与x轴另一个交点，
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，解得，
则，故②错误；
，，，
，解得，故③正确；
根据抛物线与x轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为m，n满足，故④正确，
综上，正确的有③④，共2个.
故答案为：B.
【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由对称轴直线为x=-1可得b=2a＞0，由抛物线与y轴交点在y轴的负半轴可得c＜0，故abc＜0，据此可判断①；根据抛物线的对称性可判断出抛物线与x轴另一个交点 为（-3，0），则9a-3b+c=0，据此可判断②；由抛物线经过点（1，0）可得a+b+c=0，又b=2a，则c=-3a，结合-3＜c＜-2可得关于字母a的不等式组，求解即可判断③；方程ax2+bx+c=x+1的解，就是抛物线与直线y=x+1交点的横坐标，从而画出直线y=x+1的图象结合抛物线与x轴交点即可得出-3＜m＜1＜n，据此判断④.
二、填空题
11．（2024·遂宁）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ab+4a=a(b+4).
故答案为：a(b+4).
【分析】由于多项式的两项含有公因式a，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
12．（2024·遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限.
【答案】四
【知识点】反比例函数的图象；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k-1＞0，
∴k＞1，
∴点（k，-3）在第四象限.
故答案为：四.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，进而根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
13．（2024·遂宁）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛.
甲 8 8 7 9 8
乙 6 9 7 9 9
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲同学5次投篮成绩的平均数为：(8+8+7+9+8)÷5=8，
甲同学5次投篮成绩的方差为：[(8-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=0.4；
乙同学5次投篮成绩的平均数为：(6+9+7+9+9)÷5=8，
乙同学5次投篮成绩的方差为：[(6-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(9-8)2]=1.6，
∵0.4＜1.6，
∴甲同学成绩更加稳定，
∴老师应该选甲同学参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，故算出甲乙两同学的方差再比大小即可得出答案.
14．（2024·遂宁）在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时， .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
∴当时，，
∴ 当时，.
故答案为：.
【分析】通过观察当时，，从而将n=10代入计算可得答案.
15．（2024·遂宁）如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连结并延长交于点F.给出以下结论：
①为等腰三角形
②F为的中点
③
④.
其中正确结论是 .（填序号）
【答案】①②③
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，
设正方形ABCD的边长为2a，
∴AB=BC=CD=AD=2a，
E为AB的中点，
，
由折叠性质得，，，
，
是等腰三角形，故①正确；
设，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，即F是的中点，故②正确；
，，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
∴，，
∴，故③正确；
连接EQ，如图所示，
，，，又，
，
，
又，
，
∴，
又∵，
，
，
，
，
，
在中，，
，故④不正确.
故答案为：①②③.
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，由中点定义及折叠性质可得AE=PE=BE=a，据此可判断①；由折叠可得，由邻补角、三角形内角和定理及等边对等角可推出，则∠2=∠3，由内错角相等，两直线平行，得AF∥EC，由正方形性质可得AE∥CF，从而根据两组对边平行的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形对边相等得CF=AE=a，进而可得CF=FD=a，据此可判断②；由平行线的性质易得BP⊥AF，在Rt△ADF中，由勾股定理算出AF，由等角的同名三角形函数值性质可得，设，则，在Rt△ABP中根据勾股定理寄哪里方程可用含a的式子表示出x，进而即可表示出AP、PF，据此可判断③；用HL判断出Rt△AEQ≌Rt△PEQ，由全等三角形性质得AQ=PQ，进而可判断出QE是线段AP的垂直平分线，由同角的余角相等推出，从而根据等角的同名三角函数值相等得出，进而用含a的式子表示出AQ、QD，在Rt△QDC中，用勾股定理表示出QC，最后根据余弦函数定义即可判断④.
三、解答题
16．（2024·遂宁）计算：.
【答案】解：
=2024.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，同时对绝对值，负整数指数幂和二次根式的化简，最后进行实数的加减混合运算即可.
17．（2024·遂宁）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【答案】解：
，
∵，2，
∴当时，原式=3-1=2.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并把除法转变为乘法，然后计算乘法，约分化简；根据原式有意义的条件判断出x=3，最后将x=3代入化简后的式子计算即可.
18．（2024·遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；OA，OB，OC，OD
③顺次连结所得的四点得到四边形.
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是： .
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
已知：如图，四边形是平行四边形，.
求证：四边形是矩形.
【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD
又，
，
，
四边形是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【分析】（1）直接根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，从而用SSS判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等得∠ABC=∠DCB，再结合二直线平行，同旁内角互补可推出∠ABC=90°，然后根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得结论.
19．（2024·遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽（，）为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）（，，）
【答案】解：由题意知，
在图1中，，
，
，
四边形BDEM是平行四边形，
，
在中，，
在图2中，过点C作于点N，
，
灯柱AB高，
点C到桌面的距离为.
答：此时台灯最高点C到桌面的距离为.
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】图1中，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BD∥CE，由题意知BM∥DE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDEM是平行四边形，由平行四边形的对边相等得BM=DE=35，在Rt△BMC中，由∠CBM的余弦函数得BC=BMcos9°；在图2中，过点C作CN⊥BM于点N，由∠CBM的正弦函数得CN=BCsin30°，从而代入可算出CN的长，再根据平行线间的距离相等可得点C到桌面的距离为CN+AB，从而代入计算可得答案.
20．（2024·遂宁）某酒店有A，B两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
（1）求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
【答案】（1）解：设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，
由题意可得，，
解得，
答：A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为元；
（2）解：设A种客房每间定价为a元，
则，
，
当时，W取最大值，元，
答：当A种客房每间定价为元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，由24间A种客房一天的营业额+20间B种客房一天的营业额=7200及10间A种客房一天的营业额+10间B种客房一天的营业额=3200，列出方程组，求解即可；
（2）设A种客房每间定价为a元，则A种客房每天入住的房间数为间，根据A种客房每间客房的定价×每天入住的间数=每天的营业额建立出w关于a的函数关系式，进而根据所得函数的性质求解即可.
21．（2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
22．（2024·遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生
数据的整理与描述
景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他
数据分析及运用
⑴本次被抽样调查的学生总人数为 ▲ ，扇形统计图中， ▲ ，“B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是 ▲ ； ⑵请补全条形统计图； ⑶该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； ⑷未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.
【答案】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，
C组的人数为：，
，
，
B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是.
故答案为：，10，.
（2）根据（1）可得C组人数为10人，补全统计图，如图所示，
（3）.
答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；
（4）列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有4种，
他们选择同一景点的概率为.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据统计图提供的信息，用出游景点F的人数除以其所占百分比，即可得到本次被抽样调查的学生总人数；根据选择各种出游情况的人数之和等于被调查的总人数，求出出游景点C的人数，用出游景点C的人数除以总人数，再乘以100％， 即可求出m的值；用360°乘出游景点B的人数所占的百分比即可求出“B：龙风古镇”对应圆心角的度数；
（2）根据（1）求出的出游景点C的人数，补全条形统计图即可；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中没出游学生人数所占的百分比，即可估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意用列表的方法列举出所有等可能的情况数，由表可知共有16种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有4种，从而根据概率公式即可算出他们选择同一景点的概率.
23．（2024·遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求的面积.
【答案】（1）解：把代入得，，
，
反比例函数表达式为，
把代入得，，
，
，
把、代入得，，
解得，
一次函数表达式为；
（2）解：x的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与y轴相交于点D，过点A作轴于点M，过点C作轴于点N，
令y1=x++2中的x=0，得y=2，
∴D（0，2），
∴OD=2，
点B、C关于原点对称，
，
，，，
S△ABC=S△BOD+S梯形ADOM+S梯形AMNC-S△CON，，
即的面积为8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由图象可得，当时，x的取值范围为或；
【分析】（1）把A（1，3）代入 反比例函数 可算出m的值，从而得到反比例函数的解析式；将点B（n，-1）代入所求的反比例函数解析式可算出n=-3，从而得到点B（-3，-1），将A、B两点的坐标分别时代入y1=kx+b，可得关于字母k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象角度看，求y1＞y2时x的取值范围，就是求直线在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案；
（3）设直线y1与y轴交于点D，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先根据直线与y轴交点的坐标特点求出D（0，2），根据正比例函数与反比例函数的中心对称性可得C（3，1），从而根据点的坐标可求出MN=2，CN=1，ON=3，最后利用割补法，由S△ABC=S△BOD+S梯形ADOM+S梯形AMNC-S△CON，列式计算可得答案.
24．（2024·遂宁）如图，是的直径，是一条弦，点D是的中点，于点E，交于点F，连结交于点G.
（1）求证：；
（2）延长至点M，使，连结.
①求证：是的切线；
②若，，求的半径.
【答案】（1）证明：如图，连接，
点D是的中点，
，
，
，为的直径，
，
，
，
；
（2）解：①证明：为的直径，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，，
而，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
②，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）连接AD，由等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CAD，由垂径定理得，再由等弧所对的圆周角相等得∠ADN=∠ABD，则∠ADN=∠CAD，由等角对等边即可得出AF=DF；
（2）①由直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°=∠ADM，则AD是MG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得AM=AG，由等腰三角形的性质得∠M=∠AGD=∠GAB+∠B，∠MAD=∠GAD，结合∠GAD=∠B、直角三角形两锐角互余及等量代换得∠BAM=90°，从而根据切线的判定定理“垂直半径外端点的直线是圆的切线”可得结论；
②由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DE∥AM，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△GDF∽△GMA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AM的长，在Rt△ADM中，用勾股定理算出AD，根据∠M的正切函数定义可得从而代入可算出AB的长，此题得解.
25．（2024·遂宁）二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P，C两点关于抛物线对轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为，试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把，，代入得，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线对称轴为直线，
P，C两点关于抛物线对轴对称，，
，
设，
，
，
，
整理得，，
解得，（舍去），
，
；
（3）解：存在，理由如下：
设点，则点，设直线PQ交x轴于点H，
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设直线PQ表达式为：，
代入，，得：，
解得：，
直线PQ的表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线PQ表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，
同理可求，
即S存在最小值为，
综上所述，的面积S是否存在最小值，且为.
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的方程组，求解可得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，则可得P（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），在Rt△PQO中，利用勾股定理及平面内两点间距离建立出关于字母m的方程，求解可得m的值，从而得到点Q的坐标；
（3）存在，理由如下：根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），则Q[m+1，(m+1)2-2(m+1)-3]，设直线PQ交x轴于点H，然后分类讨论：①当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，②当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，③当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，分别利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后令直线PQ解析式中的y=0算出对应的x的值得到OH的长度，进而再根据S=S△OHQ-S△OHP建立出函数关系式，将所得函数解析式配成顶点式即可求出其最小值.
1 / 1四川省遂宁市2024年中考数学试卷
一、单选题
1．（2024·遂宁）下列各数中，无理数是( )
A． B． C． D．0
2．（2024·遂宁）古代中国诸多技艺均领先世界.榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是( )
A． B．
C． D．
3．（2024·遂宁）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
4．（2024·遂宁）下列运算结果正确的是( )
A． B．
C． D．
5．（2024·遂宁）不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
6．（2024·遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A． B． C． D．
7．（2024·遂宁）分式方程的解为正数，则m的取值范围( )
A． B．且
C． D．且
8．（2024·遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积( )
A． B． C． D．
9．（2024·遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”
如图2，在中，，点D，E在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．（2024·遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( )
①
②
③
④若方程两根为m，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2024·遂宁）分解因式： .
12．（2024·遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限.
13．（2024·遂宁）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛.
甲 8 8 7 9 8
乙 6 9 7 9 9
14．（2024·遂宁）在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时， .
15．（2024·遂宁）如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连结并延长交于点F.给出以下结论：
①为等腰三角形
②F为的中点
③
④.
其中正确结论是 .（填序号）
三、解答题
16．（2024·遂宁）计算：.
17．（2024·遂宁）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
18．（2024·遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；OA，OB，OC，OD
③顺次连结所得的四点得到四边形.
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是： .
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
已知：如图，四边形是平行四边形，.
求证：四边形是矩形.
19．（2024·遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽（，）为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）（，，）
20．（2024·遂宁）某酒店有A，B两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
（1）求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
21．（2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
22．（2024·遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生
数据的整理与描述
景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他
数据分析及运用
⑴本次被抽样调查的学生总人数为 ▲ ，扇形统计图中， ▲ ，“B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是 ▲ ； ⑵请补全条形统计图； ⑶该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； ⑷未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.
23．（2024·遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求的面积.
24．（2024·遂宁）如图，是的直径，是一条弦，点D是的中点，于点E，交于点F，连结交于点G.
（1）求证：；
（2）延长至点M，使，连结.
①求证：是的切线；
②若，，求的半径.
25．（2024·遂宁）二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P，C两点关于抛物线对轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为，试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该“榫”的主视图为：.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此求解即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a-2a=a，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a2×a3=a2+3=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(-a)4=a4，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a+3)(a-3)=a2-9，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断B选项；由负数的偶数次幂为正，可判断C选项；由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2即可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＜3，
由②得x≥2，
∴该不等式组的解集为：2≤x＜3，
A、此选项数轴上表示的解集是x≤2，故此选项不符合题意；
B、此选项数轴上表示的解集是2≤x＜3，故此选项符合题意；
C、此选项数轴上表示的解集是x＞3，故此选项不符合题意；
D、此选项数轴上表示的解集是2＜x≤3，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”读出各个选项数轴所表示的不等式，即可判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得(n-2)×180°=1080°，
解得n=8，
∴这个正多边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，由多边形的内角和公式(n-2)×180°并结合该多边形的内角和为1080°列出方程，求解得出n的值，进而根据正多边形的每一个外角度数都相等且外角和为360°可算出每一个外角的度数.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 排污管道的横截面是直径为2米的圆，
∴OA=OB=1米，
又∵AB=1米，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=，
∴，
∴S阴影=S扇形OAB-S△AOB=（平方米）.
故答案为：A.
【分析】由三边相等的三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，过点O作OC⊥AB于点C，由等边三角形的三线合一及勾股定理算出OC的长，进而根据S阴影=S扇形OAB-S△AOB结合三角形及扇形面积计算公式计算可得答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD=AE，∠BAE=∠CAD，
在△ABD与△ABE中，
∵∠B=∠B，AB=AB，AD=AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ABD与△ACD中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AD=AD，∠BAD≠∠DAC，
∴△ABD与△ACD为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ABE中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AE=AE，∠BAE≠∠CAE，
∴△ACE与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ACD中，
∵∠C=∠C，AC=ACAD=AE，∠CAE≠∠CAD，
∴△ACE与△ACD为“伪全等三角形”，
综上，图中“伪全等三角形”有4对.
故答案为：D.
【分析】首先由等边对等角得∠B=∠C，从而由SAS判断出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质得AD=AE，∠BAE=∠CAD，从而再根据“伪全等三角形”的定义即可找出图中的“伪全等三角形”.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可知，
抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，，
则，
抛物线与y轴的交点B在，之间，
，
则，故①错误；
设抛物线与x轴另一个交点，
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
，解得，
则，故②错误；
，，，
，解得，故③正确；
根据抛物线与x轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为m，n满足，故④正确，
综上，正确的有③④，共2个.
故答案为：B.
【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由对称轴直线为x=-1可得b=2a＞0，由抛物线与y轴交点在y轴的负半轴可得c＜0，故abc＜0，据此可判断①；根据抛物线的对称性可判断出抛物线与x轴另一个交点 为（-3，0），则9a-3b+c=0，据此可判断②；由抛物线经过点（1，0）可得a+b+c=0，又b=2a，则c=-3a，结合-3＜c＜-2可得关于字母a的不等式组，求解即可判断③；方程ax2+bx+c=x+1的解，就是抛物线与直线y=x+1交点的横坐标，从而画出直线y=x+1的图象结合抛物线与x轴交点即可得出-3＜m＜1＜n，据此判断④.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ab+4a=a(b+4).
故答案为：a(b+4).
【分析】由于多项式的两项含有公因式a，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
12．【答案】四
【知识点】反比例函数的图象；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k-1＞0，
∴k＞1，
∴点（k，-3）在第四象限.
故答案为：四.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，进而根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
13．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲同学5次投篮成绩的平均数为：(8+8+7+9+8)÷5=8，
甲同学5次投篮成绩的方差为：[(8-8)2+(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=0.4；
乙同学5次投篮成绩的平均数为：(6+9+7+9+9)÷5=8，
乙同学5次投篮成绩的方差为：[(6-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(9-8)2]=1.6，
∵0.4＜1.6，
∴甲同学成绩更加稳定，
∴老师应该选甲同学参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，故算出甲乙两同学的方差再比大小即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
∴当时，，
∴ 当时，.
故答案为：.
【分析】通过观察当时，，从而将n=10代入计算可得答案.
15．【答案】①②③
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，
设正方形ABCD的边长为2a，
∴AB=BC=CD=AD=2a，
E为AB的中点，
，
由折叠性质得，，，
，
是等腰三角形，故①正确；
设，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，即F是的中点，故②正确；
，，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
∴，，
∴，故③正确；
连接EQ，如图所示，
，，，又，
，
，
又，
，
∴，
又∵，
，
，
，
，
，
在中，，
，故④不正确.
故答案为：①②③.
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，由中点定义及折叠性质可得AE=PE=BE=a，据此可判断①；由折叠可得，由邻补角、三角形内角和定理及等边对等角可推出，则∠2=∠3，由内错角相等，两直线平行，得AF∥EC，由正方形性质可得AE∥CF，从而根据两组对边平行的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形对边相等得CF=AE=a，进而可得CF=FD=a，据此可判断②；由平行线的性质易得BP⊥AF，在Rt△ADF中，由勾股定理算出AF，由等角的同名三角形函数值性质可得，设，则，在Rt△ABP中根据勾股定理寄哪里方程可用含a的式子表示出x，进而即可表示出AP、PF，据此可判断③；用HL判断出Rt△AEQ≌Rt△PEQ，由全等三角形性质得AQ=PQ，进而可判断出QE是线段AP的垂直平分线，由同角的余角相等推出，从而根据等角的同名三角函数值相等得出，进而用含a的式子表示出AQ、QD，在Rt△QDC中，用勾股定理表示出QC，最后根据余弦函数定义即可判断④.
16．【答案】解：
=2024.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，同时对绝对值，负整数指数幂和二次根式的化简，最后进行实数的加减混合运算即可.
17．【答案】解：
，
∵，2，
∴当时，原式=3-1=2.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，并把除法转变为乘法，然后计算乘法，约分化简；根据原式有意义的条件判断出x=3，最后将x=3代入化简后的式子计算即可.
18．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD
又，
，
，
四边形是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
【分析】（1）直接根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，从而用SSS判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等得∠ABC=∠DCB，再结合二直线平行，同旁内角互补可推出∠ABC=90°，然后根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得结论.
19．【答案】解：由题意知，
在图1中，，
，
，
四边形BDEM是平行四边形，
，
在中，，
在图2中，过点C作于点N，
，
灯柱AB高，
点C到桌面的距离为.
答：此时台灯最高点C到桌面的距离为.
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】图1中，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BD∥CE，由题意知BM∥DE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDEM是平行四边形，由平行四边形的对边相等得BM=DE=35，在Rt△BMC中，由∠CBM的余弦函数得BC=BMcos9°；在图2中，过点C作CN⊥BM于点N，由∠CBM的正弦函数得CN=BCsin30°，从而代入可算出CN的长，再根据平行线间的距离相等可得点C到桌面的距离为CN+AB，从而代入计算可得答案.
20．【答案】（1）解：设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，
由题意可得，，
解得，
答：A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为元；
（2）解：设A种客房每间定价为a元，
则，
，
当时，W取最大值，元，
答：当A种客房每间定价为元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，由24间A种客房一天的营业额+20间B种客房一天的营业额=7200及10间A种客房一天的营业额+10间B种客房一天的营业额=3200，列出方程组，求解即可；
（2）设A种客房每间定价为a元，则A种客房每天入住的房间数为间，根据A种客房每间客房的定价×每天入住的间数=每天的营业额建立出w关于a的函数关系式，进而根据所得函数的性质求解即可.
21．【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
22．【答案】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，
C组的人数为：，
，
，
B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是.
故答案为：，10，.
（2）根据（1）可得C组人数为10人，补全统计图，如图所示，
（3）.
答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；
（4）列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有4种，
他们选择同一景点的概率为.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据统计图提供的信息，用出游景点F的人数除以其所占百分比，即可得到本次被抽样调查的学生总人数；根据选择各种出游情况的人数之和等于被调查的总人数，求出出游景点C的人数，用出游景点C的人数除以总人数，再乘以100％， 即可求出m的值；用360°乘出游景点B的人数所占的百分比即可求出“B：龙风古镇”对应圆心角的度数；
（2）根据（1）求出的出游景点C的人数，补全条形统计图即可；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中没出游学生人数所占的百分比，即可估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意用列表的方法列举出所有等可能的情况数，由表可知共有16种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有4种，从而根据概率公式即可算出他们选择同一景点的概率.
23．【答案】（1）解：把代入得，，
，
反比例函数表达式为，
把代入得，，
，
，
把、代入得，，
解得，
一次函数表达式为；
（2）解：x的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与y轴相交于点D，过点A作轴于点M，过点C作轴于点N，
令y1=x++2中的x=0，得y=2，
∴D（0，2），
∴OD=2，
点B、C关于原点对称，
，
，，，
S△ABC=S△BOD+S梯形ADOM+S梯形AMNC-S△CON，，
即的面积为8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由图象可得，当时，x的取值范围为或；
【分析】（1）把A（1，3）代入 反比例函数 可算出m的值，从而得到反比例函数的解析式；将点B（n，-1）代入所求的反比例函数解析式可算出n=-3，从而得到点B（-3，-1），将A、B两点的坐标分别时代入y1=kx+b，可得关于字母k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象角度看，求y1＞y2时x的取值范围，就是求直线在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案；
（3）设直线y1与y轴交于点D，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先根据直线与y轴交点的坐标特点求出D（0，2），根据正比例函数与反比例函数的中心对称性可得C（3，1），从而根据点的坐标可求出MN=2，CN=1，ON=3，最后利用割补法，由S△ABC=S△BOD+S梯形ADOM+S梯形AMNC-S△CON，列式计算可得答案.
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
点D是的中点，
，
，
，为的直径，
，
，
，
；
（2）解：①证明：为的直径，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，，
而，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
②，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）连接AD，由等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CAD，由垂径定理得，再由等弧所对的圆周角相等得∠ADN=∠ABD，则∠ADN=∠CAD，由等角对等边即可得出AF=DF；
（2）①由直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°=∠ADM，则AD是MG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得AM=AG，由等腰三角形的性质得∠M=∠AGD=∠GAB+∠B，∠MAD=∠GAD，结合∠GAD=∠B、直角三角形两锐角互余及等量代换得∠BAM=90°，从而根据切线的判定定理“垂直半径外端点的直线是圆的切线”可得结论；
②由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DE∥AM，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△GDF∽△GMA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AM的长，在Rt△ADM中，用勾股定理算出AD，根据∠M的正切函数定义可得从而代入可算出AB的长，此题得解.
25．【答案】（1）解：把，，代入得，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线对称轴为直线，
P，C两点关于抛物线对轴对称，，
，
设，
，
，
，
整理得，，
解得，（舍去），
，
；
（3）解：存在，理由如下：
设点，则点，设直线PQ交x轴于点H，
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设直线PQ表达式为：，
代入，，得：，
解得：，
直线PQ的表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线PQ表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，
同理可求，
即S存在最小值为，
综上所述，的面积S是否存在最小值，且为.
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的方程组，求解可得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，则可得P（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），在Rt△PQO中，利用勾股定理及平面内两点间距离建立出关于字母m的方程，求解可得m的值，从而得到点Q的坐标；
（3）存在，理由如下：根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），则Q[m+1，(m+1)2-2(m+1)-3]，设直线PQ交x轴于点H，然后分类讨论：①当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，②当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，③当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，分别利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后令直线PQ解析式中的y=0算出对应的x的值得到OH的长度，进而再根据S=S△OHQ-S△OHP建立出函数关系式，将所得函数解析式配成顶点式即可求出其最小值.
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