四川省德阳市2024年中考数学试卷

四川省德阳市2024年中考数学试卷
1．（2024·德阳）下列四个数中，比小的数是(　　)
A．0 B． C． D．
2．（2024·德阳）下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2024·德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于(　　)
A． B． C． D．
4．（2024·德阳）正比例函数的图象如图所示，则k的值可能是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024·德阳）分式方程的解是(　　)
A．3 B．2 C． D．
6．（2024·德阳）为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
投中次数（个） 0 1 2 3 4 5
人数（人） 1 ● 10 17 ● 6
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2024·德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样.则在A、B、C处依次写上的字可以是(　　)
A．吉如意 B．意吉如 C．吉意如 D．意如吉
8．（2024·德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为(　　)
A．1 B． C．2 D．4
9．（2024·德阳）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是(　　)
A． B． C． D．
10．（2024·德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为.（、在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物的高为(　　)米
A．20 B．15 C．12 D．
11．（2024·德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形.，点P是边上一点，则满足的点P的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
12．（2024·德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点E和点M，使，，又在线段上任取一点N（点N可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接.小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段上运动时，点在以E为圆心的圆弧上运动；
②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；
③的最小值为；
④达到最小值时，.
你认为小王同学得到的结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024·德阳）化简： =　 　．
14．（2024·德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为　 　.
15．（2024·德阳）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为　 　分.
16．（2024·德阳）如图，四边形是矩形，是正三角形，点F是的中点，点P是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是　 　.
17．（2024·德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是　 　（填上一个数字即可）.
18．（2024·德阳）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则.其中正确结论是　 　（请填写序号）.
19．（2024·德阳）（1）计算：；
（2）解不等式组：.
20．（2024·德阳）2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛.旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛.比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛.为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目ABCD关注人数4230ab
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率.
21．（2024·德阳）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点.
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移h个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求h的值，并结合图象求不等式的解集.
22．（2024·德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，点F为的中点，连接与相交于点E，连接并延长交于点G.
（1）证明：；
（2）证明：.
23．（2024·德阳）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成。为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽.A、B两种组合的进价和售价如下表：
价格 A B
进价（元/件） 94 146
售价（元/件） 120 188
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
24．（2024·德阳）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值.
25．（2024·德阳）已知的半径为5，B、C是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D.
（1）证明：点D为上一定点；
（2）过点D作的平行线交的延长线于点F.
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵-3＜-2＜-1＜-＜0，
∴比-2小的数是-3.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的大小比较法则“正数大于负数；0大于负数；0小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”并结合各选项即可求解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、原式=a2+3=a5≠a6，此选项不符合题意；
B、原式=-a+b，此选项符合题意；
C、原式=a2+a=≠a2+1，此选项不符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2≠a2+b2，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号。"可求解；
C、根据单项式乘以多项式法则"单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加."可求解；
D、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解.
3．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质“两直线平行内错角相等”可得∠C=∠B，由垂直的定义可得∠DEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
4．【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图知：y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质可求解.
5．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x+3=5x，
移项得：5x-x=-3，
系数化为1得：x=，
检验得：x=是原方程的根.
故答案为：D.
【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
6．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵被墨汁遮盖的人数为：50-1-10-17-6=16，
∴投中的3次的人数最多，是17，
∴投中次数的统计量中可以确定的是众数.
故答案为：C.
【分析】根据各小组的频数之和等于样本容量可求出被墨汁遮盖的频数，再根据众数的定义即可求解.
7．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意；或如、吉、意.
故答案为：A.
【分析】观察几何体的展开图可求解.
8．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA=OB=AB，
设AB=x，则OA=OB=x，
∴S正六边形=6S△AOB=，
∴6×·x·x=，
解得：x=2或x=-2＜0（舍去），
即正六边形的边长为2.
故答案为：C.
【分析】根据正六边形、等边三角形的性质和二次根式的乘除的计算法则计算即可求解.
9．【答案】C
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可得前七行所有的数总个数为：1+2+3+4+5+6+7=28，
则第八行左起第1个数是第29个数，
即.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得第八行左起第1个数是第几个数即可求解.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，设过点A的水平线与CD交于点E，
由题意得：四边形ABDE是矩形，DE=AB=10米，AE=BD，
在Rt△BCD中，
tan∠CBD=，则BD=，
在Rt△ACE中，
tan∠CAE=，则AE==，
∴=，
解得：CD=15（米）.
故答案为：B.
【分析】设过点A的水平线与CD交于点E，在Rt△BCD和Rt△ACE中，用含CD的代数式将BD和AE表示出来，可得关于CD的方程，解方程即可求解.
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点P，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
∴，
方程无解，即点P不存在.
故选：D.
【分析】设，，假设存在点P，且，则，在和中，用勾股定理可将BP2、PC2用含a、b、x的代数式表示出来，在Rt△BPC中，用勾股定理可得关于a、b、x的方程，根据黄金分割的定义可得a、b的等式，整理可将a用含b的代数式表示出来，代入关于a、b、x的方程，根据一元二次方程的根的判别式可知△＜0，于是可得点P不存在.
12．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：正方形纸片的边长为，，，由折叠的性质可知，，当点N在线段上运动时，点在以E为圆心的圆弧上运动.故①正确.连接，
∵在正方形中，，，，在中，，∵，∴，∴的最小值为.故③正确；如图，
达到最小值时，点在线段上，由折叠可得，，，，，，，，.故④错误.
在中，，，随着的增大而增大，
，当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，过点作于点G，作于点P，，四边形是矩形，，当取得最大值时，也是最大值，，有最小值，在中，有最大值，即有最大值，点到的距离最大.故②正确.综上所述，正确的共有3个.
故选：C.
【分析】①由正方形的性质和折叠的性质可得点A1到点E的距离恒为2，于是可得当点N在线段上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②根据矩形的判定和性质以及锐角三角函数的定义可判断求解；
③连接DE，在中，用勾股定理求出DE的值，然后由可判断求解；
④DA1达到最小值时，点A1在线段DE上，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△A1DN∽△ADE，可得比例式，于是结合已知可求得DN的值，然后根据线段的构成MN=AD-DN-AM可求解.
13．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = =3，
故答案为：3．
【分析】先算出（﹣3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得：3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+4
=y2-1.
故答案为：y2-1.
【分析】根据题意列出3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)，然后根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”即可求解.
15．【答案】85.8
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由条形图得：笔试成绩为86分，面试成绩为80分，试讲成绩为90分，
∴ 小徐的综合成绩为：86×30%+80×30%+90×40%=85.8（分）.
故答案为：85.5.
【分析】根据加权平均数的公式计算即可求解.
16．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，找BC，中点为M，N，连接MN，，连接PD，，过F作交的延长线于R点，延长RF，与交于Q点.
设，，
是以为底的等腰三角形，
∴P在上，
P到的距离即为，
，
在和中
，
，
，
，
，
故答案为：2.
【分析】取BC，中点为M，N，连接MN，，连接PD，，过F作交的延长线于R点，延长RF，与交于Q点.设，，由题意，根据角角边可证△GQF≌△DRF，则QF=RF，根据三角形的面积=×底×高并代入计算即可求解.
17．【答案】1或8
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：观察图可知：
两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2、3、4、5、6、7，其中任何一个数字填在中心位置，则与其相邻的2个数字都不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入.
∴位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或8.
故答案为：1或8.
【分析】因为两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2、3、4、5、6、7，其中任何一个数字填在中心位置，则与其相邻的2个数字都不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈的数字只可能是1或8.
18．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解析：①∵抛物线的顶点A的坐标为，
，
，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，故①正确，符合题意；
②直线是抛物线的对称轴，
，
，
，
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为，，
则，
，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
，故③错误，不符合题意；
④如图，
关于x的一元二次方程无实数根，
，故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】①根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断求解；
②根据抛物线的对称轴求出a=b，由图象可得：当x=1时，y=a+b+c＜0，把a=b代入a+b+c＜0整理即可判断求解；
③根据二次函数的性质可判断求解；
④根据抛物线与直线y=4无交点可求解.
19．【答案】（1）解：原式：
.
（2）解：
由①，得，
由②，得，
不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得：()-2=4，由锐角三角函数可得cos60°=，由立方根的定义可得，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集.
20．【答案】（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
（人），
（人），
D所在扇形圆心角的度数为：.
（2）解：D：3000米绕标赛的关注人数最多，为（人）
答：估计当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有4000人.
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能得结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：.
【知识点】频数与频率；统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察统计表和扇形图可知：A的频数和百分数分别为42，28%，根据样本容量=频数÷百分数可求得抽取的总人数；根据C组的频数a=样本容量×C组的百分数可求解；由各小组频数之和等于样本容量可求得b的值；根据D所在的扇形的圆心角=D的百分数×360°可求得D所在扇形圆心角的度数；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12种等可能得结果，符合题意的有4种情况，然后根据概率公式计算即可求解.
21．【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，
；
，
把代入，得：，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：直线是将直线向下平移h个单位长度后得到的，
直线与直线平行，
，
，
直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
，
把代入，得：，
，
；
由图象知，当时，在直线的下方，
不等式的解集为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A（-1，m）代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程可求出m的值；再把点A的坐标代入反比例函数的解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）根据平移的性质可知直线y=ax+b与直线y=-2x+2的k值相等，即a=k=-2，则y=-2x+b；由题意把B（n，2）代入反比例函数的解析式可求出n的值，再把点B的坐标代入y=-2x+b可求出b的值，于是由平移的性质可求得h的值；根据不等式可知双曲线低于直线，结合点B的坐标即可求解.
22．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
点F为的中点，
，
，
.
（2）证明：是等边三角形，，，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB=BC，AC⊥BD，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC是等边三角形，结合已知由等边三角形的性质可得AF⊥BC，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（2）由（1）中的等边三角形的性质和已知条件，用边角边可证△BEG≌△AEG.
23．【答案】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价x元，每个肉粽的进价y元.
根据题意可得：
，
解得：
，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元.
（2）解：设该超市应准备m件A种组合，则B种组合数量是件，利润为W元，
根据题意得：，
解得：，
则利润，
可以看出利润W是m的一次函数，W随着m的增大而增大，
当m最大时，W最大，
即当时，，
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价x元，每个肉粽的进价y元.根据表格中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设该超市应准备m件A种组合，则B种组合数量是（3m-5）件，利润为W元，根据图中的不等关系“两种组合的总件数不超过95件”可列关于m的不等式，解之可得m的范围；根据利润W=m件A种组合的利润+（3m-5）B件种组合的利润可得W与m之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质可求解.
24．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点，
，解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：的对称轴为直线，而，
函数最小值为：，
当时，，当时，，
函数值的范围为：；
（3）解：，当时，，
，当时，
解得：，，
，，
设直线为，
，
，
直线为，
拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，而顶点为，
，M在直线上，
如图，过P作于G，连接，过P作于H，
，，，，
对称轴与y轴平行，，
，
，由抛物线的对称性可得：，，
，当A，P，H三点共线时取等号，
，
，
，
即的最小值为：.
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入抛物线的解析式可得关于c的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）求得的抛物线的解析式可得抛物线的对称轴方程，根据二次函数的性质并结合已知的x的取值范围即可求解；
（3）由题意易求得B、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的平移的性质可判断点M在直线AC上，过P作于G，连接，过P作于H，由平行线的性质可得sin∠ACO=sin∠AMP，可将PG用含PM的代数式表示出来，由抛物线的对称性可得PG=PH，∠MAB=∠MBA，根据三角形的三边关系定理和两点之间线段最短可得：PA+PM≤AH，当A，P，H三点共线时取等号，于是由锐角三角函数可得：sin∠MAB=，则可求得AH的值，即为PA+PM的最小值.
25．【答案】（1）证明：的平分线交于点D，，
，，
B、C是上两定点，
点D为的中点，是一定点；
（2）解：①如图，连接，
，，
，，
为半径，是的切线；
②如图，当时，
为直径，，
，，
，，
，，
，
四边形为矩形，；
如图，连接，当，
，，
，，
，为等边三角形，，
同理可得：，
，
，
，
，
当为锐角三角形，的取值范围为.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和圆心角、弦、弧之间的关系定理可求解；
（2）①连接OD，由垂径定理的推论可得OD⊥BC，结合平行线的性质可得OD⊥DF，然后根据圆的切线的判定可求解；
②当时，易得DF=BQ的最小值；连接，当，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△OBQ∽△OFD，则可得比例式，于是可求出DF=2BQ的值，则当为锐角三角形，的取值范围可求解.
1 / 1四川省德阳市2024年中考数学试卷
1．（2024·德阳）下列四个数中，比小的数是(　　)
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵-3＜-2＜-1＜-＜0，
∴比-2小的数是-3.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的大小比较法则“正数大于负数；0大于负数；0小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”并结合各选项即可求解.
2．（2024·德阳）下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、原式=a2+3=a5≠a6，此选项不符合题意；
B、原式=-a+b，此选项符合题意；
C、原式=a2+a=≠a2+1，此选项不符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2≠a2+b2，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号。"可求解；
C、根据单项式乘以多项式法则"单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加."可求解；
D、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解.
3．（2024·德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质“两直线平行内错角相等”可得∠C=∠B，由垂直的定义可得∠DEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
4．（2024·德阳）正比例函数的图象如图所示，则k的值可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图知：y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质可求解.
5．（2024·德阳）分式方程的解是(　　)
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x+3=5x，
移项得：5x-x=-3，
系数化为1得：x=，
检验得：x=是原方程的根.
故答案为：D.
【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
6．（2024·德阳）为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
投中次数（个） 0 1 2 3 4 5
人数（人） 1 ● 10 17 ● 6
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵被墨汁遮盖的人数为：50-1-10-17-6=16，
∴投中的3次的人数最多，是17，
∴投中次数的统计量中可以确定的是众数.
故答案为：C.
【分析】根据各小组的频数之和等于样本容量可求出被墨汁遮盖的频数，再根据众数的定义即可求解.
7．（2024·德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样.则在A、B、C处依次写上的字可以是(　　)
A．吉如意 B．意吉如 C．吉意如 D．意如吉
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意；或如、吉、意.
故答案为：A.
【分析】观察几何体的展开图可求解.
8．（2024·德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为(　　)
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB于M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA=OB=AB，
设AB=x，则OA=OB=x，
∴S正六边形=6S△AOB=，
∴6×·x·x=，
解得：x=2或x=-2＜0（舍去），
即正六边形的边长为2.
故答案为：C.
【分析】根据正六边形、等边三角形的性质和二次根式的乘除的计算法则计算即可求解.
9．（2024·德阳）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可得前七行所有的数总个数为：1+2+3+4+5+6+7=28，
则第八行左起第1个数是第29个数，
即.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得第八行左起第1个数是第几个数即可求解.
10．（2024·德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为.（、在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物的高为(　　)米
A．20 B．15 C．12 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，设过点A的水平线与CD交于点E，
由题意得：四边形ABDE是矩形，DE=AB=10米，AE=BD，
在Rt△BCD中，
tan∠CBD=，则BD=，
在Rt△ACE中，
tan∠CAE=，则AE==，
∴=，
解得：CD=15（米）.
故答案为：B.
【分析】设过点A的水平线与CD交于点E，在Rt△BCD和Rt△ACE中，用含CD的代数式将BD和AE表示出来，可得关于CD的方程，解方程即可求解.
11．（2024·德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形.，点P是边上一点，则满足的点P的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点P，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
∴，
方程无解，即点P不存在.
故选：D.
【分析】设，，假设存在点P，且，则，在和中，用勾股定理可将BP2、PC2用含a、b、x的代数式表示出来，在Rt△BPC中，用勾股定理可得关于a、b、x的方程，根据黄金分割的定义可得a、b的等式，整理可将a用含b的代数式表示出来，代入关于a、b、x的方程，根据一元二次方程的根的判别式可知△＜0，于是可得点P不存在.
12．（2024·德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点E和点M，使，，又在线段上任取一点N（点N可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接.小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段上运动时，点在以E为圆心的圆弧上运动；
②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；
③的最小值为；
④达到最小值时，.
你认为小王同学得到的结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：正方形纸片的边长为，，，由折叠的性质可知，，当点N在线段上运动时，点在以E为圆心的圆弧上运动.故①正确.连接，
∵在正方形中，，，，在中，，∵，∴，∴的最小值为.故③正确；如图，
达到最小值时，点在线段上，由折叠可得，，，，，，，，.故④错误.
在中，，，随着的增大而增大，
，当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，过点作于点G，作于点P，，四边形是矩形，，当取得最大值时，也是最大值，，有最小值，在中，有最大值，即有最大值，点到的距离最大.故②正确.综上所述，正确的共有3个.
故选：C.
【分析】①由正方形的性质和折叠的性质可得点A1到点E的距离恒为2，于是可得当点N在线段上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②根据矩形的判定和性质以及锐角三角函数的定义可判断求解；
③连接DE，在中，用勾股定理求出DE的值，然后由可判断求解；
④DA1达到最小值时，点A1在线段DE上，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△A1DN∽△ADE，可得比例式，于是结合已知可求得DN的值，然后根据线段的构成MN=AD-DN-AM可求解.
13．（2024·德阳）化简： =　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = =3，
故答案为：3．
【分析】先算出（﹣3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
14．（2024·德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为　 　.
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得：3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+4
=y2-1.
故答案为：y2-1.
【分析】根据题意列出3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)，然后根据去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”即可求解.
15．（2024·德阳）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为　 　分.
【答案】85.8
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由条形图得：笔试成绩为86分，面试成绩为80分，试讲成绩为90分，
∴ 小徐的综合成绩为：86×30%+80×30%+90×40%=85.8（分）.
故答案为：85.5.
【分析】根据加权平均数的公式计算即可求解.
16．（2024·德阳）如图，四边形是矩形，是正三角形，点F是的中点，点P是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，找BC，中点为M，N，连接MN，，连接PD，，过F作交的延长线于R点，延长RF，与交于Q点.
设，，
是以为底的等腰三角形，
∴P在上，
P到的距离即为，
，
在和中
，
，
，
，
，
故答案为：2.
【分析】取BC，中点为M，N，连接MN，，连接PD，，过F作交的延长线于R点，延长RF，与交于Q点.设，，由题意，根据角角边可证△GQF≌△DRF，则QF=RF，根据三角形的面积=×底×高并代入计算即可求解.
17．（2024·德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是　 　（填上一个数字即可）.
【答案】1或8
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：观察图可知：
两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2、3、4、5、6、7，其中任何一个数字填在中心位置，则与其相邻的2个数字都不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入.
∴位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或8.
故答案为：1或8.
【分析】因为两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2、3、4、5、6、7，其中任何一个数字填在中心位置，则与其相邻的2个数字都不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈的数字只可能是1或8.
18．（2024·德阳）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则.其中正确结论是　 　（请填写序号）.
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解析：①∵抛物线的顶点A的坐标为，
，
，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，故①正确，符合题意；
②直线是抛物线的对称轴，
，
，
，
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为，，
则，
，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
，故③错误，不符合题意；
④如图，
关于x的一元二次方程无实数根，
，故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】①根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断求解；
②根据抛物线的对称轴求出a=b，由图象可得：当x=1时，y=a+b+c＜0，把a=b代入a+b+c＜0整理即可判断求解；
③根据二次函数的性质可判断求解；
④根据抛物线与直线y=4无交点可求解.
19．（2024·德阳）（1）计算：；
（2）解不等式组：.
【答案】（1）解：原式：
.
（2）解：
由①，得，
由②，得，
不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得：()-2=4，由锐角三角函数可得cos60°=，由立方根的定义可得，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集.
20．（2024·德阳）2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛.旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛.比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛.为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目ABCD关注人数4230ab
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率.
【答案】（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
（人），
（人），
D所在扇形圆心角的度数为：.
（2）解：D：3000米绕标赛的关注人数最多，为（人）
答：估计当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有4000人.
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能得结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：.
【知识点】频数与频率；统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察统计表和扇形图可知：A的频数和百分数分别为42，28%，根据样本容量=频数÷百分数可求得抽取的总人数；根据C组的频数a=样本容量×C组的百分数可求解；由各小组频数之和等于样本容量可求得b的值；根据D所在的扇形的圆心角=D的百分数×360°可求得D所在扇形圆心角的度数；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12种等可能得结果，符合题意的有4种情况，然后根据概率公式计算即可求解.
21．（2024·德阳）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点.
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移h个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求h的值，并结合图象求不等式的解集.
【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，
；
，
把代入，得：，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：直线是将直线向下平移h个单位长度后得到的，
直线与直线平行，
，
，
直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
，
把代入，得：，
，
；
由图象知，当时，在直线的下方，
不等式的解集为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A（-1，m）代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程可求出m的值；再把点A的坐标代入反比例函数的解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（2）根据平移的性质可知直线y=ax+b与直线y=-2x+2的k值相等，即a=k=-2，则y=-2x+b；由题意把B（n，2）代入反比例函数的解析式可求出n的值，再把点B的坐标代入y=-2x+b可求出b的值，于是由平移的性质可求得h的值；根据不等式可知双曲线低于直线，结合点B的坐标即可求解.
22．（2024·德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，点F为的中点，连接与相交于点E，连接并延长交于点G.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
点F为的中点，
，
，
.
（2）证明：是等边三角形，，，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB=BC，AC⊥BD，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC是等边三角形，结合已知由等边三角形的性质可得AF⊥BC，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
（2）由（1）中的等边三角形的性质和已知条件，用边角边可证△BEG≌△AEG.
23．（2024·德阳）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成。为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽.A、B两种组合的进价和售价如下表：
价格 A B
进价（元/件） 94 146
售价（元/件） 120 188
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价x元，每个肉粽的进价y元.
根据题意可得：
，
解得：
，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元.
（2）解：设该超市应准备m件A种组合，则B种组合数量是件，利润为W元，
根据题意得：，
解得：，
则利润，
可以看出利润W是m的一次函数，W随着m的增大而增大，
当m最大时，W最大，
即当时，，
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价x元，每个肉粽的进价y元.根据表格中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设该超市应准备m件A种组合，则B种组合数量是（3m-5）件，利润为W元，根据图中的不等关系“两种组合的总件数不超过95件”可列关于m的不等式，解之可得m的范围；根据利润W=m件A种组合的利润+（3m-5）B件种组合的利润可得W与m之间的函数关系式，然后根据一次函数的性质可求解.
24．（2024·德阳）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值.
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点，
，解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：的对称轴为直线，而，
函数最小值为：，
当时，，当时，，
函数值的范围为：；
（3）解：，当时，，
，当时，
解得：，，
，，
设直线为，
，
，
直线为，
拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，而顶点为，
，M在直线上，
如图，过P作于G，连接，过P作于H，
，，，，
对称轴与y轴平行，，
，
，由抛物线的对称性可得：，，
，当A，P，H三点共线时取等号，
，
，
，
即的最小值为：.
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A的坐标代入抛物线的解析式可得关于c的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）求得的抛物线的解析式可得抛物线的对称轴方程，根据二次函数的性质并结合已知的x的取值范围即可求解；
（3）由题意易求得B、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的平移的性质可判断点M在直线AC上，过P作于G，连接，过P作于H，由平行线的性质可得sin∠ACO=sin∠AMP，可将PG用含PM的代数式表示出来，由抛物线的对称性可得PG=PH，∠MAB=∠MBA，根据三角形的三边关系定理和两点之间线段最短可得：PA+PM≤AH，当A，P，H三点共线时取等号，于是由锐角三角函数可得：sin∠MAB=，则可求得AH的值，即为PA+PM的最小值.
25．（2024·德阳）已知的半径为5，B、C是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D.
（1）证明：点D为上一定点；
（2）过点D作的平行线交的延长线于点F.
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）证明：的平分线交于点D，，
，，
B、C是上两定点，
点D为的中点，是一定点；
（2）解：①如图，连接，
，，
，，
为半径，是的切线；
②如图，当时，
为直径，，
，，
，，
，，
，
四边形为矩形，；
如图，连接，当，
，，
，，
，为等边三角形，，
同理可得：，
，
，
，
，
当为锐角三角形，的取值范围为.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和圆心角、弦、弧之间的关系定理可求解；
（2）①连接OD，由垂径定理的推论可得OD⊥BC，结合平行线的性质可得OD⊥DF，然后根据圆的切线的判定可求解；
②当时，易得DF=BQ的最小值；连接，当，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△OBQ∽△OFD，则可得比例式，于是可求出DF=2BQ的值，则当为锐角三角形，的取值范围可求解.
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